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Luc Rainville
11048 Math – Statistiques / Intra 2
16/04/2017
1. Une directrice d’usine de fabrication de pièces vient de signer un contrat afin de produire une
pièce dans un moteur. Dans le contrat on stipule que le pourcentage de pièces défectueuses ne
sera jamais supérieur à 1%. Sur un lot de 500 pièces on en prélève 30 avec remise.
a. En se fiant au contrat signé comment devrait-on trouver de pièces défectueuses en
moyenne ?
Pour n > 20, p ≤ 0,10 et np ≤ 5 on a γ = np
E(X) = γ = np = 30 * ,01 = ,3
b. Quelle serait la cote Z minimale pour trouver plus de 2 échantillons défectueux ?
σ = √ γ = √ ,3 = ,548
Z = (x – γ) / σ = (3 - ,3) / ,548 = 2,7 / ,548
= 4,93
c. Quelle serait la probabilité que le fabricant remplisse son contrat avec moins de 2
pièces défectueuses ?
B (30 ;0,01) ≈ Po(0,3), P(X<2) = 0,0037 = 96,3 %
2. Un test à choix multiples comporte 10 questions. Chaque question a une possibilité de 5
réponses. Si l’on répond au hasard à ces questions :
a. Quelle est la probabilité d’avoir au moins la note de passage de 60% ?
Pour n = 10 indépendants (succès) p = 0,20 donc (insuccès) q = 0,80 B(10 ;0,2)
P(X=6,7,8,9,10) = F(6+7+8+9+10) = ,55 + ,08 + ,01 + ,00 + ,00 = ,64 % = ,6 %
b. Quelle est la probabilité d’avoir la note de 0 ?
P(X=0) = F(0) = 10,74 % = 10,7 %
c. Quelle est la probabilité d’avoir la note de 100 ?
P(X=10) = F(10) = 0 %
3. Dans une certaine université, la distribution des résultats au test d’admission en médecine suit
une la normale (81,3% ; 6,5%).
a. Quelle est la probabilité qu’un étudiant choisi au hasard parmi ceux qui ont subi le
test, ait une note supérieure à 90% ?
P(X > 90) = P (Z > (90 – 81,3)/6,5) = P (Z > 8,7/6,5) = P (Z > 1,34)
P(X > 90) = 9,01% = 9 %
b. S’il y a de la place pour seulement 33 % des étudiants qui ont subi le test, les
étudiants acceptés en médecine auront une supérieure à quelle note 0 ?
Si P(X > 33%) la note = ?
P(X > 33%) => Z = ,44 => note = 81,3 + (6,5*.44) => note = 81,3 + 2,86
note = 84,16
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4. D’après une association étudiante, 50 % des étudiants du Québec sont contre l’augmentation des
frais de scolarité, 30 % sont en faveur et 20 % n’ont pas d’opinion.
a. Sur un échantillon de 10 étudiants, quelle est la probabilité d’avoir au moins 5
étudiants qui sont pour l’augmentation des frais de scolarité ?
Pour n = 10 indépendants (succès) p = 0,30 donc (insuccès) q = 0,70 B (10 ; 0,3)
P(X=5,6,7,8,9,10) = F (5,6+7+8+9+10) = 10,29 + 3,68 + ,9 + ,14 + ,01 + ,00 = 15 %
b. Sur un échantillon de 1000 étudiants, calculer et commenter l’espérance
mathématique et l’écart type ?
Pour B(1000 ;0,3) : E(X) = np = 300 & σ = √npq = √210 =14,5
c. Sur un échantillon de 1000 étudiants, commenter la véracité du 30% en faveur si
l’on tire :
i. 250 étudiants pour
ii. 310 étudiants pour
i. Z= (250-300)/14,5 = -3,45 : peu probable, échantillon incorrect ou % plus faible 25%
i i. Z= (310-300)/14,5 = 1,04 : très probable, échantillon correct
d. Sur un échantillon de 10 étudiants, quelle est la probabilité d’avoir 2 étudiants qui
sont pour l’augmentation des frais de scolarité ?
Pour n = 10 indépendants (succès) p = 0,30 donc (insuccès) q = 0,70 B (10 ; 0,3)
P(X=2) = F(2) = 23,4 % ce qui est normal
5. La durée de vie des piles d’une certaine compagnie suit la distribution normale suivante
(110 heures; 10heures).
a. Quelle est la probabilité qu’une pile choisie au hasard, ait une durée de vie
supérieure à 125 ?
P(X > 125) = P (Z > (125 – 110)/10) = P (Z > 15/10) = P (Z > 1,5)
P(X > 125) = ,0668% = 6,7 %
b. Quelle est la probabilité qu’une pile choisie au hasard, ait une durée de vie entre 95
et 125 ?
P(X < 95) = P(X > 125) = P (Z > (125 – 110)/10) = P (Z > 15/10) = P (Z > 1,5)
P(X < 95) = P(X > 125) = ,0668% = 6,7 %
P( 95 ≥ X ≤ 125 ) = 1- 2(6,7%) = 86,6%
c. Quelle doit être la garantie de durée de vie d’une pile si le producteur ne veut
remplacer que 5% des piles ?
Si P(X > 5%) la durée = ?
P(X > 5%) => Z = 1,645 => durée = 110 + (10*1,645) => note = 110 - 16,45
note = 93,55 heures. Si chiffre entier : 93 ou 94 heures
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6. Dans une étude, 80% des familles possèdent un CD-ROM. Quelle est la probabilité que, dans un
échantillon au hasard de 100 familles, 90 % d’elles en possèdent un ?
a. Quelle est la probabilité que, dans un échantillon au hasard de 100 familles, 90 %
d’elles en possèdent un ?
