CINEMATIQUE (université de Djelfa)

CINÉMATIQUE
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MÉCANIQUE DU POINT MATÉRIEL
A- CINÉMATIQUE
DÉFINITIONS
Système de référence :
Pour pouvoir décrire le mouvement d’un mobile en général il nous faut un repère : c’est à dire un
système de référence qui comprend un point d’origine, et un système de trois axes gradués
formant un trièdre direct, toutes les distances sont calculées dans ce système d’axes par rapport à
l’origine.
Notion de point matériel :
L’étude du mouvement d’un corps solide indéformable peut être décomposée en deux parties :
 Le mouvement du centre de gravité du corps.
 Le mouvement de rotation du corps autours de son centre de masse.
Dans ce chapitre nous nous intéresserons uniquement au premier problème, donc nous
considérerons tout solide indéformable comme étant un point matériel confondu avec le centre
de gravité du corps et ayant la même masse que ce dernier.
Trajectoire :
C’est la courbe que décrit le point matériel lors de son mouvement. Elle peut être réelle (route,
chemin de fer, …) ou fictive (orbite planétaire…).
I. MOUVEMENT RÉCTILIGNE
I.1. TRAJÉCTOIRE
Soit un mobile – que nous assimilons à un point matériel – animé d’un mouvement rectiligne.
Donc sa trajectoire est segment de droite, d’où nous n’avons besoin que d’un seul paramètre
pour connaître la position du point matériel en question, ce paramètre est la distance par rapport
à un point d’origine dit « Origine des coordonnées ». Alors nous commencerons à étudier le
mouvement du mobile par rapport à ce point (O) à partir d’un temps t0 = 0s considéré comme
« Origine des temps ».
I.2. POSITION
La position du mobile est définie d’abord en choisissant un sens positif du déplacement sur l’axe
contenant la trajectoire. Ce choix est arbitraire. Les positions en aval (après) du point d’origine
sont notées positivement, les positions en amont (avant) sont notées négativement.
Alors nous pourrons commencer le repérage de la position du mobile pour différents temps t. La
position à chaque instant est représentée dans un tableau comme celui qui suit

CINÉMATIQUE
2
t
t0
t1
t2
….
x(t)
x(t0)
x(t1)
x(t2)
….
a)- Point de vue graphique :
Si nous rapportons x(t) en fonction de t sur un graphe
comme montré ci-contre, nous obtenons le diagramme des
espaces. C’est la courbe qui nous donne x(t) à chaque
instant t calculé en plus elle nous donne x(t) pour les
temps intermédiaires (processus d’interpolation).
Attention : La courbe x(t) en fonction de t n’est pas la
trajectoire.
b)- Point de vue analytique
Si nous constatons que les différents point du tableau précédent peuvent être donnés par une
fonction x = f(t), ou si la courbe x(t) est familière et peut être définie à partir d’une fonction
scalaire alors nous pourrons décrire le mouvement du point matériel à l’aide de cette fonction
x(t) = f(t) et l’équation précédente est dite équation horaire du mouvement.
Exemple : x(t) = – 5.t2 + 20.t (qui est représentée graphiquement par un arc de parabole)
x (en mètres) et t (en secondes).
Remarque : x(t) est une valeur algébrique, elle peut être positive (après le point d’origine),
négative (avant le point d’origine) ou nulle (au point d’origine).
I.3. VITESSE MOYENNE
a)- Notion de vitesse moyenne
La vitesse moyenne est définie comme étant la valeur du déplacement entre deux instants t1 et t2
divisée par l’intervalle de temps Δt = t2 – t1. Son unité dans le système [MKSA] est le
mètre/seconde.
Exemple : Le trajet Alger-Djelfa en voiture (distance 300 km).
Si nous faisons le trajet en 3 heures alors la vitesse moyenne de la voiture est de
Vmoy = 300 km/3 h = 100 km/h. Bien que la vitesse de la voiture ne soit pas uniforme.
b)- Détermination graphique
tg
tt xx t
x
Vmoy 
12
12
C’est la pente de la droite qui coupe le diagramme des
espaces aux point (t1,x1) et (t2,x2).
x(t)
t
x2
x1
t1
t2
x(t)
t
x2
x1
t1
t2

