Analyse : chap 1

7e partie : ANALYSE
Table des matières
7e partie : ANALYSE....................................................................................................................... 1
Table des matières ........................................................................................................................... 1
Chapitre 1. Fonctions réciproques -Fonctions cyclométriques..................................................... 3
A.
Fonctions réciproques ............................................................................................................. 3
1.
Exemple 1 ........................................................................................................................................ 3
2.
Exemple 2 ........................................................................................................................................ 4
3.
Conclusion ....................................................................................................................................... 4
4.
Théorème......................................................................................................................................... 5
B.
Fonctions cyclométriques ....................................................................................................... 6
1.
La fonction x  Arcsin x ............................................................................................................. 6
2.
La fonction x  Arccos x ........................................................................................................... 8
3.
La fonction x  Arctg x ............................................................................................................ 10
Chapitre 2. Fonctions exponentielles et logarithmiques ............................................................. 12
A.
Fonctions exponentielles ...................................................................................................... 12
1.
Exemples ....................................................................................................................................... 12
2.
Définition ....................................................................................................................................... 13
3.
Règles de calcul ............................................................................................................................. 13
4.
Propriétés ...................................................................................................................................... 13
B.
Fonctions logarithmiques ..................................................................................................... 15
1.
Exemples ....................................................................................................................................... 15
2.
Définition ....................................................................................................................................... 15
3.
Graphiques .................................................................................................................................... 16
4.
Propriétés ...................................................................................................................................... 17
5.
Règles de calcul ............................................................................................................................. 17
6.
Changement de base ..................................................................................................................... 18
C.
Dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques .................................................... 19
1.
Dérivée de la fonction exponentielle ........................................................................................... 19
2.
Le nombre e .................................................................................................................................. 19
3.
Propriétés du nombre e .............................................................................................................. 20
4.
Dérivée de la fonction exponentielle de base e ........................................................................... 20
5.
La fonction "logarithme népérien" ............................................................................................ 20
6.
Dérivée de la fonction "logarithme népérien" ........................................................................... 21
7.
Dérivée de la fonction logarithmique .......................................................................................... 21
6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 1 : Fonctions réciproques et cyclométriques p.1.
8.
Retour à la dérivée de la fonction x  a x ................................................................................. 22
9.
Dérivée de la fonction x  u( x )v ( x ) ............................................................................................ 23
10. Exemples d’utilisation des fonctions exponentielles et logarithmiques ................................... 23
D.
Équations exponentielles et logarithmiques ........................................................................ 24
1.
Équations exponentielles .............................................................................................................. 24
2.
Équations logarithmiques ............................................................................................................ 25
Chapitre 3. Les primitives ............................................................................................................. 26
A.
Notion de différentielle.......................................................................................................... 26
1.
Définition ....................................................................................................................................... 26
2.
Calculs de différentielles .............................................................................................................. 27
B.
Notion de primitive ................................................................................................................ 28
1.
Définition ....................................................................................................................................... 28
2.
Théorèmes ..................................................................................................................................... 28
3.
Intégrale indéfinie......................................................................................................................... 28
Méthodes d’intégration ......................................................................................................... 29
C.
1.
Intégrations immédiates............................................................................................................... 29
2.
Intégration par décomposition .................................................................................................... 29
3.
Intégration par substitution ........................................................................................................ 30
4.
Intégration par parties (première présentation) ....................................................................... 31
5.
Intégration par parties (deuxième présentation) ....................................................................... 32
6.
Intégration par changement de variable .................................................................................... 33
Chapitre 4. Les intégrales ............................................................................................................. 34
A.
B.
Intégrale définie .................................................................................................................... 34
1.
Exemple introductif ...................................................................................................................... 34
2.
Définitions d’une intégrale définie .............................................................................................. 36
3.
Propriétés de l’intégrale définie .................................................................................................. 40
Calcul d’une aire à l’aide d’une primitive ........................................................................... 41
Chapitre 5. Applications de l’intégrale définie ............................................................................ 43
Calculs d’aires et de volumes ........................................................................................................ 43
A.
Calculs d’aires ....................................................................................................................... 43
B.
Les solides de révolution ....................................................................................................... 47
6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 1 : Fonctions réciproques et cyclométriques p.2.
Chapitre 1. FONCTIONS RÉCIPROQUES FONCTIONS CYCLOMÉTRIQUES
Remarque générale
Sauf précision contraire, on considérera que les repères utilisés sont orthonormés.
A. Fonctions réciproques
Considérons une fonction f : R  R : x  f ( x) et son graphique d’équation y  f (x) .
Permutons les coordonnées x et y.
On obtient : x  f ( y ) .
Isolons y.
La relation obtenue est appelée réciproque de la fonction f.
y
y  2x  3
y
b g
1
x3
2
x
1. Exemple 1
Considérons la fonction
f : R  R , x  2x  3
Le graphique de cette fonction est la droite d’équation
y  2x  3
Procédons comme décrit ci-dessus; il vient :
x  2y  3
1
y  ( x  3)
2
1
x  ( x  3) est la relation réciproque de la fonction x  2 x  3
2
Dans le cas présent, c'est une fonction.
On constate que dans un repère orthonormé, les graphiques de ces deux fonctions
réciproques sont symétriques par rapport à la première bissectrice d’équation : y  x .
6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 1 : Fonctions réciproques et cyclométriques p.3.
2. Exemple 2
On considère la fonction f : R  R : x  x2
Le graphique de la fonction f comprend les points :
x
f
0
0
-1
1
1
1
-2
4
2
4
Le graphique de la réciproque de f comprend les points :
x
f
1
0
0
1
-1
1
1
4
-2
y
4
2
y  x2
yx
x
Le graphique de cette fonction est la courbe d’équation : y  x 2
Procédons comme dans le premier exemple. Il vient
x  y2
y
x ou y   x
La réciproque de cette fonction n’est pas une fonction.
Remarque
Afin que la réciproque de cette fonction soit une fonction, il faut restreindre son domaine à
R ou R- .
3. Conclusion
La réciproque d’une fonction n’est pas toujours une fonction.
Pour que la réciproque d'une fonction soit une fonction, il faut que la fonction donnée soit
strictement monotone (soit strictement croissante, soit strictement décroissante). La
fonction réciproque sera notée f 1 .
6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 1 : Fonctions réciproques et cyclométriques p.4.
4. Théorème
La réciproque d'une fonction f continue et strictement monotone dans un intervalle a , b
est une fonction continue et strictement monotone de même sens de variation dans
l’intervalle f  a , b .
On admettra ce théorème sans démonstration.
6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 1 : Fonctions réciproques et cyclométriques p.5.
B. Fonctions cyclométriques
y
1. La fonction x  Arcsin x
2
La réciproque de la fonction sin
n’est pas une fonction.

