PLANCHE-MATH9-Equations du premier degré

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PLANCHE-MATH9- Equations du premier degré
Dans la plupart des problèmes de mathématiques, même les plus simples, il
s’agit de chercher un nombre inconnu vérifiant une certaine égalité nommée
équation. Nous nous intéressons dans cette planche, aux équations les plus
simples dites équations du premier degré.
I. Définition et vocabulaire
 On appelle équation du premier degré tout égalité de la forme (ou se
ramenant à cette forme) :
0 bxa
dans laquelle a et b sont des nombres connus appelés les coefficients de
l’équation, et x un nombre inconnu appelé l’inconnue de l’équation.
 Résoudre l’équation (c’est l’objectif majeur de ce chapitre) revient à
trouver la valeur de x appelée la solution de l’équation pour laquelle
l’égalité est vraie.
 EXEMPLES D’EQUATIONS DU PREMIER DEGRE
 L’égalité 2 x +3 = 0 est une équation du premier du premier degré dont
l’inconnue est x .
 L’égalité 3 t 6 = 0 est une équation du premier du premier degré dont
l’inconnue est t .
 Dans une équation le symbole égal (=) permet de distinguer deux
membres :
 On appelle premier membre de l’équation toute ce qui est à gauche du
symbole égal (=).
 On appelle second membre de l’équation toute ce qui est à droite du
symbole égal (=).
II. Transformation des équations
Dans une équation on peut transférer un terme d’un membre à l’autre selon
la règle précise et très stricte suivante qui permettra de résoudre les
équations.

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1. REGLE : Lorsqu’un terme passe d’un membre de l’équation à l’autre,
il change de signe.
2. EXEMPLES :  L’équation 2 x +3 = 0 est équivalente à 2 x = 3. (On
a transféré 3 dans le second membre ; notez bien le changement de signe).
 L’équation 3 t 6 = 0 est équivalente à 3 t = 6. (On a transféré 6 dans le
second membre où il devient 6).
III. Méthode générale de résolution d’une équation du
premier degré
Pour résoudre une équation du premier degré il faut suivre les différentes
étapes suivantes :
 ETAPE 1 : On supprime les parenthèses (s’il y en a) en développant
selon les règles de développement présentées dans la planche 8.
 ETAPE 2 : On regroupe (par transfert) dans le membre de gauche
les termes contenant l’inconnue x (ou t ,…) et dans le membre de droite les
termes ne contenant pas l’inconnue.
NOTE : Pensez à bien changer le signe de chaque terme transféré.
 ETAPE 3 : On calcule (par réduction) dans chaque membre de
l’équation qui prend alors la forme suivante :
bxa 
 ETAPE 4 : On détermine enfin la solution de l’équation en
appliquant le théorème classique suivant :
THEOREME : Soit l’équation ax = b .
Si le nombre a est non nul (a  0), alors la solution de cette équation est
a
b
x
.
REMARQUE : Lorsque a = 0, cette équation n’a aucune solution si b  0 ; et
tous les nombres sont solutions si b = 0.

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APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N°1 :
Résoudre chacune des équations suivantes :
02 x
; 
122x
; 
24,0 x
; 
0155x
;
978 x
; 
12734  xx
; 
35)1(2  xx
.
02 x
donc x = 2 (on a juste transféré 2 dans le second membre).
 La solution de l’équation est donc 2.
122x
; en appliquant le théorème on obtient directement
6
2
12 x
.
 La solution de l’équation est donc 6.
24,0 x
; le théorème nous donne facilement
5
4,02x
.
 La solution de l’équation est donc 5.
0155x
; en regroupant les termes en x à gauche et les nombres à droite,
on obtient :
155x
. Le théorème donne enfin
3
5
15 x
.
 La solution de l’équation est donc 3.
978 x
; en regroupant les termes en x à gauche et les nombres à droite, on
obtient
798 x
c’est-à-dire 8x = 16. D’où
2
8
16 x
.
 La solution de l’équation est donc 2.
12734  xx
; en regroupant les termes en x à gauche et les nombres à
droite, l’équation devient 4x7x = 12 + 3, c’est-à-dire 3x = 15. D’où
5
3
15 
x
.
 La solution de l’équation est donc 5.
35)1(2  xx
; on commence par supprimer les parenthèses en
développant. On a alors successivement
35)1(2)(2  xx
ou encore
3522  xx
. On groupe alors les termes en x à gauche et les nombres à
droite et on obtient
5232  xx
; c’est-à-dire
63 x
. On a enfin
2
3
6x
.
 La solution de l’équation est donc 2.
REMARQUE :
Dans le théorème de résolution ( ax = b donc
a
b
x
), c’est le nombre a qui
« s’arrache » à x qui divise b et non l’inverse.

