Les Systèmes Triphasés

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Les Systèmes triphasés
Sommaire
Les Systèmes Triphasés .............................................................................................................................................................. 2
I) Présentation ........................................................................................................................................................................... 2
I.1) Intérêts du triphasé :.................................................................................................................................................. 2
I.2) Diagrammes de Fresnel : ............................................................................................................................................. 2
I.3) Généralisation : système de tension polyphasées : ............................................................................................... 5
II) Couplages des charges ....................................................................................................................................................... 5
II.1) Montage Etoile ............................................................................................................................................................ 5
II.2) Montage Triangle ........................................................................................................................................................ 6
III) Puissances en triphasé ..................................................................................................................................................... 7
III.1) Théorème de Boucherot.......................................................................................................................................... 7
III.2) Système équilibré ..................................................................................................................................................... 8
III.3) Puissance absorbée par une charge triphasée quelconque .............................................................................. 8
IV) Mesures de puissance ........................................................................................................................................................ 8
IV.1) Récapitulatif ................................................................................................................................................................ 8
IV.2) Méthode du Wattmètre ........................................................................................................................................... 9
IV.3) Méthode des deux Wattmètres ............................................................................................................................ 11
IV.4) Méthode d’Illiovici .................................................................................................................................................... 11
IV.5) Appareils de mesure actuels ...................................................................................................................................12
V) Schéma monophasé équivalent ..........................................................................................................................................12
V.1) Principe ..........................................................................................................................................................................12
V.2) Exemples .......................................................................................................................................................................12
VI) Etudes systèmes triphasés déséquilibrés : les composantes symétriques ...........................................................13
VI.1) Généralités .................................................................................................................................................................13
VI.2) Relations de passage.................................................................................................................................................13
VI.3) Bilan de puissances....................................................................................................................................................14
VI.4) Propriétés importantes ............................................................................................................................................14
VI.5) Exemple 1 : résolution graphique ...........................................................................................................................15
VI.6) Exemple 2 : résolution mathématique ...................................................................................................................15
VII) Production des champs tournants ................................................................................................................................16
VII.1) Animation ..................................................................................................................................................................16
VII.2) Superposition des champs de chaque bobine ....................................................................................................16
VII.3) Théorème de Ferraris ............................................................................................................................................16
Sommaire
1/16
Les Systèmes Triphasés
I) Présentation
I.1) Intérêts du triphasé :
Alors que le courant monophasé nécessite deux fils : la phase (potentiel
v) et le neutre (potentiel  0), le courant triphasé comporte quatre fils
: trois phases (potentiels V1, V2 et V3) et un seul neutre (Pot- 0)
Représentation
multifilaire
1
2
3
Il présente de nombreux avantages par rapport au courant monophasé:

possibilité de produire aisément des champs tournants
(moteurs ... ),

pertes en ligne (transport de l'énergie électrique)
beaucoup plus faibles que le courant monophasé.
u12
v1N
v2N
u23
u31
v3N
N
Représentation
unifilaire
fil neutre
Remarque : les lignes continues (sous marines par exemple) sont justifiées par les capacités parasites du
triphasé qui nécessitent des postes de relèvement du facteur de puissance impossible à implanter sous l’eau.
Distance limite du terrestre triphasé : entre 500 et 1000 km
Monophasé
Schéma
Si on véhicule la
même puissance P
La densité de courant
j(A/m²) est constante
P  VI m
P
I m   j  Sm
V
Soit une section
I
P
V
2L
Sm 
P
V j
Triphasé
I
V
Donc un volume de
cuivre
Volm  2  L  S m
Volm  2  L 
P  3VI t
It 
P
 j  St
3V
St 
P
3 V  j
Volt  3  L 
Volm
P
V j
Volt  3  L  St
P
Le rapport des
volumes de cuivre
nécessaires
P
3 V  j
Volt
2
Soit un volume de
cuivre double pour
transporter la
même puissance
3L
I.2) Diagrammes de Fresnel :
I.2.1) Définitions :