/2

2
3
/2
x
y  sin x
1
y  Arc sin x
y
/2
-1
1
y  sin x
 

f :   ,    1 , 1 : x  sin x
 2 2
  
f 1 :  1 , 1    ,  :
 2 2
 Définition
-/2
1
x  Arcsin x
/2
x
-1
   
La fonction sin est continue et croissante dans l'intervalle   ,  . Elle admet donc une
 2 2
fonction réciproque Arcsin , continue et croissante dans l'intervalle   1, 1 .
sin y  x

y  Arcsin x   


 y 

2
 2
6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 1 : Fonctions réciproques et cyclométriques p.6.
 Remarques
 x   1, 1 , on a sin  Arcsin x   x
  
 x   ,  , on a Arcsin  sin x   x
 2 2
 Exemples
Arc sin
2 

2
4

3


Arc sin  

3
 2 

2

4
2
   
  ,
4  2 2 
car
sin
car
3
   
 
sin     
et    , 
2
3  2 2
 3
 Dérivée
L’équation
et
Arcsin x  y
est équivalente à
x  sin y et


2
y

2
Dérivons les deux membres par rapport à x. Il vient successivement
( x)  (sin y )
1  y. cos y
1
y 
si cos y  0
cos y
Puisque
cos2 y  1  sin 2 y
on a
ou
cos y  1  sin 2 y
Comme y est compris entre 
cos y   1  sin 2 y


et , cos y est positif et on prend la valeur
2
2
cos y  1  sin 2 y
D'où
y 
1
1
1


2
cos y
1  sin y
1  x2
(Arcsin x)' 
1
1  x2
dans l'intervalle 1, 1
et
 Arcsin
 Exemple
Arcsin (2 x  1)' 
u ( x)  ' 
(2 x  1)'
1  (2 x  1)
2

u '( x)
1  u 2 ( x)
2
1  (4 x  4 x  1)
2

1
 x2  x
6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 1 : Fonctions réciproques et cyclométriques p.7.
2. La fonction
x  Arccos x
y
La réciproque de la fonction cos
n’est pas une fonction.
2


2
3
x
y  cos x
-1
1
y  Arc cos x
y

f : 0,     1 , 1 : x  cos x
f
1
/2
:  1,1  0,   : x  Arccos x
/2
 Définition
La fonction cos est
décroissante sur  0 ,  .
continue
et

x
y  cos x
Elle admet donc une fonction réciproque notée Arccos , continue et décroissante dans
  1, 1 .
y  Arccos x 
cos y  x

0  y  
6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 1 : Fonctions réciproques et cyclométriques p.8.
 Remarques
 x   1, 1 , on a cos  Arccos x   x
 x   0,  , on a Arccos  cos x   x
 Exemples
1 
Arccos 
2 3

2  3
Arccos  
 
 2  4

car
cos
car

cos 

 Dérivée
L'équation
3
1

et
 0 ,  
2
3
3 
2
3
et
 0 , 

4 
2
4


Arccos x  y
est équivalente à
x  cos y et
0 y 
Dérivons les deux membres par rapport à x. Il vient successivement
( x)  (cos y )
1   y. sin y
1
y 
si sin y  0
sin y
Puisque
sin 2 y  1  cos2 y
on a
sin y  1  cos2 y
ou
sin y   1  cos 2 y
Comme y est compris entre et  , sin y est positif et on prend la valeur
sin y  1  cos 2 y
Donc
y 
1
1
1


sin y
1  cos 2 y
1  x2
( Arc cos x)' 
1
1  x2
  1, 1
dans
et
 Arc cos
u ( x)  ' 
u '( x)
1  u 2 ( x)
 Exemple
(Arccos 3x 4 )' 
 (3x 4 )'
1  (3x 4 ) 2

 12 x3
1  9 x8
6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 1 : Fonctions réciproques et cyclométriques p.9.
3. La fonction x  Arctg x
La réciproque de la fonction tg n’est
pas une fonction.
y
y  tg x

/2
/2
y
  
f :   ,   R : x  tg x
 2 2
x

y  tg x
y  Arctg x
 /2
  
f 1 : R    ,  : x  Arctg x
 2 2
6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 1 : Fonctions réciproques et cyclométriques p.10.
x
 Définition

  
La fonction tg est continue et croissante sur   ,  .
 2 2
Elle admet donc une fonction réciproque Arctg , continue et croissante sur R .
y  Arctg x
 Remarques
 tg y  x

 

  y

2
 2

x  R , on a tg  Arctg x   x
  
x    ,  , on a Arctg  tg x   x
 2 2
 Exemples
Arctg  1   
Arctg 3 

car
4

car
3

3

Arctg  
  
3 
6

car
 
tg     1
 4
  
tg 
 3
 3 
  
   ,
4  2
  
et
  ,
3  2
et
3
  
tg     
3
 6 
et

2 

2 
   
   , 
6  2 2
 Dérivée
L’équation
Arctg x  y
est équivalente à
x  tg y
et


 y

2
2
Dérivons les deux membres par rapport à x. il vient successivement
( x)  (tg y )
1
1  y .
 y. (1  tg 2 y )
2
cos y
1
1
y 

2
1  tg y 1  x 2
(Arctg x)' 
1
1  x2
et
 Arctg u( x)  ' 
u '( x)
1  u 2 ( x)
 Exemple
 Arctg (x3  1)  ' 
( x3  1)'
3 x2
3x 2


1  ( x3  1)2 1  x 6  2 x3  1 x 6  2 x3  2
6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 1 : Fonctions réciproques et cyclométriques p.11.
Chapitre 2. Fonctions exponentielles et logarithmiques
A. Fonctions exponentielles
1. Exemples
x
1
Représentons graphiquement les fonctions f : R  R : x  2 et g : Q  R : x    .
2
x
y2
x
y
-4
1
16
1
y 
2
x
-2
1
4
-1
1
2
0
1
2
x
-4
-2
-1
0
1
2
4
y
16
4
2
1
y
x
1
1
2
2
1
4
y
x
x
5
Lisons graphiquement une valeur approchée de 2 .
x
x
3
Représentons les fonctions f : x    et g : x  1,14 sur le graphique de gauche et les
2
x
x
1
fonctions h : x    et i : x   0,8 sur le graphique de droite.
3
1I y
F
G
H3J
K
x
y
y
3I
F
G
H2 J
K
F3 I
y  GJ
H2 K
x
y
x
bg
y  0,8
x
bg
y  114
,
x
x
x
6e année - 7e partie - Analyse - Chapitre 2 : Fonctions exponentielles et logarithmiques p.12.
2. Définition
Une fonction exponentielle est une fonction du type f : R  R : x  a x avec a  R0 \ 1 .
Remarques
 a s'appelle la base.
 La variable apparaît en exposant.
 Le graphique de la fonction d’équation y  a x passe toujours par les deux points  0,1 et
1,a 
 On a éliminé la valeur a  1 , car, dans ce cas, on obtient la fonction constante x  1 .
 On a éliminé les valeurs de a négatives et nulle; en effet, dans ce cas, a x n’existe pas
pour toutes les valeurs de x.
Exemple
1
( 4) 2   4 .
3. Règles de calcul
On admettra sans démonstration que les règles de calcul des puissances à exposants
rationnels restent valables lorsque les exposants sont réels.
p, q  R
p  R
et
et
a  0 :
ap
 a p q
aq
a p .a q  a p  q
a  0 , b  0 :
a
1
 a p
ap
a 
p q
 ap . q
p
ap
a