X suit une B (100 ; 0,8) où X = 0, 1, 2, 3, 4, 5..100. => P(X > 90) ≈ P(X > 90,5) = ?
Si np (100 * ,8 = 80) > 5 & nq (100 * ,2 = 20) > 5 alors
μ= np = 80 & σ = √npq = √16 = 4
P(X > 90,5) = P (Z > (90,5 – 80 )/4) = P (Z > 10,5/4) = P (Z > 2,63)
P(X > 90,5) = 0,4%
7. On lance 100 fois une pièce de monnaie. Soit X le nombre de faces obtenu en 100 lancers.
Calculer les probabilités suivantes :
X suit une B (100 ; 0,5) où X = 0, 1, 2, 3, 4, 5..100. => ≈ N(50 ;5)
a. P( 50 ≤ X ≤ 60 )
P( 50 ≤ X ≤ 60 )= P( 49,5 ≤ X ≤ 60,5 )= P (,5/5 ≤ Z ≤ 10,5/5) = P (,1 < Z < 2,1) =>
P ((,5-,4602) + (,5-,0179)) = (,0398+,4821) = ,5219 = 52,2 %
b. P( 49 < X < 61 )
P( 49 < X < 61 )= P( 49,5 ≤ X ≤ 60,5 )= P (,5/5 ≤Z≤ 10,5/5) = P (,1 < Z < 2,1) =>
P ((,5-,4602) + (,5-,0179)) = (,0398+,4821) = ,5219 = 52,2 %
c. P(X=54)
P(X=54) = P( 53,5 ≤ X ≤ 54,5 )= P(3,5/5 ≤ X ≤ 4,5/5) = P (,7 < Z < ,9) =>
P (,2420 - ,1841) = ,0579 = 5,8 %
d. P(X>62)
P(X>62) = P(X>62,5) =P(12,5/5) = P (Z > 2,5) = P (,0062) = ,6%
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8. Le quotient intellectuel (QI) suit une distribution normale (100;16). Soit X le QI obtenu.
Calculer les probabilités suivantes :
a. Pourcentage pour ( 92 ≤ X ≤ 108 )
P( 92 ≤ X ≤ 108 )= P( 49,5 ≤ X ≤ 60,5 )= P (8/16≤ Z ≤8/16) = P (-,5 < Z < ,5) =>
P ((,5-,3085) + (,5-,3085)) = (,1915+,1915) = ,3830 => 38,3 %
b. Pourcentage pour ( X < 70 )
P(X < 70 )= P ((100-70)/16) = P (Z < 1,875) => ,0304 => 3 %
c. P(X= ?) si vous avez un QI supérieur à 80 % de la population ou 20 % à droite de la
courbe.
20%=>Z=,84 => 100 + ,84*16 =113,44 = 113
d. Si P(X≥150) combien y a-t-il de personnes sur 1000
P(X≥150) = P ((150-100)/16) = P (Z > 3,125) = P (,0008) = ,08%
,0008 * 1000 = ,8 ≈ 1
9. La température du mois d’août à midi suit une distribution normale (21◦C ; 3◦C). Calculer les
probabilités suivantes :
a. Pourcentage pour température < 15 ◦C
P(X < 15 ◦C)= P ((21-15)/3) = P (Z < 2) => ,0228 => 2,3 %
b. Pourcentage pour température 18 ≤ X ≤ 22
P(18 ≤ X ≤ 22 )= P (21-18/3≤ Z ≤22-21/3) = P (-1 < Z < ,33) =>
P ((,5-,1587) + (,5-,3707)) = (,3413+,1293) = ,4706 => 47,1 %
c. Pourcentage pour température > 25 ◦C
P(X > 25 ◦C)= P ((25-21)/3) = P (Z > 1,33) => ,0918 => 9,2 %
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Loi Binomiale B(n;p)
Loi de Poisson Po(λ)
Loi Normale N(μ;σ2 )
Type de variable
Type de variable
Type de variable
Variable aléatoire discrète
Variable aléatoire discrète
Variable aléatoire continue
ou discrète si beaucoup de
valeurs
Contexte
Contexte
Contexte
-
- X : nombre de succès par
région
- X = 0, 1, 2, 3, 4, 5..n.
- On a de l’information
permettant λ
- On indique que X suit
une loi normale de
moyenne μ et d’écart
type σ
- Théoriquement : ∞<X<∞
Espérance et Variance
Espérance et Variance
Espérance et Variance
E(X) = np
VAR(X) = npq
σ = √ npq
E(X) = λ
VAR(X) = λ
σ=√λ
E(X) = μ
VAR(X) = σ2
σ = √ σ2
Calcul des probabilités
Calcul des probabilités
Calcul des probabilités
Avec la table de poisson,
après avoir trouvé la
moyenne de succès λ pour la
région étudiée.
En utilisant la table N(0;1)
après avoir trouvé la cote z
de X.
Cote z = Valeur-moyenne
Écart type
n épreuves indépendantes
chaque épreuve : succès ou échec
X : nombre de succès en n épreuves
X = 0, 1, 2, 3, 4, 5..n.

Pour n ≤ 20
- avec la table binomiale
- avec la fonction de probabilité
lorsque ρ ou q n’est pas dans
la table
n
f(x) = P(X=x) =   pxqn-x
 x

Pour n > 20
En effectuant une approximation
- avec la loi de Poisson
où λ = np
si p≤ 0,1 & np≤5;
- avec la loi Normale
où μ = np & σ = √ npq
si np≥5 & nq≥5;
Ne pas oublier la correction de
continuité de discrète à continue
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Table de la Loi Binomiale
(k le nombre d’occurrences parmi n)
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Table loi de Poisson ( cumulative )
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