Un circuit triphasé est équilibré quand la source et la charge sont toutes les deux équilibrées.
Une source triphasée est équilibrée lorsque les trois tensions générées sont de même amplitude et
déphasées de

2
l’une par rapport à l’autre.
3
Une charge triphasée est équilibrée lorsque toutes les impédances de chacune des trois phases sont
identiques en module et en argument. Il en résulte que dans un circuit équilibré, les trois courants de ligne
sont de même amplitude et décalés de



2
l’un par rapport aux autres.
3
Par convention, on appelle système direct un système dont les tensions sont ordonnées dans le sens
trigonométrique négatif (sens horaire). Dans un système direct, les grandeurs passent par un maximum dans
l’ordre de numérotation.
Dans le cas contraire, le système est dit inverse.
On appelle homopolaire un système dans lequel toutes les grandeurs sont en phase.
Sommaire
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I.2.2) Préambule mathématique :
Soit le nombre complexe a  e
remarquer que
j
2
3
e
j
4
3
4
2
j
j
1
3
1
3
2
  j
alors a  e 3  e 3    j
et l’on peut
2
2
2
2
1 a  a2  0
m
ae
j
2
3
2/3
1
a2  e
j
4
3
e
j
e
2
3
I.2.3) Tensions simples :
Les trois tensions entre phase et neutre sont dites simples et vérifient
ˆ j t
v1 (t )  Ve
 V ;0
 V1


ˆ t  2 / 3  V ; 2 / 3  V  a 2V
v2 (t )  Ve
2
1

ˆ t  4 / 3  V ; 4 / 3  V  aV

3
1
v3 (t )  Ve
Cette distribution est équilibrée (même amplitude V,) et directe (un observateur voit tourner les vecteurs de
Fresnel dans le sens positif et dans l'ordre 1, 2, 3).
b) vecteurs de Fresnel associés
a) représentation temporelle
v(t)
v1
v2
V3
v3
T/3
2T/3
T
t
/3
2/3
2

c) grandeurs complexes associées
m
V3
V1
V1
e
- 2/3
- 2/3
v (t )  V 2 sin t
1
Vˆ


2 

v2 (t )  V 2 sin  t 

3 



4 

v3 (t )  V 2 sin  t 

3 


On remarque qu’à tout instant
v1( t ) + v2( t ) + v3( t ) = 0.
V2
V2
 V ;0
ˆ j t
v1 (t )  Ve
ˆ t 2 / 3  V ; 2 / 3
v2 (t )  Ve
V1  V2  V3  0
ˆ t 4 / 3  V ; 4 / 3
v3 (t )  Ve
et comme
V1  V2  V3  V1  a 2V1  aV1


V1  V2  V3  V1 1  a  a 2  0
0
donc
V1  V2  V3  0
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I.2.4) Animations :
I.2.5) Couplage des phases :
I.2.5.1) Couplage en étoile :
Les trois sources qui nécessiteraient 6 fils sont couplées de façon à
n’avoir que 3 fils . Le point commun aux trois tensions est appelé le neutre.
Les tensions composées sont les ddp entre phases : uij = vi - vj. Ces trois
tensions forment également un système équilibré direct, leur amplitude
vaut
U  V 3 . (Si la tension simple vaut V = 220 volts, alors U = 380
volts)
Les tensions composées sont liées aux tensions simples par les relations:



u12  v1  v2
u12 (t )  U 2 sin  t  6 


u12  u23  u31  0
Uˆ


et
u23  v2  v3 donc 


U12  U 23  U 31  0
u23 (t )  U 2 sin  t  
u  v  v
2


 31 3 1

7 

u31 (t )  U 2 sin  t 

6 


U12
U23
V1

U 31
V2
1
V3

V3

U 23
U3

U12


U 31
-2/3
-2/3
O

V1
/6
-2/3

U12

V2 A
On retiendra le résultat important reliant une tension simple à la tension
composée :
U V 3
B

