NOMBRES COMPLEXES

APPLICATIONS DES NOMBRES COMPLEXES
Sommaire
1- RACINES n-ièmes D’UN NOMBRE COMPLEXE
2- RESOLUTION DANS C DE L’EQUATION DU SECOND DEGRE
3 - APPLICATIONS DES COMPLEXES A LA GEOMETRIE
4 - APPLICATIONS A LA TRIGONOMETRIE
1- RACINES n-ièmes D’UN NOMBRE COMPLEXE
1.1- Racines n-ièmes d’un nombre complexe
Soit Z = r (cos  + i sin ) un complexe donné. On appelle racine n-ièmes de Z tout
nombre z tel que zn = Z ( n  IN ).
Posons : z =  ( cos  + i sin ).
Il vient :  n ( cos  + i sin ) n = r (cos  + i sin ).
En utilisant la formule de Moivre, on a :
 n ( cos n  + i sin n ) = r (cos  + i sin ).
Ce qui équivaut à :
k2n r
n
n
k2
n
r
n
On a donc :
n
k2
n
i
nn
ker
n
k2
n
sini
n
k2
n
cosrz
.
En donnant à k les valeurs 0 , 1 , 2 , … (n-1), on obtient n valeurs.
Tout nombre complexe non nul Z = r (cos  + i sin ) admet exactement n racines
n-ièmes.
n
k2
n
i
nn
ker
n
k2
n
sini
n
k2
n
cosrz
k = 0, 1, … , (n-1)
Leurs images sont les sommets d’un polygone régulier à n côtés inscrit dans un
cercle de centre O, de rayon
nr
.
Exemple : Déterminer les racines quatrièmes de i.
1.2 - Racines n-ièmes de l’unité
 Si Z = 1, on a r = 1 et  = 0
Donc zn = 1 admet pour solutions :
n
k2
i
ke
n
k2
sini
n
k2
cosz 
avec k = 0 , 1, 2 …, (n-1)
 Propriétés des racines n-ièmes de l’unité

- La somme des racines n-ièmes de l’unité est nulle.
- Les images des racines n-ièmes de l’unité sont les sommets d’un polygone
régulier à n côtés inscrit dans le cercle trigonométrique.
- Si z est une racine n-ièmes de l’unité, son inverse l’est aussi.
- Le produit des deux racines n-ièmes de l’unité est une racine n-ièmes de l’unité.
 Exemple : racines cubiques de 1.
En faisant n = 3, on peut dire que z 3 = 1 admet trois solutions :
3
k2
sini
3
k2
coszk
à k = 0 correspond : z0 = 1
à k = 1 correspond :
23
i
2
1
3
2
sini
3
2
cosz1
à k = 2 correspond :
23
i
2
1
3
4
sini
3
4
cosz2
On convient de poser :
23
i
2
1
3
2
sini
3
2
cosj 
,
alors
22 j)
3
2
sini
3
2
cos(
3
4
sini
3
4
cos 
D’où : Le nombre 1 a trois racines cubiques : 1 , j , j2. Les images sont les
sommets d’un triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité.
Remarque : On vérifie que j 3 = 1 ; 1 + j + j2 = 0 ;
jj2
.
 Racines n-ièmes d’un complexe connaissant l’une des racines.
Considérons l’équation zn = Z ( n  IN ). Soit z0 une racine connue de cette
équation : z0n = Z.
On a zn = z0n , ce qui implique
1
z
zn
0
n
.
0
z
z
est donc une racine n-ièmes de l’unité. D’où les racines de zn = Z :
n
k2
i
0ezz 
On obtient les racines n-ièmes d’un nombre complexe non nul en multipliant l’une
d’elles par les racines n-ièmes de l’unité.
1.3 – Racines carrées d’un nombre complexe non nul
Première méthode : Reprenons les résultats de 7.1.1-, en faisant n = 2.
L’équation z 2 = r ( cos  + i sin ) admet donc les solutions :
k
2
sinik
2
cosrzk
k = 0 ; 1.
Les deux racines sont opposées. z1 = - z0.
Deuxième méthode : Soit à résoudre z 2 = a + i b où a et b sont des réels
donnés.
La méthode précédente est difficile à utiliser lorsque l’argument de ( a + i b) n’est
pas simple.