 
bp
b
. b  a p . b p
p
4. Propriétés
a. Dom f  R,
Im f  R0
b. La fonction est strictement positive : x  R : a x  0 .
c. La fonction est continue dans R .
d. La fonction exponentielle étant strictement monotone, on appliquera les propriétés
suivantes :
x, y  R :  a x  a y    x  y 
 strictement croissante si a  1 :
x, y  R :
 strictement décroissante si 0  a  1 :
x, y  R :
a
a
x
x
 ay  
 ay  
 x  y
 x  y
e. Les fonctions exponentielles ont une propriété graphique particulière : on peut passer
du graphique de l’une au graphique de l’autre en appliquant un étirement parallèlement à
l’axe Ox .
6e année - 7e partie - Analyse - Chapitre 2 : Fonctions exponentielles et logarithmiques p.13.
f. Limites
a 1
 lim a x  0
x  
Asymptote horizontale d’équation
y  0 en  
 lim a x   
x  
0  a 1
 lim a x   
x  
 lim a x  0
x  
Asymptote horizontale d’équation
y  0 en  
6e année - 7e partie - Analyse - Chapitre 2 : Fonctions exponentielles et logarithmiques p.14.
B. Fonctions logarithmiques
1. Exemples
Résolvons analytiquement et graphiquement les équations suivantes :


y  2x
y
2x  8
2 x  23
x3
8
2x  5
5
x
3
2. Définition
La fonction logarithmique de base a ( a  R0 \ 1 ) : x  log a x est la fonction réciproque de
la fonction exponentielle : x  a x .
Il en résulte que le logarithme de base a ( a  R0 \ 1 ) d'un nombre x ( x  0 ), est
l'exposant de la puissance à laquelle il faut élever la base a pour obtenir x.
x  R0 , y  R : y  loga x

ay  x
Reprenons le deuxième exemple :
La solution de l’équation 2 x  5 est x  log 2 5 .
Remarques
x  R0 : x  aloga x
x  R
: x  loga a x
Cas particulier : logarithmes décimaux
Les logarithmes décimaux sont les logarithmes de base 10. Dans ce cas, on n'écrit
d'habitude pas la base :
log 10 x  log x .
6e année - 7e partie - Analyse - Chapitre 2 : Fonctions exponentielles et logarithmiques p.15.
La touche "log" des calculatrices donne le logarithme décimal d’un nombre strictement
positif.
Pour autant que les conditions d’existence soient remplies, on peut écrire
log x  y  x  10 y
log 0 n' existe pas
log 1  0
log 10  1
log 100  log 10 2  2
…
log 0,1  log 10 1  1
log 0, 01  log 10  2  2
…
log 1  0
log 10  1
log 10  x
10log x  x
x
Exemples
Avec la calculatrice, on trouve : log 26  1,41497...
log 2 8  log 2 2  3
log 5
x  R0
log 3,5  0,54406...
log 2
3
où
1
 log 2 2 2  2
4
log 1000  log 103  3
1
 log 5 5 2  2
25
1
log 0,001  log 10
3
log 27 3  log 27 (27) 3 
 3
1
3
log 3 81  log 3 34  4
3. Graphiques
a 1
y
0  a 1
y  ax
y  ax
y
y  loga x
x
x
y  loga x
Remarques
es
 log a a  1
car
a1  a
 log a 1  0
car
a0  1
 On ne peut prendre le logarithme que d’un nombre positif.
6e année - 7e partie - Analyse - Chapitre 2 : Fonctions exponentielles et logarithmiques p.16.
 Le graphique de la fonction f : x  log a x passe par deux points remarquables :
(1,0) et (a,1)
 par définition, les graphiques de la fonction exponentielle et de la fonction
logarithmique sont symétriques l'un de l'autre par rapport à la première
bissectrice.
4. Propriétés
Considérons la fonction f : x  log a x
a.
Dom f  R0
,
b.
La fonction logarithmique est continue et strictement monotone.
Im f  R
c. La fonction logarithmique étant strictement monotone, on a
x, y  R0 :
 loga x  loga y 
 strictement croissante si a  1 :

0

x, y  R :
 strictement décroissante si 0  a  1 : x, y  R :

0
 x  y
 loga x  loga y 
 loga x  loga y 
 x  y
  x  y

d. Limites
a 1
0  a 1
 lim log a x   
 lim log a x   
Asymptote verticale d’équation
Asymptote verticale d’équation
x 0

x  0 en 0
x 0


x  0 en 0 
 lim log a x   
 lim log a x   
x  
x  
e. Les fonctions logarithmiques ont une propriété particulière : on peut passer du
graphique de l'une au graphique de l'autre en appliquant un étirement parallèlement à
l'axe Oy .
5. Règles de calcul
x, y  R0 :
x, y  R0 :
x  aloga x
log a
et
y  aloga
y
 x. y   log a x  log a y
Démonstration
log a x . y   log a ( a loga x . a loga y )  log a (a loga x
 loga y
)  log a x  log a y
Exemple
log 2 6  log 2 2.3  log 2 2  log 2 3  1  log 2 3
x, y  R0 : log a
x
 log a x  log a y
y
6e année - 7e partie - Analyse - Chapitre 2 : Fonctions exponentielles et logarithmiques p.17.
Démonstration
log a
x
 log a
y
 a loga x 
 log y   log a (a loga x
a
a

 loga y
)  log a x  log a y
Exemple
log 3
5
 log 3 5  log 3 3  log 3 5  1
3
Cas particulier
1
  log a x
x
x  R0 : log a
x  R0 , n  R : loga xn  n.loga x
Démonstration

log a x n  log a a loga x

n


 log a a n . loga x  n . log a x
Exemple
log 2 125  log 2 53  3 log 2 5
6. Changement de base
Pour pouvoir calculer un logarithme dans une base quelconque au moyen de la
calculatrice, il faut parfois changer de base.
On donne log a x , on cherche log b x
Pour tout x appartenant à R0 , on a
x  blogb x
b  R0 \ 1
On prend le logarithme dans la base a des deux membres et on obtient successivement
log a x  log a b logb x
log a x  log b x . log a b
log b x  log a x .
log b x 
1
log a b
log a x
log a b
Conclusion
Toutes les fonctions logarithmiques sont multiples l’une de l’autre. Graphiquement, ceci
se traduit par un étirement parallèle à l’axe Oy.
Cas particulier
Pour x  a , on a logb a 
1
log a b
Exemples
1. log7 23 
log 2 23 log10 23