U 23
Que l’on peut retrouver de diverses façons :
 Méthode approchée : la mesure des deux vecteurs nous permet de vérifier ce rapport
 Méthode géométrique : cos /6 = OB/OA
or U = 2OB
 U = 2OAcos(/6)
 U = 2Vcos(/6) = V
3
 Méthode algébrique :


 a b 
 a  b  et

 cos 
 cos x  sin x  2
 2 
 2 
2 
2 


 2 


u12 (t )  V 2 sin t   V 2 sin  t 
  V 2  2sin 
 cos  t 
  V 3 2 sin  t  
Sachant que sin a  sin b  2sin 

3 
 6 

2  

V 2  sin t  sin  t 

3 


3

6 
 

sin  t   
2 3

U

6
 Méthode complexe :
U12  V1  V2  V1  a V1  V1 1  a
2
2
 V
1
3e
j

6
I.2.5.2) Couplage en triangle :
Sommaire
4/16
Ce montage ne présente ni neutre ni tension simple.
Il existe un relation entre les courants de ligne I et les courants de phase J

 1
j
3
6
I1  J1  J 3  J1  aJ1  1  a  J1  1   j
J

J

3
e
 1
1
2 
 2
aJ1
V3
V2
V1
J2
J1
IJ 3
I1
I.3) Généralisation : système de tension polyphasées :
Le courant triphasé est un cas particulier de courant polyphasé.
On appelle système polyphasé un ensemble de q tensions de même fréquence, de même valeur efficace et
déphasées entre elles de
2
soit pour la nième tension d’un réseau de q phases :
q

2
vn (t )  Vˆ sin  t  n
q

 
2 
  V ; n
q 
 
II) Couplages des charges
II.1) Montage Etoile
II.1.1) Montage étoile équilibré
Lorsque la distribution triphasée alimente une étoile symétrique
V1 V

j t  
 I1  Z  Z 2e

2 


j  t  

V2 V
3 


2e
 I2 
Z Z

4 


j  t  

V V
3 
 I2  3 
2e 
Z Z

1
2
3
i1
i2
i3
v1
v2
Z   Z ; 
Z
j1
Z
j2
Z
j3
v3
V3

I2


N
Montage en étoile
I3
V1
I1
V2
On a en complexe : i1 + i2 + i3 = 0. Le neutre n’est donc pas nécessaire sauf en cas de dissymétrie accidentelle,
son absence pourrait nuire au bon fonctionnement des branches de l'étoile.
II.1.2) Montage étoile déséquilibré avec neutre
Les récepteurs de nature de puissances différentes sont reliés d'une part à un fil de phase, d'autre part au fil
neutre. Le courant dans le fil neutre est la somme vectorielle des courants dans les trois fils de phase.
I1  I 2  I 3  I N
Remarque : Le fil neutre est nécessaire sinon les récepteurs seraient soumis à des tensions différentes et
risqueraient d'être détruits. Une surtension peut apparaître aux bornes d'un récepteur.
Sommaire
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
I3

V1 V

2e j t 1 
 I1 
Z1 Z1

2 


j  t 2 

V2 V
3 

I


2
e
 2
Z2 Z2

4 


j  t 3 

3 
 I2  V3  V 2e 

Z3 Z3
1
2
3
i1
v1
i2
v2
i3
Z1
j1
Z2
j2
Z3
j3
v3

IN
2/3
N

I2
Montage en étoile déséquilibré

I1
2/3
Construction graphique avec des charges
purement résistives et différentes
II.1.3) Montage étoile déséquilibré sans neutre
Le potentiel de neutre de la charge est donc libre et se déplace par rapport à celui du réseau.
Le système des courants et des tensions est dissymétrique.
VN 
Y1 V1  Y2 V2  Y3 V3
Y1  Y2  Y3

