Preuves

Preuves chapitre 2 TS 2
1
Nombres complexes
Preuve 1
ABAB yyxxAB  ;
.
ABAABBABAB
AB zziyxiyxyyixxz 
.
yxw ;
et
';' yxt
.
Alors
';' yyxxtw 
.
Donc
twtw zziyxiyxyyixxz  ''''
.
yxw ;
alors
kykxwk ;
.
Donc
wwk kziyxkikykxz )(
.
 CCBBAACBA iyxiyxiyxzzz
GGG
CBACBA ziyx
yyy
i
xxx 
.
Preuve 2
00²²00  zssiyxssiyxssiz
.
''' yyetxxssizz 
')2('argarg
'²'²²²
)2(',,
zz zz
yxyx
OMuOMu
ssi
ssi
Preuve 3
On considère deux complexes non nuls z et z’ de coordonnées polaires
);( r
et
)';'( r
.
'sin'cos'sincos' irirzz 
0''sin'cos'
'sincossin'cos'sinsin'coscos'
rrirr
irr
Donc
''' zzrrzz 
et
2'argarg''arg zzzz 
.
 Montrons que
n
nzz 
pour tout n naturel par récurrence.
 Pour n = 0,
011
0 zcarz
,
01
0 zcarz
. Donc l’égalité est
vraie au rang 0.

Preuves chapitre 2 TS 2
2
 Supposons que pour un certain naturel n
n
nzz 
. Montrons que l’égalité est
vraie au rang n+1.
1
1...
n
n
nnn
z
HRzzzzzzz
Donc l’égalité est vraie au rang n+1
Donc
n
nzz 
pour tout n naturel.
Preuve 4
On pose
0²²)( 
 acar
a
c
z
a
b
zacbzazzP
²42
²4 4² 2
²4
4
²4 ² 2
²4 ² 2
2
2
2
2
aa
b
za
aacb a
b
za
a
ac
a
b
a
b
za
a
c
a
b
a
b
za
 Si
0
alors :
12
2
2
2222
2
2
)(
zzzza
aa
b
z
aa
b
za
a
a
b
zazP
Donc P(z) a deux racines réelles
1
z
et
2
z
.
 Si
0
alors :
2
2
)( 
 a
b
zazP
comme
a
b
zssi
a
b
zssizPa 2 0
2
0)(,0 2
.
Donc le trinôme a une racine réelle
a
b
z2
.
 Si
0
alors :
²
² ii
.
Donc :

Preuves chapitre 2 TS 2
3
21
2
2
22
22
)(
zzzza
a
ib
z
a
ib
za
a
i
a
b
zazP
Donc P(z) a deux racines complexes
1
z
et
2
z
.
Preuve 5
 On prend M tel que
ABOM 
alors
ABM zzz 
et
2,,argarg ABuOMuzzz MAB 
.
2argargarg BCAC
BC
AC zzzz
zz
zz 
2,,,,, ACBCACuuBCBCuACu
.
Preuve 6
OBMMei
OBdeaffixeMMdeaffixeei
bzzbzz
'..
'..
''
i.e. M’ est l’image de M par la translation de vecteur
OB
.
Preuve 7
MkMei
MkdeaffixeMdeaffixekMdeaffixezkz
'..
')('
i.e. M’ est l’image de M par l’homothétie de centre et de rapport k.
Preuve 8
 Si
M
alors
MMeizeizzez i '..'..0''
qed.
 Si
M
alors
ii e
z
z
zez   ' '
ou encore
i
e
z
z '
et
2
'
arg 
z
z
Ssi
1
'
M
M
et
2',  MM
Ssi
MM  '
et
2',  MM
Ssi M’ est l’image de M par l a rotation de centre et d’angle .