 1,61 …
log 2 7
log10 7
2. Reprenons l’exemple de l'introduction : 2x  5 donc
x  log 2 5 
log5
 2,32 …
log 2
6e année - 7e partie - Analyse - Chapitre 2 : Fonctions exponentielles et logarithmiques p.18.
C. Dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques
1. Dérivée de la fonction exponentielle
Rappel
f ' ( x)  lim
h0
f ( x  h)  f ( x )
h
Au moyen de la définition de la dérivée, dérivons la fonction
f : x  a x où a  R0 \ 1 
En tenant compte qu'elle est continue, on obtient
a xh  a x
x 
a

lim
  h 0 h
a x (a h  1)
 lim
h 0
h
ah  1
 a x lim
h 0
h
Posons
ah 1
lim
k
h 0
h
en supposant que cette limite existe toujours.
a   k . a
x
x
La fonction dérivée d’une fonction exponentielle est un multiple de cette fonction
exponentielle. La valeur de k sera déterminée au paragraphe 8.
2. Le nombre e
Appelons e la valeur de a telle que la fonction exponentielle soit égale à sa dérivée. On a
eh  1
1
h 0
h
k  lim
ce qui signifie que :
e h  1 est aussi proche de h que l’on veut, à condition de prendre h suffisamment proche
de 0
eh est aussi proche de h  1 que l’on veut, à condition de prendre h suffisamment proche
de 0
e est aussi proche de
1
 h  1 h
que l’on veut, à condition de prendre h suffisamment
proche de 0
Donc
1
e  lim 1  h  h
h 0
6e année - 7e partie - Analyse - Chapitre 2 : Fonctions exponentielles et logarithmiques p.19.
On effectue le changement de variable m 
1
h
Si h  0 , m   et
1 

e  lim  1  
m
m

m
Calcul de e
1 

Recherchons les valeurs successives de l'expression Em   1 

m 

m
m 1
E1  2
m  2
E 2  4
m2
E 2  2,25
m  5
E 5  3,051...
m  10
E10  2,59...
m  10
E  10  2,867...
m  100
E100  2,704...
m  100
E  100  2,731...
m  1000
E1000  2,716...
m  1000
E  1000  2,719...
La limite de Em quand x tend vers l'infini est évidemment la valeur de e. Il en résulte que
Une valeur approchée de e est 2,718
3. Propriétés du nombre e
 e est un nombre irrationnel.
 e est un nombre transcendant (c'est-à-dire un nombre réel qui n’est pas solution
d’une équation algébrique à coefficients entiers).
4. Dérivée de la fonction exponentielle de base e
Par définition du nombre e, on a
e   e
x
et
x
e   u( x) . e
u ( x)
u ( x)
Exemples
( esin x )'  (sin x). esin x  cos x . esin x
2 
2
2

e  4 x   4 x 2  . e  4 x  8 x . e  4 x
 
5. La fonction "logarithme népérien"
Si l'on choisit comme base de la fonction logarithmique le nombre e , on obtient les
logarithmes naturels ou logarithmes népériens. Il s'agit donc de la fonction
f : R0  R : x  loge x  ln x ( ou Log x )
Pour autant que les conditions d’existence soient remplies, on peut écrire
ln x  y  x  e y
6e année - 7e partie - Analyse - Chapitre 2 : Fonctions exponentielles et logarithmiques p.20.
ln 1  0
ln e  1
ln e  x
elog x  x
x
où
x  R0
Exemple
ln e 5  5
6. Dérivée de la fonction "logarithme népérien"
Considérons l’équation
ln x  y
équivalente à
x  ey
Dérivons les deux membres de cette dernière équation par rapport à x; il vient
( x)  (e y )
1  y.e y
1
y  y
e
1
y 
x
7. Dérivée de la fonction logarithmique
On a vu que
bln xg  1x et log
a
x
ln x
ln a
D’où
ln x I
1
  1 .1

ln x g
blog xg  F
b
G
J
Hln a K ln a
ln a x
a
(log a x)' 
1
x ln a
(log a u)' 
u' 1
u ln a
et
Exemples
( ln sin x )' 
( log
sin x 
sin x
x 2  1 )' 

cos x
 cotg x
sin x
 x  1

2x
1
x
1
2 x2 1 1

 2
x 2  1 ln 10
x 2  1 ln 10 x  1 ln 10
2
6e année - 7e partie - Analyse - Chapitre 2 : Fonctions exponentielles et logarithmiques p.21.
8. Retour à la dérivée de la fonction x  a x
On vient de voir que
(log a u)' 
Pour u( x)  a x , on a successivement
u' 1
u ln a
a '
x
1
a x ln a
(log a a x ) ' 
a '
a) ' 
x
( x log a
a
a '
( x) ' 
x
a
a '
x
1
x
a
x
x
1
ln a
1
ln a
1
ln a
(a x )'  a x ln a
et
(au ( x) )'  u '( x).au ( x) ln a
ln a .
La valeur du coefficient k dont il a été question au début de ce chapitre est donc
Exemple
( 5 3 x )'  (3x).53 x . ln 5  3.53 x .ln 5
6e année - 7e partie - Analyse - Chapitre 2 : Fonctions exponentielles et logarithmiques p.22.
9. Dérivée de la fonction1 x  u( x )v ( x )
( u v )'  u v ( v' ln u  v
u'
)
u
Par abus de notation et par souci de simplification, on écrira u et v au lieu de
u( x ) et v ( x ) dans la suite de ce paragraphe.
En supposant les conditions d’existence remplies, on a successivement
y  uv
ln y  ln ( u v )
ln y  v . ln u
ln y   v . ln u   v.ln u  v .(ln u )
y
u
 v. ln u  v .
y
u
u 

y  y . v. ln u  v . 
u

u'
( u v )'  u v ( v' ln u  v )
u
10.





1
Exemples d’utilisation des fonctions exponentielles et logarithmiques
calcul de l’intérêt composé instantané
décharge d’un condensateur dans une résistance
désintégration de substances radioactives
loi normale (probabilités)
l'extinction de phares de voitures.
Hors programme.
6e année - 7e partie - Analyse - Chapitre 2 : Fonctions exponentielles et logarithmiques p.23.
D. Équations exponentielles et logarithmiques
1. Équations exponentielles
Une équation exponentielle est une équation dans laquelle la ou les inconnues
interviennent en exposant.
Rappelons que la fonction exponentielle étant strictement monotone, on appliquera la
propriété suivante
x, y  R :  a x  a y    x  y 
Exemples
3 x  81
1.1.

3 x  34
1.2.
 4x  3

x  log 4 3
 2 4 x 5  7

4 x  5  log 2 7

x4

x
log 2 7  5
4
9 x  2.3x 1  27
1.3.
32 x  2 . 3x.3  27

3x

2
 6 . 3x  27  0
Posons : 3x  y , il vient successivement
y 2  6 y  27  0
  36  4 . (1) . (27)  144
y1 6  12
9


y2
3
2
y1  9  3 x  9
y2  3


3 x  32
  12

x2
3  3 : pas de solution.
x
6e année - 7e partie - Analyse - Chapitre 2 : Fonctions exponentielles et logarithmiques p.24.
2. Équations logarithmiques
Une équation logarithmique est une équation dans laquelle la ou les inconnues
interviennent dans l’argument ou la base d'un logarithme.
Il faut être attentif au domaine de définition de la fonction logarithmique : il y a des
conditions d'existence à rechercher.
Rappelons que la fonction logarithmique étant strictement monotone, on appliquera la
propriété suivante
x, y  R0 ,  log a x  log a y    x  y  .
Exemples
2.1.
log 4 x  3

x  43
2.2.
log 4 ( x  1)  1  log 4 ( x 2  1)