Posons z =  + i , on a z 2 = 2 - 2 + 2 i . D’où :
z 2 = a + i b 
b2 a
22
( i )
De plus z 2 = a + i b  | z | 2 = | a + i b | , c’est-à-dire
2222 ba 
( ii ).
En combinant les équations ( i) et ( i i ), on a :
z 2 = a + i b 
)3(b2 )2(a
)1(ba
22
2222
Les équations (1) et (2) donnent :
2baa 22
2
et
2baa 22
2
(4)
Si b  0,  et  sont déterminés par les relations (4) et sont de même signe si b >
0.
Méthode
Pour résoudre z 2 = a + i b , a et b donnés,
- on pose z =  + i .
- on écrit : z 2 = a + i b équivaut au système :
)3(b2 )2(a
)1(ba
22
2222
- on détermine et à partir des équations (1) et (2).
- les solutions  + i  qui conviennent sont celles qui vérifient l'équation (3)
Exemple : Déterminez les racines carrées de 3 + 4i.
2- RESOLUTION DANS C DE L’EQUATION DU SECOND DEGRE
Soit az2 + bz + c = 0, une équation du second degré ( a, b, c  C).
On peut l’écrire sous la forme :
0
a4 ac4b
a2
b
za 2
2
2
.
Posons b 2 – 4ac = ,   C. Il existe toujours deux complexes dont le carré est .
Soit  l’une des racines carrées de 
L’équation précédente s’écrit :
2
2
2
a4
a2
b
z
D’où les racines :
a2
b
z1
et
a2
b
z2
On peut donc énoncer :

Soit a, b, c des complexes tels que a  0. L’équation az2 + bz + c = 0 a pour
solutions :
a2
b
z1
et
a2
b
z2
où  désigne une racine carrée de  = b 2 – 4ac .
Si b 2 – 4 ac  0, alors z1  z2.
Si b 2 – 4 ac =0, alors
a2
b
zz 21 
; on dit que l’équation a une racine double.
Le complexe  = b 2 – 4ac est appelé discriminant de l’équation az2 + bz + c = 0.
Cas particulier : Equation du second degré à coefficients réels (a, b, c 
IR).
Le discriminant  = b 2 – 4ac est réel. S’il est positif, ses racines carrées sont
et , et s’il est négatif, ses racines carrées sont
i
et
i
.
Il en résulte :
Soit l’équation az2 + bz + c = 0 où a, b, c  IR avec a  0.
Si  = b 2 – 4ac > 0, l’équation admet deux solutions distinctes :
a2
b
z1
et
a2
b
z2
Si  = b 2 – 4ac = 0, elle admet une solution réelle
a2
b
zz 21 
.
Si  = b 2 – 4ac < 0, l’équation admet deux solutions complexes conjuguées :
a2ib
z1
et
a2 ib
z2
Exemples : Résoudre dans C
3 z2 –3 z + 1 = 0
z 2 – ( 4 + 5i ) z + 7 i – 1 = 0
3 - Applications des complexes à la géométrie
)e,e;O( 21
est un repère orthonormé direct.
C est le point d’affixe c ; A et B sont les points distincts de C, et d’affixes
respectives a et b.
Les vecteurs
CA
et
CB
sont non nuls, et ont pour affixes respectives a – c et b – c.
On a I a – c I = CA et I b – c I = CB, donc :
CA
CB
ca cb 
Soit 1 = arg ( a – c ) et 2 = arg ( b – c ). Géométriquement
)CA;e( 11
, de
même
)CB;e( 12
.
Les propriétés relatives aux arguments permettent d’écrire :

12
)ca(arg)cb(arg
ca cb
arg 
Or,
)CB;CA()CA;e()CB;e( 1112 
Par conséquent, dire que  e i  est une forme exponentielle du complexe
ca cb
(
avec  réel positif et  un réel ), revient à dire que
CA
CB
et
)CB;CA(
.
D’où le théorème :
)e,e;O( 21
est un repère orthonormé direct.
A et B sont les points distincts de C, et a, b, c sont les affixes respectives A, B, C.
 est un réel,  > 0 et  est un réel.
i
e
ca cb
si et seulement si
CA
CB
et
)CB;CA(
.
4 - APPLICATIONS A LA TRIGONOMETRIE
4.1- Calcul de cos nx et sin nx en fonction des puissances de cos x et sin x
La méthode consiste à appliquer la formule de Moivre et la formule du binôme de
Newton.
( cos x + i sin x ) n = cos nx + sin nx
 n
0p
pnpp
n
nbaC)ba(
Exemple :
On a : ( cos x + i sin x ) 2 = cos 2x + i sin 2x
et ( cos x + i sin x ) 2 = cos 2 x + 2 i cos x sin x – sin2 x
D’où, par identification :
cos 2x = cos 2 x – sin2 x
sin 2x = 2 cos x sin x
Exprimer sin 3x en fonction des puissances de sin x.
4 . 2 - Linéarisation des polynômes trigonométriques
Il s’agit d’exprimer cos n x , sin m x, ou cos n x , sin m x en la somme de sin x, sin
2x, …, sin nx, cos x, cos 2x, …, cos nx.
On utilise les formules d’Euler et la formule du binôme de Newton.
n
ixix
n2
ee
xcos 
et
m
ixix
mi2ee
xsin 
Exemple :