V1  VN
 I1 
Z1


V  VN
et  I2  2
Z2


V V
 I2  3 N
Z3

V1
V2
i1
Z1
i2
Z2
i3
Z3
N
VN
V3
II.2) Montage Triangle
II.2.1) Montage triangle équilibré
Chaque phase du récepteur est soumise à une tension composée. J12  J 23  J 31  J 
U
Z
L’angle  entre U et J est imposé par la charge
( J12 ,U12 )  ( J 23 ,U 23 )  ( J31 ,U31 )  
Les relations liant les courants par phase et en ligne sont :
i1  j12  j31 

i2  j23  j12   I1  I 2  I 3
i3  j31  j23 
Par une démonstration analogue au I.2.4 on trouve le second résultat important :
IJ 3
Sommaire
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1



j  t   
U12 U
6

J


2
e
 12
Z
Z




j  t   
U 23 U

2


2e
 J 23 
Z
Z

7 


j  t  

U
U
6 
 J 31  31 
2e 
Z
Z

J31
i1
+
j12
u12
j31
Z
i2
2
Z
+
Z
u23
i3
3
V1
u31
J23
j23
I1
J12
+
U 23
Montage triangle équilibré
I1
Remarque : A chaque instant i1+i2+i3=0 et j12+j23+j31=0
II.2.2) Montage triangle déséquilibré
Les récepteurs différents sont reliés entre deux fils de phase, les courants dans chaque récepteur sont
différents en phase et en valeur.

I3



j  t 1  
U12 U
6


2e
 J12 
Z
Z
1
1




j  t 2  
U 23 U

2


2e
 J 23 
Z
Z
2
2

7 


j  t 3 

6 
 J 31  U 31  U 2e 

Z3 Z3
I1  J1  J 3
i1
1
j12
u12
Z1
i3
3
Z3
u31
Z2
u23
I 2  J 2  J1
j31
i2
2

J3

I2
j23
2/3

J2

J1
2/3
Montage triangle déséquilibré
Construction graphique avec des
charges différentes
I3  J3  J2
La somme des courants dans les fils de ligne est nulle :

I1
I1  I 2  I 3  0
III) Puissances en triphasé
III.1) Théorème de Boucherot
Dans un circuit triphasé fonctionnant en régime sinusoïdal la puissance active se conserve, sa conservation
relève du principe général de conservation de l’énergie :
P   Pk
k
La puissance réactive, à condition qu’il n’y ait pas de changement de fréquence, se conserve au même titre que la
puissance active :
Q   Qk
k
La puissance réactive n’est pas une puissance au sens physique du terme, elle n’a donc aucune raison à priori de
se conserver, et elle se conserve en fait que s’il n’y a pas de changement de fréquence (elle ne se conserve pas
dans le cas d’un redresseur par exemple).
Sommaire
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III.2) Système équilibré



 p (t )  VJ cos   cos  2t    
v (t )  V 2 sin t
 j (t )  J 2 sin t   


 1
1
 1
et
donc



2 
2

4   et comme





 
v2 (t )  V 2 sin  t 
 j2 (t )  J 2 sin  t 
 p2 (t )  VJ cos   cos  2t   


3 
3
3  











4 
4




2  
 
v3 (t )  V 2 sin  t 
 j3 (t )  J 2 sin  t 
 p3 (t )  VJ cos   cos  2t   


3
3






3  



P  p1  p2  p3  3VJ cos   3UI cos 
avec
  V / J
S  3VJ  3UI
Q  3VJ sin   3UI sin 
III.3) Puissance absorbée par une charge triphasée quelconque
La puissance absorbée par une charge triphasée est la somme des puissances absorbées par chaque phase.
Pour la puissance instantanée :
p(t )  v1 (t )  i1 (t )  v2 (t )  i2 (t )  v3 (t )  i3 (t )
Pour la puissance active :
P  V1I1 cos 1V2 I 2 cos 2 V3 I3 cos 3 
Pour la puissance réactive :
Q  V1I1 sin 1V2 I 2 sin 2 V3 I3 sin 3 
En complexe
S  P  jQ
Démonstration
En effet si l’on prend le cas d’une charge monophasée
V V
I  Ie j donc I  Ie j
*
Alors S  V  I  V  I  e
*
Donc
j
P  S et Q  S
Puissance apparente complexe :
S  V1  I1*  V2  I2*  V3  I3*  P  jQ
Montage équilibré:
S  3 VIe j et P  Re S et Q  Im S
IV) Mesures de puissance
IV.1) Récapitulatif
Notations un wattmètre mesure le courant sur une phase notée à l’exposant et
la tension entre deux points notés en indice. Par exemple le wattmètre
effectuant la mesure de I1 et U23 sera noté M 23 . Dans ce cas le wattmètre
1
effectue le calcul suivant :
Sommaire

