complexes cours resume

Mr :Khammour.K Résumé 1 : Nombres complexes 4émeMath & Sc-exp
z a ib
; a et b sont deux réels : forme cartésienne ou algébrique de z ,
Re( ) et Im( )a z b z
.
z a ib
: le conjugué de z
22
: module de zz a b
.
2
22
2Re( ) 2 Im( ) . Re( ) Im( )z z z z z i z z z z z z      
Pour tout nombre complexe z et z0 on a :
2
2
0 0 0
2Re( )z z z z z z z z    
.
 z est réel ssi Im(z) = 0 ssi
zz
.
z est imaginaire ssi Ré(z) = 0 ssi
zz
.
 Le plan muni d’un repère orthonormé direct  .
A tout point M (a , b) on associe le nombre complexe
z a ib
noté aff(M) où
M
z
. On a :
et , arg( ) 2OM z u OM z
M’=S(Ox)(M) ssi
'MM
zz
; M’= SO(M) ssi
'MM
zz
M’=S(Oy)(M) ssi
'MM
zz
Opérations sur les arguments:
’ arg( ) arg( ') 2arg zz z z
arg( ) arg( ') 2
’
z
arg z z
z
1arg( ) 2arg z
z
arg( ) 2
n
arg n zz
arg( ) 2arg z z
arg( ) 2a zrg z
L’affixe du vecteur
AB
est
BA
zz
et arg , 2
B A B A
z z AB z z u AB
L’affixe du milieu de [AB] est
2
AB
zz
.
M d’affixe z appartient à la médiatrice de [AB] ssi
M A M B
z z z z  
M d’affixe z appartient au cercle de centre A et de rayon r ssi
MA
z z r
, arg (2 )
DC
BA
zz
AB CD zz
et deux vecteurs tels que est non nulu v v
et uv
sont colinéaires ssi
()
()
aff u
aff v
est réel.
et uv
sont orthogonaux ssi
()
()
aff u
aff v
est imaginaires.
A
B
zzMA
z z MB
et
, arg (2 )
BM
AM
zz
MA MB zz
 {M un point du plan tel que ,
1
MA
MB 
} = med [AB].
 {M(z) tel que ,
arg( ) (2 )
A
zz
}= la demi droite [AT) privé du point A tel que
, (2 )u AT
.
 {M(z) tel que ,
arg( ) ( )
A
zz
}= la droite (AT) privé du point A tel que
, (2 )u AT
.

 {M(z) tel que ,
, (2 ); kMA MB
}= l’arc AB privé des points A et B du cercle
passant par A et B et tangent à [AT) tel que
, (2 )AT AB
.
Remarque : Si 
()
2
, l’ensemble est le demi cercle de diamètre [AB] privé de A et B.
 {M du plan tel que ,
, (2 ); kMA MB
}= cercle passant par A et B privé des
points A et B et tangent à [AT) tel que
, (2 )AT AB
.
Remarque : Si 
(2 )
2
, l’ensemble est le cercle de diamètre [AB] privé de A et B.
(cos sin )z r i
: forme trigonométrique de z avec
22
r a b
et tel que
cos a
r
et
sin b
r
.
i
z re
: forme exponentielle de z.Formule de Moivre :
ou cos cos( ) sin
nn
i in
e e isn n i n
, 0 et arg( ) 2 et , 2
i
z re r z r z OM r u OM
.
Opposé :
()i
z re
Conjugué :
i
z re
Produit :
' ( ')
. ' '
i i i
re r e rr e
Quotient :
( ')
'
''
ii
i
re r e
r e r
Puissance :
()
i n n in
re r e
cos 2
ii
ee
et
sin 2
ii
ee
i
2
1 2cos 2
x
i
ix x
ee
et
2
1 2 sin 2
x
i
ix x
e i e  
000
, il existe , Rei A z R
M z z z R IR z z
2
1 ssi z , k {0,1,2,....., 1}, racines nièmes de l'unité
k
i
nn
k
z e n
.
2
()
ssi z avec r = et arg (a) (2 ), k {0,1,2,....., 1}
k
i
nn
nn
k
z a re a n
 Equation : az2+bz+c=0
On calcule
24b ac  
et on cherche une racine carré de  .
Si
alors x iy
: 
' et ''
22
bb
zz
aa
sont les solutions de l’équation.
'b zz a
et
'c zz a
.
 P(z)=0 équation de degré n :
Si z0 solution de P(z)=0 alors P(z) = (z-z0)Q(z) est un polynôme de degré n-1.