Les Systèmes Triphasés
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Les Systèmes triphasés Sommaire Les Systèmes Triphasés .............................................................................................................................................................. 2 I) Présentation ........................................................................................................................................................................... 2 I.1) Intérêts du triphasé :.................................................................................................................................................. 2 I.2) Diagrammes de Fresnel : ............................................................................................................................................. 2 I.3) Généralisation : système de tension polyphasées : ............................................................................................... 5 II) Couplages des charges ....................................................................................................................................................... 5 II.1) Montage Etoile ............................................................................................................................................................ 5 II.2) Montage Triangle ........................................................................................................................................................ 6 III) Puissances en triphasé ..................................................................................................................................................... 7 III.1) Théorème de Boucherot.......................................................................................................................................... 7 III.2) Système équilibré ..................................................................................................................................................... 8 III.3) Puissance absorbée par une charge triphasée quelconque .............................................................................. 8 IV) Mesures de puissance ........................................................................................................................................................ 8 IV.1) Récapitulatif ................................................................................................................................................................ 8 IV.2) Méthode du Wattmètre ........................................................................................................................................... 9 IV.3) Méthode des deux Wattmètres ............................................................................................................................ 11 IV.4) Méthode d’Illiovici .................................................................................................................................................... 11 IV.5) Appareils de mesure actuels ...................................................................................................................................12 V) Schéma monophasé équivalent ..........................................................................................................................................12 V.1) Principe ..........................................................................................................................................................................12 V.2) Exemples .......................................................................................................................................................................12 