x  64
CE : x  1  0 et x 2  1  0
x   1,  et x   , 1   1, 
En résumé : x  1,  
Pour résoudre une telle équation, il faut que tous les logarithmes soient exprimés dans la
même base
log 4 ( x  1)  log 4 4  log 4 ( x 2  1)
log 4  ( x  1) . 4  log 4 ( x 2  1)
4 ( x  1)  x 2  1
x 2  4x  3  0
x1  1 et x2  3
La première solution ne vérifie pas les conditions d'existence et doit être rejetée. La
deuxième solution les vérifie et est la seule acceptable.
2.3.
2 log 2 x  log x 2  3
CE : x  R0 \ 1
Par un changement de base, on obtient
2 log 2 x 
1
3
log 2 x
2 (log 2 x)2  1  3 log 2 x
2 (log 2 x) 2  3 log 2 x  1  0
Posons y  log 2 x , il vient
y1  1
2 y2  3y  1  0
1
y1  1 et y 2 
2
 log 2 x  1  x  2
1
1
1
 log 2 x 
 x  22  2
2
2
Les deux solutions vérifient les conditions d’existence et peuvent être acceptées.
y2 
6e année - 7e partie - Analyse - Chapitre 2 : Fonctions exponentielles et logarithmiques p.25.
Chapitre 3. Les primitives
A. Notion de différentielle
1. Définition
f continue sur un intervalle  a , b  et son graphique.
Considérons une fonction
A un accroissement arbitrairement choisi x , correspond un accroissement y
y  f ( x  x )  f ( x )
f
y
s
f
y
f ( x  x)
y
f ( x)
t
P
f ( x)
x
x
x  x
x
df ( x)
P
dx
x
x  dx
x
y  df ( x) pour x suffisamment petit (x  0)
La droite t tangente au graphique de la fonction f au point P a pour coefficient de
direction
df ( x)
dx
La droite s sécante au graphique de la fonction f a pour coefficient de direction :
mt 
ms 
y
x
Par définition, on a
f ( x  x)  f ( x)
y
 lim

x

0
x
x
Prenons un même accroissement de x : x  dx
f ( x)  lim
x 0
y
y df ( x)
 lim

x 0 x
dx 0 dx
dx
lim
Donc
f ( x ) 
df ( x )
d'où df ( x )  f ( x ) . dx
dx
où df ( x ) est appelée la différentielle de la fonction f
6e année - 7e partie - Analyse - Chapitre 3 : Les primitives p.26.
2. Calculs de différentielles
La différentielle dy peut être calculée au moyen des règles obtenues à partir des règles
de dérivation.
Exemples
d (u . v )  u . dv  v . du car
d (sin x )  cos x dx
1
d (ln x )  dx
x
3
2
d ( x  x )  (3x 2  2 x) dx
d (u . v )  (u . v )  dx  u dx . v  u . v dx
De quelle fonction cos x dx est-elle la différentielle ?
b g
cos x dx  d sin x
6e année - 7e partie - Analyse - Chapitre 3 : Les primitives p.27.
B. Notion de primitive
1. Définition2
Une primitive d’une fonction f est une fonction F dont la dérivée est f.
F est une primitive de f si et seulement si F   f
Exemples

car
x 
car

 x3 
2
  x
 3
1
x
car
 ln x 
x2  5
est une primitive de 2x
car
x
sin x
est une primitive de cos x car
x2
est une primitive de 2x
x3
3
est une primitive de x
ln x
est une primitive de
2
2
 2x

2

1
x

 5  2 x
 sin

x   cos x
2. Théorèmes
Théorème 1
Si F est une primitive de f et C une constante réelle, alors F  C est aussi une
primitive de f .
Théorème 2
Si F est une primitive de f et C une constante réelle, alors toute primitive est de la
forme F  C .
Exemple
Les primitives de 2x sont x 2  C
3. Intégrale indéfinie
L'intégrale indéfinie de f , notée
 f ( x) dx , est l’ensemble des primitives de
f .
 f ( x) dx  F ( x)  C
Pour intégrer, il existe diverses méthodes. Nous en étudierons quelques unes :
 Intégration immédiate
 Intégration par décomposition
 Intégration par substitution
 Intégration par parties
 Intégration par changement de variable
2
Par abus de langage on écrira parfois f(x) au lieu de f et F(x) au lieu de F, notamment pour les
exemples, cette remarque restant valable pour les chapitres suivants d’analyse.
6e année - 7e partie - Analyse - Chapitre 3 : Les primitives p.28.
C. Méthodes d’intégration
Dans ce chapitre et les suivants, nous supposerons que les conditions d'existence sont
toutes remplies.
1. Intégrations immédiates
 dx  x  C
 cos x dx  sin x  C
x n 1
 x dx  n  1  C , n  1
x
x
 e dx  e  C
 cos
dx
n
2
x
dx
 sin
dx
 ln x  C
x
ax
x
a
dx

C

ln a

2
x
dx
1 x

2
 tg x  C
 cotg x  C
 Arctg x  C
dx
1  x2
 Arc sin x  C
 sin x dx   cos x  C
2. Intégration par décomposition
Considérons deux fonctions deux fonctions continues u et v , ainsi que deux réels a et b.
On a
 a u  b v dx  a  u dx  b v dx
Exemples
1.
 x
2.
 ( 3 cos x  e
3.

3

 3x  sin x dx   x3 dx  3 x dx   sin x dx 
1  t 
t
2
x
x4
x2
 3  cos x  C
4
2
) dx  3 cos x dx   e x dx  3 sin x  e x  C
1
1  2t  t 2

1
2
1
2
3
3
2
t2
t2
dt  
dt

t
dt

2
t
dt

t
dt


2
1



1
3
t2
2
2
1
3
5
2
 2t t 
4
2
 2 t 2  t 2  t 2  C  2 t 1     C
3
5
3 5

5
t2

C
5
2
x2
x3
4.  (1  3x) dx   (1  6 x  9 x ) dx   dx  6 x dx  9 x dx  x  6  9  C
2
3
2
3
 x  3x  3x  C
2
5.
2

2

2
2
 ( x  2) ( x  4) dx   x  2 x  8 dx   x dx  2  x dx  8  dx 
En général
x3
 x2  8x  C
3
z zz
u v dx  u dx . v dx
6e année - 7e partie - Analyse - Chapitre 3 : Les primitives p.29.
3. Intégration par substitution
Exemples
 3x
1.
2
Posons

1
10
5 x dx
3x 2  1  t
ce qui entraîne 6x dx  dt et x dx 
  3x
2
 1
3
2
5 t11
5  3x  1
dt 
C 
.
C
6 11
6
11
11
10
 sin
2.
dt
6
5
5 x dx 
6
t
10
x . cos x dx
Posons sin x  t
ce qui entraîne cos x dx  dt
3
3
 sin x . cos x dx   t dt 
e
3.
x3
t4
sin 4 x
C 
C
4
4
. 3x 2 dx
Posons x 3  t
ce qui entraîne 3x 2 dx  dt
e
x3
4.
e
. 3x 2 dx 
x
2x
2
9
t
dt  e t  C  e x  C
3
dx
Posons x 2  9  t
ce qui entraîne 2x dx  dt
x
2x
dx 
9
2