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II. Les problèmes du premier degré
Les problèmes du premier degré sont des problèmes dont la résolution nécessite
d’écrire puis de résoudre une équation du premier degré. Le niveau de difficulté
varie évidemment d’un problème à l’autre. Dans cette partie qui termine ce
chapitre, nous allons examiner un certain nombre de problèmes du premier degré.
PROBLEME N°1 : APPLICATION ET EXECUTION DES
TÂCHES
Si on ajoute 8 au triple d’un nombre on obtient 50. Quel est ce nombre ?
METHODOLOGIE (A SUIVRE !)
Pour résoudre un problème du premier degré, il faut :
 Lire très attentivement l’énoncé puis choisir l’inconnue du problème (qui est
généralement ce qu’on cherche).
NOTE : Ce choix est déterminant car il conditionne la résolution du problème.
 Exprimer les données du problème en fonction de l’inconnue choisie (c’est-à-
dire les calculer à l’aide de cette inconnue) pour aboutir enfin à une équation du
premier degré.
NOTE : C’est l’étape la plus délicate.
 Résoudre l’équation ainsi obtenue (à l’aide des techniques qu’on vient d’étudier)
puis énoncer enfin la solution du problème posé.
Revenons maintenant à notre problème et appliquons à la lettre cette
méthodologie.
Soit x le nombre cherché, alors le triple de ce nombre est 3x. Si on
ajoute 8 à ce triple, on obtient alors 3x +8. L’énoncé dit précisément que
ce résultat vaut 50. On a donc l’équation : 3x +8 =50 qu’il s’agit
maintenant de résoudre.
Or l’équation 3x +8 =50 équivaut à 3x =50 8 ; c’est-à-dire 3x = 42.
D’où
14
3
42 x
.
 Le nombre cherché est donc 14.
PROBLEME N°2 : APPLICATION ET EXECUTION DES
TÂCHES
La somme de deux nombres est 173. L'un d'eux dépasse le triple de
l'autre de 5. Trouver ces deux nombres.

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Désignons par x le plus petit des deux nombres, alors son triple est 3x. Le
deuxième nombre dépasse ce triple de 5 ; donc il vaut 3x+5. Les deux nombres
cherchés sont donc x et 3x+5, et leur somme vaut alors x + 3x+5. Or l’énoncé
précise que cette somme vaut 173 ; on a alors l’équation x + 3x+5 = 173.
On résout maintenant cette équation qui équivaut à x + 3x = 1735 ; c’est-à-dire
4x =168. On a donc
42
4
168 x
puis 3x+5 =342+5 = 131.
 Les nombres cherchés sont donc 42 et 131.
PROBLEME N°3 : APPLICATION ET EXECUTION DES
TÂCHES
La somme de trois entiers consécutifs est 123. Quels sont ces entiers ?
Désignons par x le plus petit des trois entiers cherchés, alors les deux autres
entiers sont x +1 et x +2 (consécutifs veut dire qui se suivent). La somme des
trois entiers est donc
3321  xxxx
. Or l’énoncé dit que cette somme est
égale à 123. On a donc l’équation 3x+3 = 123.
Cette équation équivaut à 3x = 123 3 ; c’est-à-dire à 3x = 120. On a alors
40
3
120 x
.
 Les entiers cherchés sont donc 40 ; 41 et 42.
PROBLEME N°4 : APPLICATION ET EXECUTION DES
TÂCHES
Un libraire a vendu 12 livres, les uns à 6,40 € et les autres à 9 €, pour une
somme totale de 89,80 €. Calculer le nombre de livres de chaque sorte.
Désignons par x le nombre de livres à 6,40 €. Comme il y a 12 livres au total, le
nombre de livres à 9 € est alors 12x. Le montant total des livres vendus est donc
€912Pr€40,6Pr
)12(940,6
livresxdeixlivresxdeix
xx
. Or d’après l’énoncé, ce montant vaut 89,80 €. On a
donc l’équation
80,89)12(940,6  xx
qu’il faut maintenant résoudre.
On commence par développer ; ce qui donne
80,89910840,6  xx
puis
10880,89940,6  xx
. On a alors
2,186,2  x
et finalement
7
6,2 2,18 
x
.
 Le libraire a donc vendu 7 livres à 6,40 € et 5 livres à 9 €.