VI) Etudes systèmes triphasés déséquilibrés : les composantes symétriques ...........................................................13 VI.1) Généralités .................................................................................................................................................................13 VI.2) Relations de passage.................................................................................................................................................13 VI.3) Bilan de puissances....................................................................................................................................................14 VI.4) Propriétés importantes ............................................................................................................................................14 VI.5) Exemple 1 : résolution graphique ...........................................................................................................................15 VI.6) Exemple 2 : résolution mathématique ...................................................................................................................15 VII) Production des champs tournants ................................................................................................................................16 VII.1) Animation ..................................................................................................................................................................16 VII.2) Superposition des champs de chaque bobine ....................................................................................................16 VII.3) Théorème de Ferraris ............................................................................................................................................16 Sommaire 1/16 Les Systèmes Triphasés I) Présentation I.1) Intérêts du triphasé : Alors que le courant monophasé nécessite deux fils : la phase (potentiel v) et le neutre (potentiel 0), le courant triphasé comporte quatre fils : trois phases (potentiels V1, V2 et V3) et un seul neutre (Pot- 0) Représentation multifilaire 1 2 3 Il présente de nombreux avantages par rapport au courant monophasé: possibilité de produire aisément des champs tournants (moteurs ... ), pertes en ligne (transport de l'énergie électrique) beaucoup plus faibles que le courant monophasé. u12 v1N v2N u23 u31 v3N N Représentation unifilaire fil neutre Remarque : les lignes continues (sous marines par exemple) sont justifiées par les capacités parasites du triphasé qui nécessitent des postes de relèvement du facteur de puissance impossible à implanter sous l’eau. Distance limite du terrestre triphasé : entre 500 et 1000 km Monophasé Schéma Si on véhicule la même puissance P La densité de courant j(A/m²) est constante P VI m P I m j Sm V Soit une section I P V 2L Sm P V j Triphasé I V Donc un volume de cuivre Volm 2 L S m Volm 2 L P 3VI t It P j St 3V St P 3 V j Volt 3 L Volm P V j Volt 3 L St P Le rapport des volumes de cuivre nécessaires P 3 V j Volt 2 Soit un volume de cuivre double pour transporter la même puissance 3L I.2) Diagrammes de Fresnel : I.2.1) Définitions : Un circuit triphasé est équilibré quand la source et la charge sont toutes les deux équilibrées. Une source triphasée est équilibrée lorsque les trois tensions générées sont de même amplitude et déphasées de 2 l’une par rapport à l’autre. 3 Une charge triphasée est équilibrée lorsque toutes les impédances de chacune des trois phases sont identiques en module et en argument. Il en résulte que dans un circuit équilibré, les trois courants de ligne sont de même amplitude et décalés de 2 l’un par rapport aux autres. 