dt
 ln t  C  ln x 2  9  C
t
6e année - 7e partie - Analyse - Chapitre 3 : Les primitives p.30.
4. Intégration par parties (première présentation)
Considérons deux fonctions u et v admettant des dérivées continues. On a
(u v )   u  v  u v 
et
u v   (u v )   u  v
ce qui entraîne
z z z
z
z
u v  dx  (u v)  dx  u v dx
u v  dx  u v  u v dx
Exemples
1.  x e x dx
On pose : u  x
alors
x
v  e
 xe
2.
x
u  1
v  ex
dx  x e x   e x dx  x e x  e x  C  e x ( x  1)  C
 x cos x dx
On pose : u  x
alors
v  cos x
u  1
v  sin x
 x cos x dx  x sin x   sin x dx  x sin x  cos x  C
3.
e
2x
cos 3x dx
On pose : u  cos 3x
alors
u   3sin 3 x
1
v  e2 x
2
v  e2x
1 2x
1
1
3
e cos 3x   e 2 x (3 sin 3x) dx  e 2 x cos 3x   e 2 x sin 3x dx
2
2
2
2
2x
Calculons  e sin 3 x dx
e
2x
cos 3x dx 
On pose : u  sin 3x
alors
u   3 cos 3x
1
v  e2 x
2
v  e2x
1 2x
1
1
3
e sin 3x   e 2 x 3 cos 3x dx  e 2 x sin 3x   e 2 x cos 3x dx
2
2
2
2
1
31
3

et  e 2 x cos 3 x dx  e 2 x cos 3 x   e 2 x sin 3 x   e 2 x cos 3 x dx 
2
22
2

1 2x
3 2x
9 2x
2x
 e cos 3x dx  2 e cos 3x  4 e sin 3x  4  e cos 3x dx
1 2x
 9  2x
1    e cos 3 x dx  e 2 cos 3x  3 sin 3 x 
4
 4
13 2 x
1
e cos 3x dx  e 2 x 2 cos 3x  3 sin 3x 

4
4
1
2x
2x
 e cos 3x dx  13 e 2 cos 3x  3sin 3x   C
e
2x
sin 3x dx 
6e année - 7e partie - Analyse - Chapitre 3 : Les primitives p.31.
5. Intégration par parties (deuxième présentation)
Considérons deux fonctions u et v admettant des dérivées continues. On a
d (u.v)  du . v  u . dv
et
 d (u .v)   du .v   u . dv
u . v   u . dv   v . du
 u . dv  u .v   v . du 
Exemples
1.  xe x dx
On pose :
 xe
2.
ux
dv  e x dx
x
du  dx
v  ex
dx  x e x   e x dx  x e x  e x  C  e x ( x  1)  C
 x cos x dx
On pose :
alors
ux
dv  cos x dx
alors
du  dx
v  sin x
 x cos x dx  x sin x   sin x dx  x sin x  cos x  C
3.
e
2x
cos 3x dx
On pose :
u  cos 3 x
alors
dv  e2 x dx
du  3 sin 3x dx
1
v  e2 x
2
1 2x
1
1
3
e cos 3x   e 2 x (3 sin 3x) dx  e 2 x cos 3x   e 2 x sin 3x dx
2
2
2
2
2x
Calculons  e sin 3 x dx
e
2x
On pose :
cos 3x dx 
u  sin 3 x
alors
dv  e2 x dx
du  3cos3 xdx
1
v  e2 x
2
1 2x
1
1
3
e sin 3x   e 2 x 3 cos 3x dx  e 2 x sin 3x   e 2 x cos 3x dx
2
2
2
2
1
3
1
3


et  e 2 x cos 3 x dx  e 2 x cos 3 x   e 2 x sin 3 x   e 2 x cos 3 x dx 
2
22
2

1 2x
3 2x
9 2x
2x
 e cos 3x dx  2 e cos 3x  4 e sin 3x  4  e cos 3x dx
1 2x
 9  2x
1    e cos 3 x dx  e 2 cos 3x  3 sin 3 x 
4
 4
13 2 x
1
e cos 3x dx  e 2 x 2 cos 3x  3 sin 3x 

4
4
1 2x
2x
 e cos 3x dx  13 e 2 cos 3x  3sin 3x   C
e
2x
sin 3x dx 
6e année - 7e partie - Analyse - Chapitre 3 : Les primitives p.32.
6. Intégration par changement de variable
Considérons une fonction f continue. Remplaçons x par  (t ) où  est une fonction
admettant une dérivée continue. On a
 f ( x) dx   f  (t )  ' (t ) dt
Exemple 1
z
1  x 2 dx
Posons x  sin t
ce qui entraîne dx  cos t dt

1  x 2 dx   1  sin 2 t cos t dt   cos 2 t cos t dt   cos 2 t dt
cos 2t  1
1
1
1
1
dt   cos 2t dt   dt  sin 2t  t  C
2
2
2
4
2
1
1
1
1
2
 sin t cos t  t  C  x 1  x  Arc sin x  C
2
2
2
2

Exemple 2
x
dx
x ² 1
1
1
alors dx   dt
t
t²
dx
 dt
- dt
1
 x x² 1 =  1 1 =  1  t ² = - Arcsin t  C = - Arcsin x  C
t²
1
t t²
Posons x 
6e année - 7e partie - Analyse - Chapitre 3 : Les primitives p.33.
Chapitre 4. Les intégrales
A. Intégrale définie
1. Exemple introductif
Considérons la fonction f : R  R : x  x2
Calculons une valeur approchée de l’aire de la surface S délimitée par le graphique de la
1
fonction f , l’axe Ox et les droites d’équations x  et x  3 .
2
y
x
6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 4 : Les intégrales
p.34.
1

Partageons l’intervalle  , 3  en cinq intervalles de même longueur.
2 
 Construisons cinq rectangles ayant un de ces intervalles comme base et comme
hauteur la valeur que prend la fonction au milieu de la base.
 Calculons la mesure S 5 de la somme des aires des cinq rectangles.
S5  0, 5 . (0, 75)2  0, 5 . (1, 25)2  0, 5 . (1, 75)2  0, 5 . (2, 25) 2  0, 5 . (2, 75)2  8, 90625
On peut dire que S 5 est une valeur approchée de S.
Si on veut une meilleure approximation de S, il suffira de choisir une subdivision plus
fine de l'intervalle de départ, c’est à dire des rectangles dont les bases seront de plus
en plus petites.
y
y
x
x
On obtient
S10  8,9453125...
S 20  8,955078...
Par le calcul intégral, on trouve
S  0,958666...
6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 4 : Les intégrales
p.35.
2. Définitions d’une intégrale définie
1re définition
Considérons une fonction
f : R  R : x  f ( x)
 a, b  .
 a, b 
Partageons
continue et positive sur un intervalle
en n intervalles consécutifs tels que :
a  x0  x1  x2  ...  xi 1  xi  ...  xn  b
Posons :
x1  x1  x0
x2  x2  x1

