Théorie pour le bilan de Mathématique 6 période/sem

Théorie pour le bilan de Mathématique 6 période/sem. de Noël :
Définitions :
Fonction bornée
La fonction f est définie sur I, intervalle ou demi-droite de .
Sur I, on dit que
- f est majorée ssi il M tel que x I : f(x) ≤ M
M est nommé majorant de f sur I
- f est minorée ssi il m tel que x I : m ≤ f(x)
m est nommé minorant de f sur I
- f est bornée ssi f est à la fois majorée et minorée sur I.
Fonction injective
La fonction f :  : x  f(x) est injective ssi deux réels
différents et quelconques de son domaine ont des images différentes.
Matrice
Tableau rectangulaire rempli de nombres.
Matrice ligne /
Vecteur ligne
Matrice comportant une ligne.
Matrice colonne /
Vecteur colonne
Matrice comportant une colonne.
Matrice nulle
Matrice contenant que des zéros.
Matrice carrée
Matrice ayant le même nombre de lignes que de colonnes.
Matrice d’ordre x
Matrice carrée ayant x lignes et x colonne.
Diagonale
principale
Suite de nombres croisés par la demi-droite partant de a11 à aij.
Diagonale
secondaire
Suite de nombres croisés par la demi-droite partant de a1j à ai1.
Matrice
triangulaire
inférieure
Matrice dont tous les éléments situés du côté droit de la diagonale
principale sont nuls.
Matrice
triangulaire
supérieure
Matrice dont tous les éléments situés du côté gauche de la diagonale
principale sont nuls.
Matrice unité Iixj
Matrice remplie de zéros sauf sur sa diagonale principale où se
trouvent uniquement des 1.
A . I = A
Déterminant
d’une matrice
Le déterminant |A| de A est égal à la somme des produits des éléments
d’une rangée, par les cofacteurs correspondants. C’est un réel.
Rangée d’une
matrice
Colonne ou ligne d’une matrice.
Mineur
Le mineur Mij de aij est le déterminant de la sous-matrice obtenue en
supprimant dans A la ième ligne et la jème colonne. C’est un réel.
Cofacteur
Le cofacteur Aij est le mineur de aij multiplié par (-1)i+j. C’est un réel.
Matrice
transposée
Les lignes de la matrice A deviennent les colonnes de la matrice AT et
les colonnes de la matrice A deviennent les lignes de la matrice AT.

Matrice adjointe
C’est la matrice des cofacteurs transposée adj A = (Aij)T.
Matrice carrée
régulière
Matrice dont le déterminant est non nul.
Matrice carrée
singulière
Matrice dont le déterminant est nul.
Matrice inverse
C’est la matrice adjointe divisée par le déterminant de la matrice. A-1.A
= I.
Démonstrations :
1) Composée de 2 injectives :
Données : f et g sont injectives
Thèse : f o g et g o f sont injectives
Démonstration :
(f o g)(x1) = (f o g)(x2)  ? x1 = x2
f(g(x1)) = f(g(x2)  (car f est injective) g(x1) = (x2)  (car g est injective) x1 = x2
2) Sn = n(u1 + un)/2 :
Démonstration:
Sn = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un
Sn = un + un-1 + un-2 + … + u2 + u1
En additionnant membre à membre ces deux égalités, il vient :
2Sn = (u1 + un) + (u2 + un-1) + (u3 + un-2) + … + (un-1 + u2) + (un + u1)
Or,
* u2 + un-1 = u1 + r + un – r (puisque un = un-1 + r)
= u1 + un
* u3 + un-2 = u2 + r + un-1 - r (puisque un-1 = un-2 + r)
= u2 + un-1
= u1 + r + un – r
= u1 + un
* un-1 + u2 = un – r + u1 + r (puisque un = un-1 + r)
= un + u1
= u1 + un
Dès lors,
2Sn = (u1 + un) + (u1 + un) + (u1 + un) + … + (u1 + un) + (u1 + un)
= n(u1 + un) (somme de n termes égaux à u1 + un)
Finalement, Sn = n . u1 + un
2
3) Sn = u1(1 - qⁿ)/(1 – q) :
Démonstration :
Sn = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un (un = u1qn-1) (1)
Snq = u1q + u2q + u3q + … + un-1q + unq
= u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 (2)
Ainsi,

Sn – Snq = u1 – un+1 (en soustrayant membre à membre (2) de (1))
Soit,
Sn(1 – q) = u1 – u1qn (un+1 = u1qn)
= u1(1 - qn)
Et, finalement, puisque q ≠ 1, Sn = u1(1 - qn)
1 – q
Propriétés des matrices :
1) Addition de matrices :
* L’addition de matrices est interne et partout définie
* L’addition de matrices est associative : A + B + C = (A + B) + C
* L’addition de matrices est commutative : A + B = B + A
* Il existe un neutre dans l’addition de matrices, c’est la matrice nulle O : A + O = A
* Il existe un opposé dans l’addition de matrices : A + (-A) = 0
2) Multiplication de matrice :
* La multiplication de matrice est interne mais définie uniquement si la 1ère matrice a le
même nombre de colonnes que le nombre de lignes de la deuxième matrice.
* La multiplication de matrices n’est pas commutative : A.B ≠ B.A
* Il existe un neutre dans la multiplication de matrices, c’est la matrice unité I : A.I = A
* Il existe un absorbant dans la multiplication de matrices : A.O = 0
Propriétés des déterminants :
* |A| = |AT|
* Le mineur, et donc le cofacteur, de tout élément d’une matrice carrée est indépendant
des éléments appartenant à la même ligne et à la même colonne de l’élément considérés.
* Si tous les éléments d’une rangée d’une matrice sont nuls alors son déterminant est
nul.
* Si on permute 2 rangées parallèles d’une matrice sont déterminant change de signe.
Conséquence : le déterminant d’une matrice carrée ayant deux rangées parallèles
identiques est nul.
* Pour multiplier ou diviser un déterminant par un réel non nul il suffit de multiplier ou
diviser tous les éléments d’une rangée.
Conséquence : dans un déterminant on peut mettre en évidence un facteur
commun à tous les éléments.
Conséquence : si on change le signe des éléments d’une rangée d’un déterminant,
celui-ci change de signe.
Conséquence : si dans un déterminant, une rangée est multiple d’une rangée
parallèle, alors ce déterminant est nul.
Conséquence : si les éléments d’une rangée d’un déterminant sont des sommes de
deux termes, alors ce déterminant est égal à la somme des deux déterminants de
même ordre. (a’11 + a’’11 a12 a13) = (a’11 a12 a13) + (a’’11 a12 a13)

Conséquence : le déterminant d’une matrice carrée ne change pas lorsque l’on
rajoute à une rangée des multiples des autres rangées parallèles (Combinaisons
linéaires)
* Si A et B sont des matrices carrées de même ordre : |A.B| = |A| . |B|
Propriétés des matrices inverses:
* A . (Aij)T = |A| . I = (Aij)T . A
* A . A-1 = A-1 . A = I (Définition)