3 Par convention, on appelle système direct un système dont les tensions sont ordonnées dans le sens trigonométrique négatif (sens horaire). Dans un système direct, les grandeurs passent par un maximum dans l’ordre de numérotation. Dans le cas contraire, le système est dit inverse. On appelle homopolaire un système dans lequel toutes les grandeurs sont en phase. Sommaire 2/16 I.2.2) Préambule mathématique : Soit le nombre complexe a e remarquer que j 2 3 e j 4 3 4 2 j j 1 3 1 3 2 j alors a e 3 e 3 j et l’on peut 2 2 2 2 1 a a2 0 m ae j 2 3 2/3 1 a2 e j 4 3 e j e 2 3 I.2.3) Tensions simples : Les trois tensions entre phase et neutre sont dites simples et vérifient ˆ j t v1 (t ) Ve V ;0 V1 ˆ t 2 / 3 V ; 2 / 3 V a 2V v2 (t ) Ve 2 1 ˆ t 4 / 3 V ; 4 / 3 V aV 3 1 v3 (t ) Ve Cette distribution est équilibrée (même amplitude V,) et directe (un observateur voit tourner les vecteurs de Fresnel dans le sens positif et dans l'ordre 1, 2, 3). b) vecteurs de Fresnel associés a) représentation temporelle v(t) v1 v2 V3 v3 T/3 2T/3 T t /3 2/3 2 c) grandeurs complexes associées m V3 V1 V1 e - 2/3 - 2/3 v (t ) V 2 sin t 1 Vˆ 2 v2 (t ) V 2 sin t 3 4 v3 (t ) V 2 sin t 3 On remarque qu’à tout instant v1( t ) + v2( t ) + v3( t ) = 0. V2 V2 V ;0 ˆ j t v1 (t ) Ve ˆ t 2 / 3 V ; 2 / 3 v2 (t ) Ve V1 V2 V3 0 ˆ t 4 / 3 V ; 4 / 3 v3 (t ) Ve et comme V1 V2 V3 V1 a 2V1 aV1 V1 V2 V3 V1 1 a a 2 0 0 donc V1 V2 V3 0 Sommaire 3/16 I.2.4) Animations : I.2.5) Couplage des phases : I.2.5.1) Couplage en étoile : Les trois sources qui nécessiteraient 6 fils sont couplées de façon à n’avoir que 3 fils . Le point commun aux trois tensions est appelé le neutre. Les tensions composées sont les ddp entre phases : uij = vi - vj. Ces trois tensions forment également un système équilibré direct, leur amplitude vaut U V 3 . (Si la tension simple vaut V = 220 volts, alors U = 380 volts) Les tensions composées sont liées aux tensions simples par les relations: u12 v1 v2 u12 (t ) U 2 sin t 6 u12 u23 u31 0 Uˆ et u23 v2 v3 donc U12 U 23 U 31 0 u23 (t ) U 2 sin t u v v 2 31 3 1 7 u31 (t ) U 2 sin t 6 U12 U23 V1 U 31 V2 1 V3 V3 U 23 U3 U12 U 31 -2/3 -2/3 O V1 /6 -2/3 U12 V2 A On retiendra le résultat important reliant une tension simple à la tension composée : U V 3 B U 23 Que l’on peut retrouver de diverses façons : Méthode approchée : la mesure des deux vecteurs nous permet de vérifier ce rapport Méthode géométrique : cos /6 = OB/OA or U = 2OB U = 2OAcos(/6) U = 2Vcos(/6) = V 3 Méthode algébrique : a b a b et cos cos x sin x 2 2 2 2 2 2 u12 (t ) V 2 sin t V 2 sin t V 2 2sin cos t V 3 2 sin t Sachant que sin a sin b 2sin 3 6 2 V 2 sin t sin t 3 3 6 sin t 2 3 U 6 Méthode complexe : U12 V1 V2 V1 a V1 V1 1 a 2 2 V 1 3e j 6 I.2.5.2) Couplage en triangle : Sommaire 4/16 Ce montage ne présente ni neutre ni tension simple. Il existe un relation entre les courants de ligne I et les courants de phase J 1 j 3 6 I1 J1 J 3 J1 aJ1 1 a J1 1 j J J 3 e 1 1 2 2 aJ1 V3 V2 V1 J2 J1 IJ 3 I1 I.3) Généralisation : système de tension polyphasées : Le courant triphasé est un cas particulier de courant polyphasé. On appelle système polyphasé un ensemble de q tensions de même fréquence, de même valeur efficace et déphasées entre elles de 2 soit pour la nième tension d’un réseau de q phases : q 2 vn (t ) Vˆ sin t n q 2 V ; n q II) Couplages des charges II.1) Montage Etoile II.1.1) Montage étoile équilibré Lorsque la distribution triphasée alimente une étoile symétrique V1 V j t I1 Z Z 2e 2 j t V2 V 3 2e I2 Z Z 4 j t V V 3 I2 3 2e Z Z 1 2 3 i1 i2 i3 v1 v2 Z Z ; Z j1 Z j2 Z j3 v3 V3 I2 N Montage en étoile I3 V1 I1 V2 On a en complexe : i1 + i2 + i3 = 0. Le neutre n’est donc pas nécessaire sauf en cas de dissymétrie accidentelle, son absence pourrait nuire au bon fonctionnement