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c)- Détermination analytique
12
12 tt txtx
Vmoy 
Exemple : Déterminez la vitesse moyenne du mobile dans l’exemple précédent
(x(t) = – 5.t2 + 20.t) entre t = 0s et t = 2s.
x(0s) = 0 m ; x(2s) = 20 m ; Vmoy = (20–0)/(2–0) = 10 m/s
I.4. VITESSE INSTANTANÉE
La vitesse instantanée n’est pas une vitesse mesurée entre deux instants t1 et t2 mais la vitesse à
un instant t donné (dans notre exemple elle correspond à la valeur que nous donne le compteur
de vitesse, par exemple 120 km/h sur l’autoroute ou 50 km/h en ville). En fait cette notion est
théorique car en réalité on ne peut que calculer des intervalles de temps et non des instants t.
Dans la pratique nous assimilons la vitesse instantanée à l’instant t à la vitesse moyenne sur un
intervalle de temps Δt très petit (assez petit pour éviter les changements significatifs de vitesse)
centré sur t. Unité (système [MKSA]) : m/s.
b)- Détermination analytique
Si x(t) est une fonction connue définie et continue alors
12
12
lim
12 tt txtx
Vtt
isnt 
. Qui est la
définition de la dérivée de x(t), donc :
td tdx
tVtVisnt .
ou bien
txtV 
Exemple : x(t) = – 5.t2 + 20.t  V(t) = x●(t) = – 10.t + 20.
c)- Diagramme des vitesses
Donc si nous pouvons calculer V(t) à chaque instant t d’une
façon ou d’une autre alors nous somme en mesure de tracer la
courbe V(t) en fonction de t ; c’est le diagramme des vitesses
du mobile.
t
x(t)
t
x(t)
a)- Détermination graphique
tg
ttx
V
t
inst 
Visnt est la pente de la tangente au
diagramme des espaces au point (t, x(t)).
V(t)
t
V(t1)
t2
t1
V(t2)

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I.5. ACCÉLÉRATION MOYENNE
De la même manière que nous avons procédé pour définir la vitesse moyenne, nous définissons
l’accélération moyenne comme étant la variation de la vitesse entre les instants t1 et t2 divisée par
Δt = t2 – t1. Son unité dans le système [MKSA] est le m/s2.
a)- Détermination graphique
tg
tt tVtV t
V
amoy 
12
12
C’est la pente de la droite qui coupe la courbe V(t) en t1 et t2.
b)- Détermination analytique
Si V(t) est une fonction connue alors
12
12 tt tVtV
amoy 
Exemple : V(t) = – 10.t + 20. Calculez l’accélération moyenne entre t1 = 0s et t2 = 2s.
amoy = (0 – 20)/(2 – 0) = –10 m/s2.
I.6. ACCÉLÉRATION INSTANTANÉE
L’accélération instantanée est définie comme étant le taux de variation de la vitesse par rapport
au temps en un instant donné (comme la notion de vitesse instantanée c’est une notion purement
théorique), donc :
t
V
at
inst 
 0 lim
(Unité : m/s2)
a)- Détermination graphique
ainst est la pente de la tangente à la courbe des vitesses
au point t.
b)- Détermination analytique
t
V
at
inst 
 0 lim
dttdV
tatainst 
ou
tVta 
d’où si nous connaissons l’expression de la fonction V(t) nous pouvons obtenir a(t) en dérivant
cette fonction.
Exemple : V(t) = –10.t + 20 a(t) = –10 m/s2.
V(t)
t
V(t1)
t2
t1
V(t2)
V(t)
t
t
V(t)

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I.7. PASSAGE DE LA VITESSE AU DÉPLACEMENT (CALCUL INTÉGRAL)
Puisque nous savons que
dttdx
tV 
donc
dttVtx .
D’où le déplacement entre deux points t1 et t2 est donné par :
 2
1.
12
t
tdttVtxtx
a)- Détermination graphique
12 txtx 
est égale à l’aire A sous la surface du diagramme des vitesses.
b)- Détermination analytique
Le déplacement entre deux points t1 et t2 est donné par
 2
1.
12
t
tdttVtxtx
Si nous voulons connaître la position du mobile à n’importe quel instant t, alors il nous faut
connaître sa position en un instant donné t0.
 t
tdttVtxtx 0.
0
Exemple : V = 5.t2 m/s à t0 = 3 s x(t0) = 10 m.
Donc
 tdttxtx 3
2..53
35.
3
53 ttx
Remarque : En général nous prenons t0 = 0 s et x(0) est la position du mobile au
commencement de la mesure appelée position initiale x(0) = x0.
Exemple : V = 5.t2 m/s à t0 = 0 s x(t0) = 35 m.
Donc
 tdttxtx 0
2..50
35.
3
53 ttx
V(t)
t
t2
t1
A