xi  xi  xi 1

xn  xn  xn 1
Dans chaque intervalle
 xi 1 , xi  , choisissons un nombre réel
ai et construisons le point
( ai , f (ai ) )
y
ba , f (a )g
2
2
ba , f (a )g
1
a  x0
y  f (x )
1
a1
x1
x1
a2
x2
b  xn
x2
xn
6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 4 : Les intégrales
p.36.
x
Considérons la somme des aires des rectangles hachurés de base xi et de hauteur
f (ai )
Sn  f (a1 ) x1  f (a2 ) x2  ...  f (ai ) xi  ...  f (an ) xn
n
Sn   f (ai ) xi
i 1
 Choisissons une subdivision plus fine de l'intervalle de départ. La base xi de chacun
des rectangles tend vers 0.
( n  )
 On peut démontrer que dans ces conditions, la somme S n tend vers une limite finie
qui est indépendante :
- du choix des extrémités des intervalles,
- du choix du nombre pris ( ai ) dans chacun de ces intervalles.
On écrira : lim Sn  lim
n  
n  
n
b
i 1
a
 f (ai ) xi   f ( x) dx
b
 f ( x) dx
a
se lit : "intégrale définie de la fonction f(x) entre les bornes a et b".
a est la borne inférieure.
b est la borne supérieure.
Remarque
On peut généraliser cette expression à toute fonction continue sur a , b .
6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 4 : Les intégrales
p.37.
2e définition
Considérons une fonction f : R  R : x  f ( x) continue et positive sur l’intervalle  a, b  .
Partageons  a, b  en n intervalles consécutifs tels que :
a  x0  x1  x2  ...  xi 1  xi  ...  xn  b
Comme précédemment on pose
x1  x1  x0 , x2  x2  x1 , … , xi  xi  xi 1 , … , xn  xn  xn 1
Appelons mi la borne inférieure de f(x) quand x varie dans l'intervalle  xi 1 , xi
 et
M i sa
borne supérieure dans le même intervalle.
y
M2  m3
y  f ( x)
M1  m2
m1
a  x0
x1
x
b  xn
x2
x1
x2
Considérons les sommes
n
s  m1 x1  m2 x2  ...  mi xi  ...  mn xn   mi xi
i 1
n
S  M 1 x1  M 2 x2  ...  M i xi  ...  M n xn   M i xi
i 1
On peut démontrer que lorsque le nombre d’intervalles augmente indéfiniment ( n   ) ,
de sorte que les valeurs xi tendent vers 0, les limites de s et de S existent et sont
égales.
On désigne cette limite commune par
b
 f ( x) dx
a
lim
n  
n
b
i 1
a
 mi xi   f ( x) dx  lim
n  
n
 M x
i 1
i
i
6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 4 : Les intégrales
p.38.
Agrandissement
y
Mi
mi

a  x0
i
x
b  xn
xi
xi1
x i
L’aire  i de la surface hachurée est comprise entre les aires des deux rectangles de
base xi et de hauteurs respectives mi et M i .
mi xi   i  M i xi
n
 mi xi 
i 1
n
 i 
i 1
n
lim
n
 m x
i 1
i
n
 M i xi
s 
i 1
n
i

 lim   i  lim
n
n

 i 1

n

i 1
n
M
i 1
i
i
 S
xi
b
 f ( x ) dx
a
On peut montrer que ces deux définitions sont équivalentes.
Remarques
b

 f ( x) dx
est un nombre réel qui représente l’aire de la surface délimitée par l’axe
a
Ox, la courbe d'équation y  f ( x ) et les droites d’équations x  a et x  b
 Le symbole


représente la première lettre du mot somme.
f ( x ) dx rappelle que les termes de la somme sont du type f (ai ) xi .
b

 f ( x) dx
est donc un nombre réel qui est la limite de la somme d’un nombre
a
infiniment grand de termes infiniment petits.
6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 4 : Les intégrales
p.39.
3. Propriétés de l’intégrale définie
Considérons une fonction f continue sur l'intervalle fermé  a, b  .
a. L’intégrale définie ne dépend pas de la variable d’intégration.
b

a
b.
b
a
a
b
b
b
a
a
f ( x) dx   f ( y) dy  f (t ) dt  ...
 f ( x) dx    f ( x) dx
On considère la somme de b à a où les xi ont changé de signe.
Remarque
a
 f ( x) dx  0
a
c.
Additivité
b
c
c
a
b
a
 f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx
y
y  f ( x)
a
b
x
c
Remarque
Si la fonction f est négative, l’aire située entre la courbe et l’axe Ox est donnée par
z
b
 f ( x) dx
a
y
y  f ( x)
a
x
b
d. Linéarité
 ,   R :
b

 f ( x)   g ( x)  dx  
a
b

f ( x) dx  
a
b
 g ( x)
dx
a
e. Positivité
 x 

a , b
b

f ( x)  0
:

 f ( x)
dx  0
a
 x 

a , b

b
:
f ( x)  g ( x)


b
f ( x) dx 
a
6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 4 : Les intégrales
 g ( x)
a
p.40.
dx
B. Calcul d’une aire à l’aide d’une primitive
Considérons une fonction
l'intervalle  a, b 
f : R  R , t  f (t ) continue, croissante et positive dans
y
y  f (t )
f (b)
T
f ( x)
R
Q
f ( )
P
f (a )
M
N
x

a
t
b
x
Appelons S ( x) 
 f (t ) dt
la mesure de l’aire de la surface délimitée par
a
y  f (t ) , t  a , t  x , y  0

S (  )   f (t ) dt
la mesure de l’aire de la surface délimitée par
a
y  f (t ) , t  a , t   , y  0
Intuitivement on a
 S ( x)  S (  )  aire du rectangle MNRT
( x   ) f (  )  S ( x)  S (  )  ( x   ) f ( x)
S ( x)  S (  )
f ( ) 
 f ( x)
x  , x  
x
Aire du rectangle MNPQ
et
S ( x)  S (  )
 lim f ( x)
x
x


f ( )  S ' ( )  f ( )
lim f (  )  lim
x

d’où
x
S '(  )  f (  )
et par généralisation
S' f
S est donc une primitive de f et la fonction
x
x   f (t ) dt
a
est une primitive de f.
6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 4 : Les intégrales
p.41.
Rappel
F est une primitive de f si et seulement si F’ = f et si F est une primitive de f, toute
primitive de f est de la forme F + C.
On a donc
x
 f (t ) dt
est une primitive de f(x)
a
c'est-à-dire
x
 f (t ) dt  F ( x)  C
a
Lorsque x  a , on a successivement
a
 f (t ) dt  F (a)  C
a
0  F ( a)  C
C   F (a)
Lorsque x  b , on a successivement
b
 f (t ) dt  F (b)  C
a
b
 f (t ) dt  F (b)  F (a)
a
On notera
b
 f ( x) dx  F (b)  F (a)   F ( x) 
b
a
a
La détermination d’une intégrale définie se ramène donc à la détermination d’une
primitive.
On peut généraliser cette expression à toute fonction continue sur a , b .
Exemples
y
y  2x
y
y  x2
x
x
z
3
S  2 x dx  x
1
2 3
1
Lx O 2 1 7
Sz
x dx  M P  
N3 Q 3 3 3
2
 3 1  8
2
2
3
2
2
1
6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 4 : Les intégrales
1
p.42.
3
3
Chapitre 5. Applications de l’intégrale définie
Calculs d’aires et de volumes
A. Calculs d’aires
Considérons deux fonctions f et g continues dans l’intervalle  a, b  .
Supposons que x   a, b , g  x   f  x  .
L’aire de la surface délimitée par
 le graphique de f et le graphique de g
 les droites x  a et x  b
est donnée par
y  f ( x)
y
b
S    f ( x)  g ( x) dx
a
S
y  g( x)
x
a
b
Cas où les graphiques se coupent dans l’intervalle  a, b
Alors on sépare le calcul d’aire en deux nouveaux calculs d’aire
A  A1  A2
y
c
b
a
c
A    f ( x)  g ( x) dx   g ( x)  f ( x) dx
y  g( x)
A1
A2
a
c
b
x
y  f ( x)
6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 5 : Calculs d’aires et de volumes p.43.
Exemple 1
Calculer l’aire de la surface délimitée par
 la droite d  y   x  2
 la parabole P  y  x 2  4
Les abscisses des points d'intersection de
la droite et de la parabole sont
y
y  x2  4
x2  4   x  2
x2  x  6  0
x  3 , x  2
Dans l’intervalle 3, 2 , on a :
 x  2  x2  4
S     x  2   ( x 2  4)  dx
3
2
-3
2
x
2