des branches de l'étoile. II.1.2) Montage étoile déséquilibré avec neutre Les récepteurs de nature de puissances différentes sont reliés d'une part à un fil de phase, d'autre part au fil neutre. Le courant dans le fil neutre est la somme vectorielle des courants dans les trois fils de phase. I1 I 2 I 3 I N Remarque : Le fil neutre est nécessaire sinon les récepteurs seraient soumis à des tensions différentes et risqueraient d'être détruits. Une surtension peut apparaître aux bornes d'un récepteur. Sommaire 5/16 I3 V1 V 2e j t 1 I1 Z1 Z1 2 j t 2 V2 V 3 I 2 e 2 Z2 Z2 4 j t 3 3 I2 V3 V 2e Z3 Z3 1 2 3 i1 v1 i2 v2 i3 Z1 j1 Z2 j2 Z3 j3 v3 IN 2/3 N I2 Montage en étoile déséquilibré I1 2/3 Construction graphique avec des charges purement résistives et différentes II.1.3) Montage étoile déséquilibré sans neutre Le potentiel de neutre de la charge est donc libre et se déplace par rapport à celui du réseau. Le système des courants et des tensions est dissymétrique. VN Y1 V1 Y2 V2 Y3 V3 Y1 Y2 Y3 V1 VN I1 Z1 V VN et I2 2 Z2 V V I2 3 N Z3 V1 V2 i1 Z1 i2 Z2 i3 Z3 N VN V3 II.2) Montage Triangle II.2.1) Montage triangle équilibré Chaque phase du récepteur est soumise à une tension composée. J12 J 23 J 31 J U Z L’angle entre U et J est imposé par la charge ( J12 ,U12 ) ( J 23 ,U 23 ) ( J31 ,U31 ) Les relations liant les courants par phase et en ligne sont : i1 j12 j31 i2 j23 j12 I1 I 2 I 3 i3 j31 j23 Par une démonstration analogue au I.2.4 on trouve le second résultat important : IJ 3 Sommaire 6/16 1 j t U12 U 6 J 2 e 12 Z Z j t U 23 U 2 2e J 23 Z Z 7 j t U U 6 J 31 31 2e Z Z J31 i1 + j12 u12 j31 Z i2 2 Z + Z u23 i3 3 V1 u31 J23 j23 I1 J12 + U 23 Montage triangle équilibré I1 Remarque : A chaque instant i1+i2+i3=0 et j12+j23+j31=0 II.2.2) Montage triangle déséquilibré Les récepteurs différents sont reliés entre deux fils de phase, les courants dans chaque récepteur sont différents en phase et en valeur. I3 j t 1 U12 U 6 2e J12 Z Z 1 1 j t 2 U 23 U 2 2e J 23 Z Z 2 2 7 j t 3 6 J 31 U 31 U 2e Z3 Z3 I1 J1 J 3 i1 1 j12 u12 Z1 i3 3 Z3 u31 Z2 u23 I 2 J 2 J1 j31 i2 2 J3 I2 j23 2/3 J2 J1 2/3 Montage triangle déséquilibré Construction graphique avec des charges différentes I3 J3 J2 La somme des courants dans les fils de ligne est nulle : I1 I1 I 2 I 3 0 III) Puissances en triphasé III.1) Théorème de Boucherot Dans un circuit triphasé fonctionnant en régime sinusoïdal la puissance active se conserve, sa conservation relève du principe général de conservation de l’énergie : P Pk k La puissance réactive, à condition qu’il n’y ait pas de changement de fréquence, se conserve au même titre que la puissance active : Q Qk k La puissance réactive n’est pas une puissance au sens physique du terme, elle n’a donc aucune raison à priori de se conserver, et elle se conserve en fait que s’il n’y a pas de changement de fréquence (elle ne se conserve pas dans le cas d’un redresseur par exemple). Sommaire 7/16 III.2) Système équilibré p (t ) VJ cos cos 2t v (t ) V 2 sin t j (t ) J 2 sin t 1 1 1 et donc 2 2 4 et comme v2 (t ) V 2 sin t j2 (t ) J 2 sin t p2 (t ) VJ cos cos 2t 3 3 3 4 4 2 v3 (t ) V 2 sin t j3 (t ) J 2 sin t p3 (t ) VJ cos cos 2t 3 3 3 P p1 p2 p3 3VJ cos 3UI cos avec V / J S 3VJ 3UI Q 3VJ sin 3UI sin III.3) Puissance absorbée par une charge triphasée quelconque La puissance absorbée par une charge triphasée est la somme des puissances absorbées par chaque phase. Pour la puissance instantanée : p(t ) v1 (t ) i1 (t ) v2 (t ) i2 (t ) v3 (t ) i3 (t ) Pour la puissance active : P V1I1 cos 1V2 I 2 cos 2 V3 I3 cos 3 Pour la puissance réactive : Q V1I1 sin 1V2 I 2 sin 2 V3 I3 sin 3 En complexe S P jQ Démonstration En effet si l’on prend le cas d’une charge monophasée V V I Ie j donc I Ie j * Alors S V I V I e * Donc