1
M 23
  v2  v3  i1  U 23 I1 cos U 23 , I1

1
2
U23
3
i1
i2
i3
M123
*
* W
Récepteur
N
8/16
Puissance active : P
Phase
Monophasé
et
avec la
neutre
charge
Phase
entre
2 et 3
Triphasé équilibré
avec neutre
Triphasé équilibré
sans neutre
Triphasé
déséquilibré avec
neutre
Triphasé
déséquilibré sans
neutre
Puissance réactive : Q
1
P  M 1N
Q
P  M 232
1
M 23
3
Q   3M 12N

P  3  M 11N


P  M 131  M 232

Q  3  M 131  M 232 

PM M

1
Q  3M 23

PM

PM M

P  M 11N '  M 22N '  M 33N ' avec un
1
13
1
1N
2
23
M
1
13
2
2N
M
3
3N

Q  3  M 131  M 232 

1
M 23
 M 312  M123
Q
3

2
23
neutre artificiel
1
Q  3M 23

1
M 23
 M 312  M123
Q
3
1
Q  3(M 2 N '  M12N ' ) avec un neutre
artificiel
IV.2) Méthode du Wattmètre
IV.2.1) Charge monophasée ( déphasage )

Charge entre phase 1 et neutre:
P  M11N  i1 (t ).V1N (t )  V1N .I1N  V1.I1 cos 
i1
1
 Puissance
active
* W
i2
2
V1N
M11N
*
i3
3
Récepteur
Monophasé
Représentation de Fresnel

V3
N
Q
 Puissance
réactive :
1
M 23
car
3




V2


1
M 23
 U 23 I1 cos U 23 , I1  V 3I1 cos      V 3I1 sin   3Q
2

i1
1
*
* W
i2
2
U23
i3
3

U 23
M123

V1

I1
Récepteur
Monophasé
N

Charge entre phase 2 et 3 :
2
P  M 23
 i2 (t ).U 23 (t )  U 23.I 2  U 23.I 2 cos 
 Puissance
active
1
2
U23
3
N
Sommaire
Représentation de Fresnel

V3
i1
i2
i3
*
*
M223
W
Récepteur
Monophasé


V1

I2

V2 

U 23
9/16
M 12N  I 2V1N cos   I 2V1N sin  or on veut
 Puissance
réactive :
Q  U 23 I 2 sin  
Q   3M 12N
i1
1
i2
2
U23
*
i3
3
*
M21N
Récepteur
Monophasé
W
N
IV.2.2) Charge triphasée équilibrée
P1  M 11N  i1 (t ).V1N (t )  V1N .I1N  V1.I1 cos 1
P  3  M11N  3 V  I cos   3 U  I cos 
Puissance active
 Puissance
active
1
v1
2
3
i1
*
* W
i2
Récepteur
équilibré
i3
Représentation de Fresnel
I3

