Mr :Khammour.K 4émeMath & Sc-exp Résumé 1 : Nombres complexes z a ib ; a et b sont deux réels : forme cartésienne ou algébrique de z , a Re( z ) et b Im( z ) . z a 2 b2 : module de z . z a ib : le conjugué de z z z 2Re( z) z z 2i Im( z) z.z Re( z) 2 Im( z) 2 z z z0 z z0 z 2 2 Re( z0 ) z z Pour tout nombre complexe z et z0 on a : z est réel ssi Im(z) = 0 2 2 . ssi z z . z est imaginaire ssi Ré(z) = 0 ssi z z . Le plan muni d’un repère orthonormé direct ( ⃗ ). A tout point M (a , b) on associe le nombre complexe z a ib noté aff(M) où z M . On a : OM z et u, OM arg( z ) 2 M’=S(Ox)(M) ssi zM zM ' ; M’= SO(M) ssi z M ' zM M’=S(Oy)(M) ssi zM zM ' Opérations sur les arguments: 1 arg zz’ arg( z) arg( z ') 2 arg z arg( z ) arg( z ') 2 arg arg( z ) 2 z’ z arg z n n arg( z ) 2 arg z arg( z ) 2 L’affixe du vecteur AB est z B z A zB z A AB arg z arg( z) 2 et arg zB z A u, AB 2 z A zB . 2 M d’affixe z appartient à la médiatrice de [AB] ssi zM zA zM zB L’affixe du milieu de [AB] est M d’affixe z appartient au cercle de centre A et de rayon r ssi zM z A r AB, CD arg zz (2 ) u et v deux vecteurs tels que v est non nul zC B zA D u et v sont colinéaires ssi aff (u ) est réel. aff (v ) u et v sont orthogonaux ssi aff (u ) est imaginaires. aff (v ) z z z A z MA et MA, MB arg B M zB z MB z A zM {M un point du plan tel que , (2 ) MA 1 } = med [AB]. MB {M(z) tel que , arg( z z ) ( ) }= la droite (AT) privé du point A tel que u, AT (2 ) . {M(z) tel que , arg( z z A ) (2 ) }= la demi droite [AT) privé du point A tel que u, AT (2 ) . A {M(z) tel que , MA, MB (2 ); k }= l’arc AB privé des points A et B du cercle passant par A et B et tangent à [AT) tel que AT , AB (2 ) . Remarque : Si 2 ( ) , l’ensemble est le demi cercle de diamètre [AB] privé de A et B. {M du plan tel que , MA, MB (2 ); k }= cercle passant par A et B privé des points A et B et tangent à [AT) tel que AT , AB (2 ) . Remarque : Si 2 (2 ) , l’ensemble est le cercle de diamètre [AB] privé de A et B. z r (cos i sin ) : forme trigonométrique de z avec r a2 b2 et tel que cos z rei : forme exponentielle de z.Formule de Moivre : ei n ein ou cos isn cos(n ) i sin n n z rei , r 0 z r et arg( z ) 2 OM r et u, OM 2 . Opposé : z rei ( ) Produit : rei .r ' ei ' rr ' ei ( ') Puissance : (rei )n r n ein x ix 1 eix 2 cos e 2 2 Conjugué : z rei rei r ei ( ') Quotient : i ' r 'e r' i i ei ei e e cos et sin 2i 2 x i 2x ix 1 e 2 i sin e et 2 M z A z , R z z0 R il existe IR, z z0 Rei 0 z n 1 ssi z k e i 2 k n , k {0,1, 2,....., n 1}, racines nièmes de l'unité . 2 k i( ) n n z a ssi zk re n a b et sin . r r avec r n = a et arg (a) (2 ), k {0,1, 2,....., n 1} Equation : az2+bz+c=0 On calcule b2 4ac et on cherche une racine carré de . | | Si x iy alors : { ( ) ( ) b b sont les solutions de l’équation. z' et z '' 2a 2a b c z z ' et zz ' . a a P(z)=0 équation de degré n : Si z0 solution de P(z)=0 alors P(z) = (z-z0)Q(z) est un polynôme de degré n-1.