j P S et Q S Puissance apparente complexe : S V1 I1* V2 I2* V3 I3* P jQ Montage équilibré: S 3 VIe j et P Re S et Q Im S IV) Mesures de puissance IV.1) Récapitulatif Notations un wattmètre mesure le courant sur une phase notée à l’exposant et la tension entre deux points notés en indice. Par exemple le wattmètre effectuant la mesure de I1 et U23 sera noté M 23 . Dans ce cas le wattmètre 1 effectue le calcul suivant : Sommaire 1 M 23 v2 v3 i1 U 23 I1 cos U 23 , I1 1 2 U23 3 i1 i2 i3 M123 * * W Récepteur N 8/16 Puissance active : P Phase Monophasé et avec la neutre charge Phase entre 2 et 3 Triphasé équilibré avec neutre Triphasé équilibré sans neutre Triphasé déséquilibré avec neutre Triphasé déséquilibré sans neutre Puissance réactive : Q 1 P M 1N Q P M 232 1 M 23 3 Q 3M 12N P 3 M 11N P M 131 M 232 Q 3 M 131 M 232 PM M 1 Q 3M 23 PM PM M P M 11N ' M 22N ' M 33N ' avec un 1 13 1 1N 2 23 M 1 13 2 2N M 3 3N Q 3 M 131 M 232 1 M 23 M 312 M123 Q 3 2 23 neutre artificiel 1 Q 3M 23 1 M 23 M 312 M123 Q 3 1 Q 3(M 2 N ' M12N ' ) avec un neutre artificiel IV.2) Méthode du Wattmètre IV.2.1) Charge monophasée ( déphasage ) Charge entre phase 1 et neutre: P M11N i1 (t ).V1N (t ) V1N .I1N V1.I1 cos i1 1 Puissance active * W i2 2 V1N M11N * i3 3 Récepteur Monophasé Représentation de Fresnel V3 N Q Puissance réactive : 1 M 23 car 3 V2 1 M 23 U 23 I1 cos U 23 , I1 V 3I1 cos V 3I1 sin 3Q 2 i1 1 * * W i2 2 U23 i3 3 U 23 M123 V1 I1 Récepteur Monophasé N Charge entre phase 2 et 3 : 2 P M 23 i2 (t ).U 23 (t ) U 23.I 2 U 23.I 2 cos Puissance active 1 2 U23 3 N Sommaire Représentation de Fresnel V3 i1 i2 i3 * * M223 W Récepteur Monophasé V1 I2 V2 U 23 9/16 M 12N I 2V1N cos I 2V1N sin or on veut Puissance réactive : Q U 23 I 2 sin Q 3M 12N i1 1 i2 2 U23 * i3 3 * M21N Récepteur Monophasé W N IV.2.2) Charge triphasée équilibrée P1 M 11N i1 (t ).V1N (t ) V1N .I1N V1.I1 cos 1 P 3 M11N 3 V I cos 3 U I cos Puissance active Puissance active 1 v1 2 3 i1 * * W i2 Récepteur équilibré i3 Représentation de Fresnel I3 V3 N M Puissance réactive : 1 23 donc Q U 23 I1 cos V 3I1 cos 1 V 3I1 sin 1 3 2 I2 1 Q 3M 23 U 23 Puissance réactive v1 1 2 3 i1 * * W i2 V2 V1 I1 Récepteur équilibré i3 N IV.2.3) Charge triphasée déséquilibrée en courant Montage avec fil neutre relié 1, 2, 3 représentent les arguments de chaque récepteur P = V1I1 cos 1 + V2I2 cos 2 + V3I3 cos 3 donc P M 1N M 2 N M 3 N 1 Puissance active v1 1 2 3 i1 i2 * * W i3 * * W * * 2 3 Récepteur déséquilibré W N Q = V1I1 sin 1 + V2I2 sin 2 + V3I3 sin 3 donc Puissance réactive : v1 1 2 3 i1 i2 * * i3 W * * Q W * * 1 M 23 M 312 M123 3 Récepteur déséquilibré W N Montage sans fil neutre (et sans neutre accessible) puissance active Sommaire 10/16 Voir la méthode des deux wattmètres: P M 13 M 23 1 2 Ou la méthode vue précédemment : P M 1N M 2 N M 3 N avec un neutre artificiel 1 2 3 puissance réactive Comme vu précédemment en sommant les puissances réactives de chaque dipôle Q 1 M 23 M 312 M123 3 IV.3) Méthode des deux Wattmètres Les deux wattmètres mesurent M 13 1 v1 v3 i1 et M 23 2 v2 v3 i2 Remarque : Les indications fournies par M 23 sont positives ou négatives selon l'angle 2 puissance réactive Quelque soit le montage (équilibré ou non, sinusoïdal ou non) s’il n’y a pas de fil neutre: Branchement de 2 wattmètres 1 2 M 13 M 23 v1 v3 i1 v2 v3 i2 v1i1 v3i1 v2i2 v3i2 Puissance active donc M M 1 13 2 23 v1 i1 1 i1 i2 i3 donc * * W1 i2 2 Récepteur quelconque * * W2 i3 3 v1i1 v2i2 v3 i1 i2 et comme il n’y a pas de fil neutre alors U 23 , I 2 .. N M M v1i1 v2i2 v3i3 P 1 13 2 23 Si le montage est équilibré Le wattmètre W1 mesure Branchement de 2 wattmètres 1 M13 v1 v3 i1 U13 I1 cos U13 , I1 U13 I1 cos 6 Le wattmètre W2 mesure Puissance réactive : 2 M 23 v2 v3 i2 U 23 I 2 cos U 