Analyse : chap 1

6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 1 : Fonctions réciproques et cyclométriques p.1.
7e partie : ANALYSE
Table des matières
7e partie : ANALYSE ....................................................................................................................... 1
Table des matières ........................................................................................................................... 1
Chapitre 1. Fonctions réciproques -Fonctions cyclométriques ..................................................... 3
A. Fonctions réciproques ............................................................................................................. 3
1. Exemple 1 ........................................................................................................................................ 3
2. Exemple 2 ........................................................................................................................................ 4
3. Conclusion ....................................................................................................................................... 4
4. Théorème ......................................................................................................................................... 5
B. Fonctions cyclométriques ....................................................................................................... 6
1. La fonction
Arcsinxx
............................................................................................................. 6
2. La fonction
Arccosxx
........................................................................................................... 8
3. La fonction
Arctgxx
............................................................................................................ 10
Chapitre 2. Fonctions exponentielles et logarithmiques ............................................................. 12
A. Fonctions exponentielles ...................................................................................................... 12
1. Exemples ....................................................................................................................................... 12
2. Définition ....................................................................................................................................... 13
3. Règles de calcul ............................................................................................................................. 13
4. Propriétés ...................................................................................................................................... 13
B. Fonctions logarithmiques ..................................................................................................... 15
1. Exemples ....................................................................................................................................... 15
2. Définition ....................................................................................................................................... 15
3. Graphiques .................................................................................................................................... 16
4. Propriétés ...................................................................................................................................... 17
5. Règles de calcul ............................................................................................................................. 17
6. Changement de base ..................................................................................................................... 18
C. Dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques .................................................... 19
1. Dérivée de la fonction exponentielle ........................................................................................... 19
2. Le nombre e .................................................................................................................................. 19
3. Propriétés du nombre
e
.............................................................................................................. 20
4. Dérivée de la fonction exponentielle de base e ........................................................................... 20
5. La fonction "logarithme népérien" ............................................................................................ 20
6. Dérivée de la fonction "logarithme népérien" ........................................................................... 21
7. Dérivée de la fonction logarithmique .......................................................................................... 21

6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 1 : Fonctions réciproques et cyclométriques p.2.
8. Retour à la dérivée de la fonction
x xa
................................................................................. 22
9. Dérivée de la fonction
vx x u x () ()
............................................................................................ 23
10. Exemples d’utilisation des fonctions exponentielles et logarithmiques ................................... 23
D. Équations exponentielles et logarithmiques ........................................................................ 24
1. Équations exponentielles .............................................................................................................. 24
2. Équations logarithmiques ............................................................................................................ 25
Chapitre 3. Les primitives ............................................................................................................. 26
A. Notion de différentielle.......................................................................................................... 26
1. Définition ....................................................................................................................................... 26
2. Calculs de différentielles .............................................................................................................. 27
B. Notion de primitive ................................................................................................................ 28
1. Définition ....................................................................................................................................... 28
2. Théorèmes ..................................................................................................................................... 28
3. Intégrale indéfinie......................................................................................................................... 28
C. Méthodes d’intégration ......................................................................................................... 29
1. Intégrations immédiates ............................................................................................................... 29
2. Intégration par décomposition .................................................................................................... 29
3. Intégration par substitution ........................................................................................................ 30
4. Intégration par parties (première présentation) ....................................................................... 31
5. Intégration par parties (deuxième présentation) ....................................................................... 32
6. Intégration par changement de variable .................................................................................... 33
Chapitre 4. Les intégrales ............................................................................................................. 34
A. Intégrale définie .................................................................................................................... 34
1. Exemple introductif ...................................................................................................................... 34
2. Définitions d’une intégrale définie .............................................................................................. 36
3. Propriétés de l’intégrale définie .................................................................................................. 40
B. Calcul d’une aire à l’aide d’une primitive ........................................................................... 41
Chapitre 5. Applications de l’intégrale définie ............................................................................ 43
Calculs d’aires et de volumes ........................................................................................................ 43
A. Calculs d’aires ....................................................................................................................... 43
B. Les solides de révolution ....................................................................................................... 47

6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 1 : Fonctions réciproques et cyclométriques p.3.
Chapitre 1. FONCTIONS RÉCIPROQUES -
FONCTIONS CYCLOMÉTRIQUES
Remarque générale
Sauf précision contraire, on considérera que les repères utilisés sont orthonormés.
A. Fonctions réciproques
Considérons une fonction
: : ( )f x f xRR
et son graphique d’équation
)(xfy 
.
Permutons les coordonnées x et y.
On obtient :
)(yfx 
.
Isolons y.
La relation obtenue est appelée réciproque de la fonction f.
1. Exemple 1
Considérons la fonction
: , 2 3f x x  RR
Le graphique de cette fonction est la droite d’équation
32  xy
Procédons comme décrit ci-dessus; il vient :
32  yx
)3(
2
1 xy
1( 3)
2
xx
est la relation réciproque de la fonction
23xx
Dans le cas présent, c'est une fonction.
On constate que dans un repère orthonormé, les graphiques de ces deux fonctions
réciproques sont symétriques par rapport à la première bissectrice d’équation :
xy 
.
x
y
y x 2 3
y x 
1
23
b g

6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 1 : Fonctions réciproques et cyclométriques p.4.
2. Exemple 2
On considère la fonction
2
::f x xRR
Le graphique de la fonction f comprend les points :
x
0
-1
1
-2
2
f
0
1
1
4
4
Le graphique de la réciproque de f comprend les points :
x
0
1
1
4
4
1
f
0
-1
1
-2
2
Le graphique de cette fonction est la courbe d’équation :
2
xy 
Procédons comme dans le premier exemple. Il vient
2
yx 
xyxy  ou
La réciproque de cette fonction n’est pas une fonction.
Remarque
Afin que la réciproque de cette fonction soit une fonction, il faut restreindre son domaine à
ou -
RR
.
3. Conclusion
La réciproque d’une fonction n’est pas toujours une fonction.
Pour que la réciproque d'une fonction soit une fonction, il faut que la fonction donnée soit
strictement monotone (soit strictement croissante, soit strictement décroissante). La
fonction réciproque sera notée
1
f
.
x
y
y x2
y x

6e année - 7e partie : Analyse - Chapitre 1 : Fonctions réciproques et cyclométriques p.5.
4. Théorème
La réciproque d'une fonction f continue et strictement monotone dans un intervalle
ba,
est une fonction continue et strictement monotone de même sens de variation dans
l’intervalle
baf ,
.
On admettra ce théorème sans démonstration.