Théorie pour le bilan de Mathématique 6 période/sem
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Théorie pour le bilan de Mathématique 6 période/sem. de Noël : Définitions : Fonction bornée Fonction injective Matrice Matrice ligne / Vecteur ligne Matrice colonne / Vecteur colonne Matrice nulle Matrice carrée Matrice d’ordre x Diagonale principale Diagonale secondaire Matrice triangulaire inférieure Matrice triangulaire supérieure Matrice unité Iixj Déterminant d’une matrice Rangée d’une matrice Mineur Cofacteur Matrice transposée La fonction f est définie sur I, intervalle ou demi-droite de . Sur I, on dit que - f est majorée ssi il M tel que x I : f(x) ≤ M M est nommé majorant de f sur I - f est minorée ssi il m tel que x I : m ≤ f(x) m est nommé minorant de f sur I - f est bornée ssi f est à la fois majorée et minorée sur I. La fonction f : : x f(x) est injective ssi deux réels différents et quelconques de son domaine ont des images différentes. Tableau rectangulaire rempli de nombres. Matrice comportant une ligne. Matrice comportant une colonne. Matrice contenant que des zéros. Matrice ayant le même nombre de lignes que de colonnes. Matrice carrée ayant x lignes et x colonne. Suite de nombres croisés par la demi-droite partant de a11 à aij. Suite de nombres croisés par la demi-droite partant de a1j à ai1. Matrice dont tous les éléments situés du côté droit de la diagonale principale sont nuls. Matrice dont tous les éléments situés du côté gauche de la diagonale principale sont nuls. Matrice remplie de zéros sauf sur sa diagonale principale où se trouvent uniquement des 1. A.I=A Le déterminant |A| de A est égal à la somme des produits des éléments d’une rangée, par les cofacteurs correspondants. C’est un réel. Colonne ou ligne d’une matrice. Le mineur Mij de aij est le déterminant de la sous-matrice obtenue en supprimant dans A la ième ligne et la jème colonne. C’est un réel. Le cofacteur Aij est le mineur de aij multiplié par (-1)i+j. C’est un réel. Les lignes de la matrice A deviennent les colonnes de la matrice AT et les colonnes de la matrice A deviennent les lignes de la matrice AT. Matrice adjointe Matrice carrée régulière Matrice carrée singulière Matrice inverse C’est la matrice des cofacteurs transposée adj A = (Aij)T. Matrice dont le déterminant est non nul. Matrice dont le déterminant est nul. C’est la matrice adjointe divisée par le déterminant de la matrice. A-1.A = I. Démonstrations : 1) Composée de 2 injectives : Données : f et g sont injectives Thèse : f o g et g o f sont injectives Démonstration : (f o g)(x1) = (f o g)(x2) ? x1 = x2 f(g(x1)) = f(g(x2) (car f est injective) g(x1) = (x2) (car g est injective) x1 = x2 2) Sn = n(u1 + un)/2 : Démonstration: Sn = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un Sn = un + un-1 + un-2 + … + u2 + u1 En additionnant membre à membre ces deux égalités, il vient : 2Sn = (u1 + un) + (u2 + un-1) + (u3 + un-2) + … + (un-1 + u2) + (un + u1) Or, * u2 + un-1 = u1 + r + u n – r (puisque un = un-1 + r) = u1 + u n * u3 + un-2 = u2 + r + un-1 - r (puisque un-1 = un-2 + r) = u2 + un-1 = u 1 + r + un – r = u1 + u n * un-1 + u2 = un – r + u 1 + r (puisque un = un-1 + r) = un + u 1 = u1 + u n Dès lors, 2Sn = (u1 + un) + (u1 + un) + (u1 + un) + … + (u1 + un) + (u1 + un) = n(u1 + un) (somme de n termes égaux à u1 + un) Finalement, Sn = n . u1 + un 2 3) Sn = u1(1 - qⁿ)/(1 – q) : Démonstration : Sn = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un (un = u1qn-1) (1) Snq = u1q + u2q + u3q + … + un-1q + unq = u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 (2) Ainsi, Sn – Snq Soit, = u1 – un+1 (en soustrayant membre à membre (2) de (1)) = u1 – u1qn (un+1 = u1qn) = u1(1 - qn) Et, finalement, puisque q ≠ 1, Sn = u1(1 - qn) 1–q Propriétés des matrices : 1) Addition de matrices : * L’addition de matrices est interne et partout définie * L’addition de matrices est associative : A + B + C = (A + B) + C * L’addition de matrices est commutative : A + B = B + A * Il existe un neutre dans l’addition de matrices, c’est la matrice nulle O : A + O = A * Il existe un opposé dans l’addition de matrices : A + (-A) = 0 2) Multiplication de matrice : * La multiplication de matrice est interne mais définie uniquement si la 1ère matrice a le même nombre de colonnes que le nombre de lignes de la deuxième matrice. * La multiplication de matrices n’est pas commutative : A.B ≠ B.A * Il existe un neutre dans la multiplication de matrices, c’est la matrice unité I : A.I = A * Il existe un absorbant dans la multiplication de matrices : A.O = 0 Propriétés des déterminants : * |A| = |AT| * Le mineur, et donc le cofacteur, de tout élément d’une matrice carrée est indépendant des éléments appartenant à la même ligne et à la même colonne de l’élément considérés. * Si tous les éléments d’une rangée d’une matrice sont nuls alors son déterminant est nul. * Si on permute 2 rangées parallèles d’une matrice sont déterminant change de signe. Conséquence : le déterminant d’une matrice carrée ayant deux rangées parallèles identiques est nul. * Pour multiplier ou diviser un déterminant par un réel non nul il suffit de multiplier ou diviser tous les éléments d’une rangée. Conséquence : dans un déterminant on peut mettre en évidence un facteur commun à tous les éléments. Conséquence : si on change le signe des éléments d’une rangée d’un déterminant, celui-ci change de signe. Conséquence : si dans un déterminant, une rangée est multiple d’une rangée parallèle, alors ce déterminant est nul. Conséquence : si les éléments d’une rangée d’un déterminant sont des sommes de deux termes, alors ce déterminant est égal à la somme des deux déterminants de même ordre. (a’11 + a’’11 a12 a13) = (a’11 a12 a13) + (a’’11 a12 a13) Sn(1 – q) Conséquence : le déterminant d’une matrice carrée ne change pas lorsque l’on rajoute à une rangée des multiples des autres rangées parallèles (Combinaisons linéaires) * Si A et B sont des matrices carrées de même ordre : |A.B| = |A| . |B| Propriétés des matrices inverses: * A . (Aij)T = |A| . I = (Aij)T . A * A . A-1 = A-1 . A = I (Définition)