 x
2
 x  6  dx
3
2
1
 1

   x3  x 2  6 x 
2
 3
 3
y  x  2
8
9

 125
   2  12   9   18  
3
2

 6
Exemple 2
Calculer l’aire de la surface délimitée par les courbes y  x 2 et y 
x.
Les abscisses des points d'intersection des deux
courbes sont
y
x2  x
x 4  x et x  0
x4  x  0
x( x 3  1)  0
x  0 , x 1
y  x2
y x
Dans l’intervalle 0, 1 , on a :
x  x2
x
1
S
0

1
 2 32 x3 
2 1 1
x  x dx   x     
3 0 3 3 3
3
2

6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 5 : Calculs d’aires et de volumes p.44.
Exemple 3
Calculer l’aire de la surface délimitée par les courbes C1  y  x  6 , C2  2 y  x  0 et
C3  y  x3  0
Les abscisses des points d'intersection des courbes sont :
Entre C1 et C2 :
y
1
y  x  6 et y   x
2
1
x
2
x  4
x6 
Entre C2 et C3 :
1
y   x et y  x3
2
1
x  x3
2
1
x x2 
0
2
x0
Entre C1 et C3 :

F
IJ
G
H K
y  x  6 et y  x 3
-4
2
x  6  x3
x3  x  6  0
( x  2)( x 2  2 x  3)  0
x2
x
Dans l’intervalle 4,0
0 
 1 
S1    x  6     x   dx
4
 2 

0
3

3

3

   x  6  dx   x 2  6 x   0   .16  24   12
2
4
4


 4


4 
0
Dans l’intervalle 0,2
S2    x  6    x3  
0
2
2
 x4 x2

 16 4

    x  x  6  dx      6 x       12   10
2

 4
0  4 2
0
2
3
D’où : S  S1  S2  12  10  22 .
6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 5 : Calculs d’aires et de volumes p.45.
Équations de la forme : x  f ( y )
f est continue dans l'intervalle  c, d 
Il suffit d’intervertir les rôles de x et de y.
y
x  g( y)
x  f ( y)
d
d
S    f ( y)  g ( y)  dy
S
c
c
x
Exemple
Calculer l’aire de la surface délimitée par les graphiques des fonctions d’équations :
2 y 2  x  4 et y 2  x
y
Bornes de l'intégrale :
x  2 y 2  4 et x  y 2
2 y2  4  y2
2
y2  4
y  2 et y  2
x  2y  4
2
x  y2
x
Dans l’intervalle 2, 2 , on a :
y2  2 y2  4
-2
A    y 2   (2 y 2  4)  dx
2
2
2
 y3

8
8
 32
2
2   y  4  dy   3  4 y    3  8   3  8   3
2
2

Remarque
On peut utiliser la symétrie pour calculer plus simplement l’aire :
O F 8  8IJ 32
y
A z
  4 y P 2 G
c y  4hdy  2 zc y  4hdy  2 L
M
N3 Q H3 K 3
2
2
2
2
3
2
2
0
0
6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 5 : Calculs d’aires et de volumes p.46.
B. Les solides de révolution
Un solide de révolution est un volume engendré par la rotation d’une région du plan autour
d’une droite
y
y
x
x
xi
Figure 1
Figure 2
Prenons un découpage de l'intervalle  a, b et construisons sur chaque sous-intervalle un
rectangle. La rotation de ces rectangles autour de l’axe Ox engendre le solide de révolution
de la figure 2. Chaque rectangle engendre un cylindre de rayon de base f ( wi ) et de
hauteur (épaisseur) xi  xi  xi 1
Le volume de chaque cylindre est le produit de sa base par sa hauteur : Vi    f (wi ) . xi
2
La somme des volumes de ces cylindres est
 V     f ( w )
i
i
i
2
. x i
i
Le volume est donc
b
V     f ( x)  dx
2
a
Remarques
1.
f ne doit pas être nécessairement positive.
2. En intervertissant les rôles de x et de y, on obtient un solide de révolution engendré par
une rotation autour de l’axe Oy . Dans ce cas, on a
d
V     g ( y)  dy .
2
c
6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 5 : Calculs d’aires et de volumes p.47.
Exemple 1
Calculer le volume engendré par la rotation autour de l’axe Ox de la région comprise entre la
courbe d’équation y  x 2  1 et les droites d'équations x  1 et x  1
zc
y
1
h
2
V   x 2  1 dx
y  x2 1
1
En utilisant la symétrie, on obtient
zc h
1
2
V  2  x 2  1 dx
0
zc
1
h
Lx x O
 2 M 2  x P
N5 3 Q
F1 2 I
 2 G  1J
H5 3 K
x
 2
x 4  2 x 2  1 dx
0
5
1
3
0
56 
15

Exemple 2
Calculer le volume engendré par la rotation autour de l’axe Oy de la région comprise entre
l’axe Oy et les graphiques des fonctions d'équations y  x3 , y  1 et y  8
y
x3 y
1
De y  x3 , on déduit x  3 y  y 3
8
zFH IKdy
8
V  y
1
2
3
1
z
8
2
  y 3 dy
1
L
O
M
y P
M P
5
M
N3 P
Q
3
. F
8  1I
H
K
8
5
3
1
5
3
5

3 3
8 64  1
5
d
i
x
6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 5 : Calculs d’aires et de volumes p.48.
Considérons maintenant la révolution d’une région comprise entre deux courbes, autour de
l’axe Ox
Le solide de révolution résulte de la différence entre le solide engendré par la plus grande
région ( f (x ) ) et celui engendré par la plus petite ( g (x ) )
y
y  f ( x)
b
b
V     f ( x) dx    g ( x) dx
2
2
a
b
y  g( x)
a


V    f 2 ( x)  g 2 ( x) dx
a
b
b
a
x
En pratique : V   (rayon exterieur)2  (rayon interieur)2  .épaisseur
Exemple 3
Calculer le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de Ox de la région
délimitée par les fonctions d’équations x 2  y  2 et 2 y  x  2  0 et par les droites
d'équations x  0 et x  1
y
Dans l’intervalle 0, 1 , on a
y  x2  2
x2  2 
1
x 1
2
2
 2
2
1
 
V     x  2    x  1  dx
0
2
 

1

x2
    x 4  4 x 2  4   x  1 dx
0
4


1
y
1
x 1
2
15


    x 4  x 2  x  3  dx
4

0
1
x
Lx 15 x  x  3xO
  M
N5 4 3 2 P
Q
F1 15 1 I
  G   3J
H5 12 2 K
5
3
2
1
0

79 
20
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