23 , I 2 U 23 I 2 cos 6 6 sin sin 6 I cos cos sin sin 6 6 v1 N V3 6 UI sin 2 23 I2 Q 3 M 131 M 232 IV.4) Méthode d’Illiovici U13 Q 3(M 1 2N ' 2 1 V2 /6 U 23 I1 V1 /6 U13 Méthode d’Illiovici Cette méthode permet de calculer la puissance réactive dans le cas d’un système triphasé déséquilibré sans neutre. Il est nécessaire de disposer ou de créer un neutre artificiel : N’ étant la borne neutre : On démontre que I3 2 M M 2UI sin sin 1 13 Récepteur équilibré * * W2 i3 3 * * W1 i2 2 M 131 U13 I1 cos cos M 232 U 23 M ) . Cette méthode est plus 2 1N ' délicate car il faut être sûr de calculer une différence algébrique avec des nombres qui peuvent dans certains cas être négatifs. Sommaire i1 1 v1 1 2 3 i1 i2 i3 * * W1 Récepteur déséquilibré * W2 * N’ 11/16 IV.5) Appareils de mesure actuels V*1 V2 V3 I* N I Pour une mesure de puissance en déséquilibré 3 mesures où l’on fera une permutation circulaire des phases mesurées dont on prendra la moyenne V) Schéma monophasé équivalent V.1) Principe Si un système est équilibré, il n’est pas nécessaire d’étudier son fonctionnement dans sa globalité et l’étude du fonctionnement d’une de ses phases est suffisante. Le schéma monophasé équivalent va donc modéliser le fonctionnement d’une phase et il fera intervenir les tensions simples et les courants de ligne. I I1 I2 Charge P,Q I3 V1 V2 Charge P/3,Q/3 V V3 IN Précautions : Cette équivalence n’est valable que si le système est équilibré Le courant de neutre (en pointillés) n’a pas de signification pour le système triphasé (courant neutre nul) Ce schéma peut être différent pour un système direct et inverse (voire ne pas exister pour l’un d’entre eux) V.2) Exemples Schéma triphasé 1 2 3 Equivalence Schéma monophasé Z i v1 Z v2 Z v3 V I Z S 3ZI 2 Z i V N Sommaire 12/16 i 1 j u12 U et Z S 3Z J 2 ZI 2 J Z Z 2 I2 Z Z/3 i V 3 3 VI) Etudes systèmes triphasés déséquilibrés : les composantes symétriques VI.1) Généralités Un système triphasé est déséquilibré si : Le réseau est équilibré en tension mais le récepteur est dissymétrique ; c’est la situation industrielle la plus fréquente. Le réseau est déséquilibré en en tension (cas exceptionnel) o Le récepteur est symétrique o Le récepteur est dissymétrique Il existe deux méthodes de résolution des circuits déséquilibrés : Les méthodes algébriques ( loi des nœuds, loi des mailles, transformation étoile-triangle, théorème de Thévenin…) La méthode des composantes symétriques Tout système de trois grandeurs vectorielles V1,V2 ,V3 de même nature et de même fréquence est égal à la superposition de trois systèmes de même fréquence : un système équilibré direct Vd , a Vd , aVd , un système équilibré inverse Vi , aVi , a Vi 2 et un système homopolaire V ,V ,V h h 2 h Comme l’étude d’un système équilibré est plus facile, cette transformation peut parfois se justifier. Les composantes se déterminent donc par une construction vectorielle Ou par les relations de passages suivantes VI.2) Relations de passage On passe de l’une à l’autre par la transformation de Fortescue V1 Vd Vi Vh V2 a Vd aVi Vh avec a e 2 j 2 3 et donc 1 a a 0 2 V3 aVd a 2Vi Vh V1 aVi aVd V3 Vh Vh Vh Vi Vd V2 Sommaire a 2Vd a 2Vi 13/16 V1,V2 ,V3 On substitue au système réel : de somme nulle Le système inverse V , aV , a V de somme nulle Le système homopolaire 1 V1 aV2 a 2V3 3 1 Vi V1 a 2V2 aV3 3 1 Vh V1 V2 V3 3 Vd Le système direct Vd , a Vd , aVd 2 2 i i i Vh ,Vh ,Vh de somme non nulle VI.3) Bilan de puissances I1* Ie j1 * j 2 / 3 et I2 Ie 2 * j 3 4 / 3 I3 Ie V1 V j 2 / 3 V2 Ve j 4 / 3 V3 Ve Puissance apparente complexe : S V1 I1* V2 I2* V3 I3* 3 Vd Id* Vi Ii* Vh Ih* P jQ donc S S d Si S h P ReS Pd Pi Ph Q ImS Qd Qi Qh Pd Pi Ph P k 2 2 S Pd Pi Ph Qd Qi Qh Montage équilibré: S 3 VIe j et P Re S et Q Im S