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Trigonométrie
QCM p.198
I.
Cercle trigonométrique
1) Définitions
Cercle trigonométrique :
Le plan est muni d’un repère ( O, I, J) orthonormal.
On appelle cercle trigonométrique le cercle C de centre O et de rayon 1, muni d’un sens
direct ( ou trigonométrique) : le sens inverse des aiguilles d’une montre.
Le radian
Le radian ( symbole rad ) est une unité de mesure d’angles.
Dans le cercle trigonométrique, la mesure de l’angle Æ;ION, en radians, est égale à la mesure
de l’arc de cercle IN.
Le périmètre du cercle trigonométrique est 2 .
L’angle droit mesure Error!radians
L’angle plat mesure  rad.
La somme des angles d’un triangle est égale à  rad.
2) Quelques valeurs remarquables
x
(en rad)
x
(en degré)
0
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!

0
30
45
60
90
120
135
150
180
Ex 1 à 6 p.218
II. Enroulement sur le cercle trigonométrique
C le cercle trigonométrique.
On représente Ë sous la forme d’un axe d’origine I et dirigé
vers le haut. On « enroule » Ë sur le cercle trigonométrique.
A tout x de Ë, on associe un unique point N sur le cercle. On dit
que x est une mesure de l’arc d’origine I et d’extrémité N.
Si x > 0, on enroule dans le sens positif, alors la mesure est
positive.
Si x < 0, on enroule dans le sens négatif, alors la mesure est
négative.
Soit N un point du cercle.
Soit x une mesure de l’arc d’origine I et d’extrémité N. Alors, il
existe d’autres mesures associées à N : x + 2 ; x + 4 ; …
x - 2 ; x - 4 ; …
On écrit ces mesures x + k2 où k  Î.
1
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Parmi toutes ces mesures, il en existe une seule dans l’intervalle ] - ;  ]. C’est la mesure
principale.
III. Angles orientés
1) Angles orientés de vecteurs unitaires
Un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1.
Soient Å;u et Å;v deux vecteurs unitaires.
On appelle angle orienté ( Å;u, Å;v) le couple forme de ces vecteurs.
2) Mesure d’un angle orienté
On considère 2 points M et N d’un cercle trigonométrique.
M repéré par x ; N repéré par y.
Une mesure de l’angle orienté ( Ä;OM, Ä;ON ) est la différence y
– x.
Exemple :

2
) et B (  ).
2
3
On cherche une mesure de (Ä;OA, Ä;OB)
 2
7
Mesure de (Ä;OA , Ä;OB) =  
.

2 3
6
3
On a aussi B repéré par
2
3 2 5
Mesure de (Ä;OA , Ä;OB) =
.


2
3
6
Sur un cercle C soit A (
Propriété :
Tout angle orienté a une infinité de mesures. Si  est l’une d’entre elles, les autres
s’écrivent  + 2k, où k  Î.
On note ( Å;u, Å;v) =  + 2k où k  Î
Ou bien ( Å;u, Å;v) =  (2 ) ( on dit  modulo 2  )
Ou bien ( Å;u, Å;v) = 
La seule mesure dans ] -  ; ] est la mesure principale.
5
Dans l’exemple, la mesure principale de (Ä;OA, Ä;OB) est
.
6
Cas particuliers :
( Å;u, Å;u) = 0 angle nul
( Å;u, - Å;u) =  rad angle plat

( Å;u, Å;v) = rad angle droit direct
2
2
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3) Angle de vecteurs non nuls
Soient deux vecteurs non nuls Å;u = Ä;OA et Å;v = Ä;OB.
Soit C le cercle trigonométrique de centre O.
La demi-droite [OA) coupe C en A’ et la demi-droite [OB) coupe C en
B’.
Toute mesure de l’angle orienté ( Å;u, Å;v) est alors une mesure de
(Ä;OA’, Ä;OB’).
Ex 7-8… p.218
4) Relation de Chasles
Soient Å;u, Å;v et Å;w trois vecteurs unitaires. Soient O, A, B et C quatre points tels que Å;u
= Ä;OA, Å;v = Ä;OB et Å;w = Ä;OC.
Soit  = ( Ä;OA, Ä;OB) = xB – xA ;
 = ( Ä;OB, Ä;OC) = xC – xB ;
Soit  = ( Ä;OA, Ä;OC) = xC – xA = (xC – xB ) + (xB – xA ) =    .
Si  est une mesure de ( Å;u, Å;v),  est une mesure de ( Å;v, Å;w), alors    est une
mesure de (Å;u, Å;w).
Propriété : relation de Chasles
(Å;u, Å;v) +( Å;v, Å;w) = ( Å;u, Å;w)
Conséquences :

(Å;u, Å;v) +(Å;v, Å;u) = (Å;u, Å;u) = 0.
On écrit : (Å;v, Å;u) = - ( Å;u, Å;v) angles opposés

( -Å;u, Å;v) = ( - Å;u, Å;u ) + ( Å;u, Å;v) =  + ( Å;u, Å;v)

( -Å;u, -Å;v) = ( -Å;u, Å;u) +( Å;u, Å;v) + ( Å;v, -Å;v) =  + ( Å;u, Å;v) +
 = ( Å;u, Å;v)
Ex 14-15 ... p.219
IV. Trigonométrie
1) Repère orthonormé direct
On dit que le repère (O,Error!,Error!) est orthonormé direct si

les vecteurs Å;i et Å;j sont unitaires et si (Å;i, Å;j) =
2
3
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2) Cosinus et sinus d’un réel
Définition :
M est le point de C cercle trigonométrique, image du réel x.
Le cosinus de x, noté cos(x) est l’abscisse de M et le sinus de x,
noté sin(x) est l’ordonnée de M.
Propriétés :
Pour tout réel x et tout entier relatif k,
 -1 ≤ cos x ≤ 1 et -1 ≤ sin x ≤ 1
 cos ( x + 2k) = cos x et sin ( x + 2k) = sin x
 cos²x + sin²x = 1
Quelques valeurs remarquables :
Error!
Error!
Error!
Error!
x
0
Error!
Error!
Error!
sin x
0
1
Error!
Error!
Error!
cos x
1
0
3) Cosinus et sinus d’un angle orienté
Si  et  sont deux mesures en radians de l’angle (Å;u, Å;v), alors il existe un entier k tel
que  =  +2k .
On en déduit que cos (  ) = cos (  ) et sin (  ) = sin (  ) .
Définition :
Le cosinus ( ou le sinus ) d’un angle orienté est le cosinus ( ou le sinus ) d’une mesure en
radians de cet angle orienté.
Ex 24-29-30... p.220
4) Cosinus et sinus des angles associés
Soit x un réel
cos (-x) = cos (x)
sin (-x) = - sin (x)
cos (  - x ) = - cos (x)
sin (  - x ) = sin (x)
cos (  + x ) = - cos (x)
sin (  + x ) = - sin (x)
4
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5) Equations
Résoudre les équations suivantes :
1
cos x =
dans ] ;  ]
2
3
sin 3x =
dans ] 0;2 ]
2
4 cos2x – 1 = 0 dans ] ;  ]
Ex 33-3 .. p.221
QCM p.223
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