V3
N
M
 Puissance
réactive :
1
23
donc
Q


 U 23 I1 cos   V 3I1 cos  1   V 3I1 sin 1 
3
2

I2
1
Q  3M 23

U 23
Puissance réactive
v1
1
2
3
i1
*
* W
i2


V2

V1

I1
Récepteur
équilibré
i3
N
IV.2.3) Charge triphasée déséquilibrée en courant

Montage avec fil neutre relié
1, 2, 3 représentent les arguments de chaque récepteur
P = V1I1 cos 1 + V2I2 cos 2 + V3I3 cos 3 donc P  M 1N  M 2 N  M 3 N
1
 Puissance
active
v1
1
2
3
i1
i2
*
*
W
i3
*
*
W
*
*
2
3
Récepteur
déséquilibré
W
N
Q = V1I1 sin 1 + V2I2 sin 2 + V3I3 sin 3 donc
 Puissance
réactive :
v1
1
2
3
i1
i2
*
*
i3
W
*
*
Q
W
*
*
1
M 23
 M 312  M123
3
Récepteur
déséquilibré
W
N
 Montage sans fil neutre (et sans neutre accessible)
 puissance active
Sommaire
10/16
Voir la méthode des deux wattmètres: P  M 13  M 23
1
2
Ou la méthode vue précédemment : P  M 1N  M 2 N  M 3 N avec un neutre artificiel
1
2
3
 puissance réactive
Comme vu précédemment en sommant les puissances réactives de chaque dipôle
Q
1
M 23
 M 312  M123
3
IV.3) Méthode des deux Wattmètres
Les deux wattmètres mesurent M 13 
1
 v1  v3  i1
et M 23 
2
 v2  v3  i2
Remarque : Les indications fournies par M 23 sont positives ou négatives selon l'angle
2
 puissance réactive
Quelque soit le montage (équilibré ou non, sinusoïdal ou non)
s’il n’y a pas de fil neutre:
Branchement de 2 wattmètres
1
2
M 13
 M 23
  v1  v3  i1   v2  v3  i2  v1i1  v3i1  v2i2  v3i2
 Puissance
active
donc
M M
1
13
2
23
v1
i1
1
i1  i2  i3 donc
*
* W1
i2
2
Récepteur
quelconque
*
* W2
i3
3
 v1i1  v2i2  v3  i1  i2  et comme il n’y a pas de
fil neutre alors
U 23 , I 2 ..
N
M  M  v1i1  v2i2  v3i3  P
1
13
2
23
Si le montage est équilibré
Le wattmètre W1 mesure
Branchement de 2 wattmètres



1
M13
  v1  v3  i1  U13 I1 cos U13 , I1  U13 I1 cos   
6
Le wattmètre W2 mesure
 Puissance
réactive :




2
M 23
  v2  v3  i2  U 23 I 2 cos U 23 , I 2  U 23 I 2 cos   
6
 6   sin   sin  6 

I  cos   cos    sin   sin   
6
6
v1
N

V3
 6   UI sin 
2
23


I2 

Q  3  M 131  M 232 
IV.4) Méthode d’Illiovici

U13
Q  3(M
1
2N '

2
1
V2 /6

U 23

I1

V1
/6

U13
Méthode d’Illiovici
Cette méthode permet de calculer la puissance réactive dans le cas
d’un système triphasé déséquilibré sans neutre. Il est nécessaire de
disposer ou de créer un neutre artificiel : N’ étant la borne neutre :
On démontre que

I3
2
M  M  2UI sin   sin 
1
13
Récepteur
équilibré
*
* W2
i3
3

*
* W1
i2
2
M 131  U13 I1 cos   cos 
M 232  U 23
 M ) . Cette méthode est plus
2
1N '
délicate car il faut être sûr de calculer une différence algébrique
avec des nombres qui peuvent dans certains cas être négatifs.
Sommaire
i1
1
v1
1
2
3
i1
i2
i3
*
*
W1
Récepteur
déséquilibré
*
W2
*
N’
11/16
IV.5) Appareils de mesure actuels
V*1
V2
V3
I*
N
I
Pour une mesure de puissance
en déséquilibré 3 mesures où
l’on fera une permutation
circulaire des phases mesurées
dont on prendra la moyenne
V) Schéma monophasé équivalent
V.1) Principe
Si un système est équilibré, il n’est pas nécessaire d’étudier son fonctionnement dans sa globalité et l’étude
du fonctionnement d’une de ses phases est suffisante.
Le schéma monophasé équivalent va donc modéliser le fonctionnement d’une phase et il fera intervenir les
tensions simples et les courants de ligne.
I
I1
I2
Charge
P,Q
I3
V1
V2
Charge
P/3,Q/3
V
V3
IN
Précautions :
 Cette équivalence n’est valable que si le système est équilibré
 Le courant de neutre (en pointillés) n’a pas de signification pour le système triphasé (courant neutre nul)
 Ce schéma peut être différent pour un système direct et inverse (voire ne pas exister pour l’un d’entre
eux)
V.2) Exemples
Schéma triphasé
1
2
3
Equivalence
Schéma monophasé
Z
i
v1
Z
v2
Z
v3
V
I
Z
S  3ZI 2
Z
i
V
N
Sommaire
12/16
i
1
j
u12
U
et
Z
S  3Z J 2  ZI 2
J
Z
Z
2
I2
Z
Z/3
i
V
3
3
VI) Etudes systèmes triphasés déséquilibrés : les composantes symétriques
VI.1) Généralités
Un système triphasé est déséquilibré si :
 Le réseau est équilibré en tension mais le récepteur est dissymétrique ; c’est la situation industrielle la
plus fréquente.
 Le réseau est déséquilibré en en tension (cas exceptionnel)
o Le récepteur est symétrique
o Le récepteur est dissymétrique
Il existe deux méthodes de résolution des circuits déséquilibrés :
 Les méthodes algébriques ( loi des nœuds, loi des mailles, transformation étoile-triangle, théorème de
Thévenin…)
 La méthode des composantes symétriques
Tout système de trois grandeurs vectorielles
V1,V2 ,V3 
de même nature et de même fréquence est égal à la