Montage étoile sans fil neutre IN=0: S 3 Vd Id* Vi Ii* P jQ Déséquilibre en courant uniquement: S 3 Vd Id* P jQ car Vi=Vh=0. VI.4) Propriétés importantes U12 ,U23 ,U31 Le système des tensions composées admet pour composantes symétriques les tensions composées des composantes symétriques directes, inverses des tensions simples. Pour un système équilibré, on a une seule composante symétrique V d ou Vi. Tous les systèmes dont la somme des trois grandeurs égale 0 n’ont pas de composante homopolaire. Le montage étoile avec fil neutre est le seul montage où on peut Z1 j1 i1 avoir un courant homopolaire du système de tensions simples V1,V2 ,V3 3 Ih I1 I2 I3 I N . 1 2 3 v1 i2 v2 i3 Z2 j2 Z3 j3 v3 N Le montage triangle n’a pas de composante homopolaire pour les courants de ligne, mais une composante homopolaire existe pour les courants de branche. J12 donc J12 J 23 J 31 3J h U U U12 ; J 23 23 ; J 31 31 Z1 Z2 Z3 1 Montage en étoile déséquilibré i1 j12 j31 u12 Z1 i2 2 u31 Z2 u23 3 Z3 i3 j23 Montage triangle déséquilibré Sommaire 14/16 On peut montrer que tout système de 3 vecteurs ayant des extrémités communes a les mêmes composantes directe et inverse. Leurs composantes symétriques ne diffèrent alors que par la composante homopolaire. Les composantes directes et inverses ne dépendent pas du point d’origine, ainsi pour se simplifier, l’une des extrémités des vecteurs du système réel pourra être choisie comme origine. Les vecteurs issus du centre de gravité du triangle ont une composante homopolaire nulle, ainsi la composante homopolaire se mesure facilement par l’écart du centre de gravité à l’origine réelle VI.5) Exemple 1 : résolution graphique directe inverse homopolaire a2V3 V1 aV2 1/3 de V1,V2,V3 Vd V1 a2V2 V2 V1 aV3 V3 V1 Vi V0 aV’2 V2 V’1 Vd V’1 V’1 V’2 V3 a2V’2 Vi O G V0 V’3=0 Nouvelle origine VI.6) Exemple 2 : résolution mathématique i1 1 2 3 i2 u12 i3 u23 u31 R v2 R v3 N Montage en étoile déséquilibré U U12 a U12 et I3 31 donc R R R j U U I1 I2 I3 12 1 a 12 3e 6 R R I2 Les courants de phases ne sont donc pas tous égaux. Les tensions de phase se déduisent des courants et ne sont donc eux aussi pas équilibrés. Id I3 I1 I2 aId 3 U12 j 6 1 2 I a I a I 2 e 1 2 3 3 2 R 1 3 U12 j 6 2 I a I aI e 1 2 3 3 3 R 1 Ih I1 I2 I3 0 3 Id Ii a²Ii Ii Sommaire aIi a²Id 15/16 VII) Production des champs tournants VII.1) Animation VII.2) Superposition des champs de chaque bobine Considérons trois bobinages répartis dans l'espace de telle sorte que l'on passe de l'un d'entre eux à ses voisins par une rotation de centre O et d'angle 2/3. Ces bobinages sont alimentés par un système de courants triphasé équilibré. Courants et champs H résultants étant proportionnels, on a, dans l'axe de chaque bobine les champs suivants: h (t ) H cos t 1 2 h2 (t ) H cos t 3 4 h3 (t ) H cos t 3 h (t ) H cos t e j 0 suivant Ox1 1 2 j 23 suivant Ox2 En complexe h2 (t ) H cos t e 3 4 j 43 suivant Ox3 h3 (t ) H cos t e 3 Globalement, on trouve que h (t ) h1 (t ) h2 (t ) h3 (t ) 3 H e jt 2 La partie réelle donne la composante suivant l'axe Ox et la partie imaginaire la composante suivant l'axe Oy. On trouve donc un champ H qui tourne dans le plan Oxy autour de O. VII.3) Théorème de Ferraris Trois bobinages décalés de 2π/3, alimentés par des courants sinusoïdaux triphasés équilibrés de pulsation ω sont équivalents à un rotor fictif bipolaire tournant à la vitesse ω. Ce rotor fictif passe par l'axe d'une bobine quand le courant y est maximum. rq : si on inverse deux phases, le sens de rotation est inversé. rq : si H est à répartition spatiale sinusoïdale, on aura créé un champ tournant à répartition spatiale sinusoïdale, ce qui permet d’expliquer les formes des tensions de sortie des alternateurs de centrales électriques. Sommaire 16/16
