Preuves

Preuves chapitre 2
TS 2
Nombres complexes
Preuve 1

 AB x B  x A ; y B  y A  .
z  x B  x A  i y B  y A   x B  iy B  x A  iy A  z B  z A .
AB
 w x; y  et t x' ; y' .
Alors w  t x  x' ; y  y' .
Donc z  x  x'i y  y'  x  iy  x'iy '  z  z .
wt
w
 w x; y  alors k w kx; ky .
Donc z  kx  iky  k ( x  iy )  kz .
kw

t
w
z A  z B  z C  x A  iy A    x B  iy B    xC  iy C 

   
   
x  x B  xC
y  y B  y C
 A
i A
 xG  iy G  z G .
   
   
Preuve 2

z  0 ssi
x  y  0 ssi

z  z ' ssi
x  x' et y  y '
ssi
ssi
x²  y²  0 ssi
 x ²  y ²  x '² y '²
  u ,OM   u ,OM ' 
 


z 0.
( 2 )

z  z'
arg z  arg z ' ( 2 )
Preuve 3
On considère deux complexes non nuls z et z’ de coordonnées polaires ( r ;  ) et ( r ' ;  ' ) .
 zz '  r cos   i sin    r ' cos  'i sin  '
 rr ' cos  cos  ' sin  sin  'i cos  ' sin   cos  sin  '
 rr ' cos   '  i sin    ' rr '  0
Donc zz '  rr '  z z' et argzz '     '  arg z  arg z'

2 .
Montrons que z n  z pour tout n naturel par récurrence.
n
 Pour n = 0, z 0  1  1 car
z  0 , z  1 car
0
vraie au rang 0.
1
z  0 . Donc l’égalité est
Preuves chapitre 2
TS 2
 Supposons que pour un certain naturel n z n  z . Montrons que l’égalité est
n
vraie au rang n+1.
z n 1  z n .z  z n . z  z . z
n
HR
n 1
 z
Donc l’égalité est vraie au rang n+1
n
Donc z n  z pour tout n naturel.
Preuve 4
b
c

On pose P( z )  az ²  bz  c  a z ²  z   car
a
a

2

b 
b² c 
 a  z 
 
 
2a 
4a ² a 

a0
2

b 
b² 4ac 
 a  z 

 

2a 
4a ² 4a ² 

2

b 
b²  4ac 
 a  z 
 

2a 
4a ² 

2

b 
 
 a  z 
 

2a 
4a ² 

 Si   0 alors :
2
2

b     
 
P( z )  a  z 
 
2a   2a  





b
 
b

 z 

 a z 




2
a
2
a
2
a
2
a



 a z  z 2 z  z1 
Donc P(z) a deux racines réelles z1 et z 2 .
Si   0 alors :

b 

comme a  0, P( z )  0 ssi  z 
  0 ssi
2a 

b
Donc le trinôme a une racine réelle z 
.
2a
Si   0 alors :
b 

P ( z )  a z 

2a 

2
2
 
²
     i²   i  .
Donc :
2
z
b
.
2a
Preuves chapitre 2
TS 2

2
b   i 


P( z )  a  z 
 

2a   2a






2





b  i  
b  i  
 a z 
z

2a 
2a 



 a z  z1  z  z 2 
Donc P(z) a deux racines complexes z1 et z 2 .
Preuve 5

On
prend
M
tel
OM  AB
que


argz B  z A   argz M   u, OM  u, AB


 z  zA 
  argz C  z A   arg z C  z B
arg C
z

z
B 
 C




 

alors
2  .
zM  zB  z A
et
 2 
 u, AC  u, BC  BC , u  u, AC  BC , AC

2  .
Preuve 6
z'  z  b 
z ' z  b
i.e. affixe de MM '  affixe de OB
i.e. MM '  OB
i.e. M’ est l’image de M par la translation de vecteur OB .
Preuve 7
z '  k ( z   )  affixe de M '  k  affixe de M  affixe de k M
i.e. M '  k M
i.e. M’ est l’image de M par l’homothétie de centre  et de rapport k.
Preuve 8
z '  e i z     z '  0 i.e. z '   i.e. M '    M

Si   M
qed.

Si   M alors z '  e i z    
alors
z '
 e i
z 
ou encore
 z ' 
arg
   2 
 z  
M '
Ssi
 1 et M , M '   2 
M
Ssi M '  M et M , M '   2 
Ssi M’ est l’image de M par la rotation de centre  et d’angle  .




3
z '
 e i
z 
et