superposition de trois systèmes de même fréquence : un système équilibré direct Vd , a Vd , aVd , un système

équilibré inverse Vi , aVi , a Vi
2
 et un système homopolaire V ,V ,V 
h
h
2
h
Comme l’étude d’un système équilibré est plus facile, cette transformation peut parfois se justifier.
 Les composantes se déterminent donc par une construction vectorielle
 Ou par les relations de passages suivantes
VI.2) Relations de passage
On passe de l’une à l’autre par la transformation de Fortescue
V1 
Vd  Vi  Vh
V2  a Vd  aVi  Vh avec a  e
2
j
2
3
et donc 1  a  a  0
2
V3  aVd  a 2Vi  Vh
V1
aVi
aVd
V3
Vh Vh Vh
Vi
Vd
V2
Sommaire
a 2Vd
a 2Vi
13/16
V1,V2 ,V3 
On substitue au système réel :

 de somme nulle
Le système inverse V , aV , a V  de somme nulle

Le système homopolaire


1
V1  aV2  a 2V3 

3
1
Vi  V1  a 2V2  aV3 
3
1
Vh  V1  V2  V3 
3
Vd 
Le système direct Vd , a Vd , aVd
2
2
i
i
i
Vh ,Vh ,Vh 
de somme non nulle
VI.3) Bilan de puissances
 I1*  Ie j1

 *
j   2  / 3 
et  I2  Ie 2
 *
j  3  4  / 3 

 I3  Ie
 V1  V

j  2 / 3
 V2  Ve

j  4 / 3
 V3  Ve
Puissance apparente complexe :
S  V1  I1*  V2  I2*  V3  I3*  3  Vd  Id*  Vi  Ii*  Vh  Ih*   P  jQ
donc
S  S d  Si  S h
P  ReS  Pd  Pi  Ph
Q  ImS  Qd  Qi  Qh
Pd  Pi  Ph
P
k 
2
2
S
 Pd  Pi  Ph    Qd  Qi  Qh 
Montage équilibré:
S  3 VIe j et P  Re S et Q  Im S
Montage étoile sans fil neutre IN=0:
S  3  Vd  Id*  Vi  Ii*   P  jQ
Déséquilibre en courant uniquement:
S  3  Vd  Id*  P  jQ car Vi=Vh=0.
VI.4) Propriétés importantes
U12 ,U23 ,U31 
Le système des tensions composées



admet pour composantes symétriques les tensions composées des composantes symétriques directes,
inverses des tensions simples.
Pour un système équilibré, on a une seule composante symétrique V d ou Vi.
Tous les systèmes dont la somme des trois grandeurs égale 0 n’ont pas de composante homopolaire.
Le montage étoile avec fil neutre est le seul montage où on peut
Z1
j1
i1
avoir un courant homopolaire
du système de tensions simples
V1,V2 ,V3 

3 Ih  I1  I2  I3  I N .
1
2
3
v1
i2
v2
i3
Z2
j2
Z3
j3
v3
N

Le montage triangle n’a pas de composante homopolaire pour les
courants de ligne, mais une composante homopolaire existe pour
les courants de branche. J12 
donc
J12  J 23  J 31  3J h
U
U
U12
; J 23  23 ; J 31  31
Z1
Z2
Z3
1
Montage en étoile déséquilibré
i1
j12
j31
u12
Z1
i2
2
u31
Z2
u23
3
Z3
i3
j23
Montage triangle déséquilibré
Sommaire
14/16
On peut montrer que tout système de 3 vecteurs ayant des extrémités communes a les mêmes
composantes directe et inverse. Leurs composantes symétriques ne diffèrent alors que par la
composante homopolaire.
Les composantes directes et inverses ne dépendent pas du point d’origine, ainsi pour se simplifier,
l’une des extrémités des vecteurs du système réel pourra être choisie comme origine.
Les vecteurs issus du centre de gravité du triangle ont une composante homopolaire nulle, ainsi la
composante homopolaire se mesure facilement par l’écart du centre de gravité à l’origine réelle



VI.5) Exemple 1 : résolution graphique
directe
inverse
homopolaire
a2V3
V1
aV2
1/3 de V1,V2,V3
Vd
V1
a2V2
V2
V1
aV3
V3
V1
Vi
V0
aV’2
V2
V’1
Vd
V’1
V’1
V’2
V3
a2V’2
Vi
O
G
V0
V’3=0
Nouvelle origine
VI.6) Exemple 2 : résolution mathématique
i1
1
2
3
i2
u12
i3
u23
u31
R
v2
R
v3
N
Montage en étoile déséquilibré
U
U12
a U12
et I3  31 
donc
R
R
R

j
U
U
I1    I2  I3   12 1  a   12 3e 6
R
R
I2  
Les courants de phases ne sont donc pas tous égaux.
Les tensions de phase se déduisent des courants et ne sont
donc eux aussi pas équilibrés.
Id 
I3
I1
I2
aId
 3 U12  j 6 
1
2
I

a
I

a
I

2

 e 
1

2
3
3
2
R


1
3 U12  j 6
2
I

a
I

aI


e
1
2
3
3
3 R
1
Ih   I1 
I2  I3   0
3
Id
Ii
a²Ii
Ii 
Sommaire
aIi
a²Id
15/16
VII) Production des champs tournants
VII.1) Animation
VII.2) Superposition des champs de chaque bobine
Considérons trois bobinages répartis dans l'espace de telle sorte que l'on passe de l'un d'entre eux à ses
voisins par une rotation de centre O et d'angle 2/3.
Ces bobinages sont alimentés par un système de courants triphasé équilibré. Courants et champs H résultants
étant proportionnels, on a, dans l'axe de chaque bobine les champs suivants:

h (t )  H cos t 
 1

2 

h2 (t )  H cos  t 

3 



4 

h3 (t )  H cos  t 

3 



 h (t )  H cos t   e j 0
suivant Ox1
 1

2  j 23

suivant Ox2 En complexe  h2 (t )  H cos  t 
e
3




4  j 43

suivant Ox3
 h3 (t )  H cos  t 
e
3 


Globalement, on trouve que
h (t )  h1 (t )  h2 (t )  h3 (t ) 
3
H  e jt
2
La partie réelle donne la composante suivant l'axe Ox et la partie imaginaire la composante suivant l'axe Oy. On
trouve donc un champ H qui tourne dans le plan Oxy autour de O.
VII.3) Théorème de Ferraris
Trois bobinages décalés de 2π/3, alimentés par des courants sinusoïdaux triphasés équilibrés de pulsation ω
sont équivalents à un rotor fictif bipolaire tournant à la vitesse ω. Ce rotor fictif passe par l'axe d'une bobine
quand le courant y est maximum.
rq : si on inverse deux phases, le sens de rotation est inversé.
rq : si H est à répartition spatiale sinusoïdale, on aura créé un champ tournant à répartition spatiale sinusoïdale,
ce qui permet d’expliquer les formes des tensions de sortie des alternateurs de centrales électriques.
Sommaire
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