alg_mich_ok

complement SO chap 2 et al. / Yves R
1
un peu de mathématiques pour la configuration Michelson
Yves , version 1 du mer 19 jan 2000
1. notations generales
On travaille coordonnées réduites vectorielles ( mais pas de flèche de vecteur):
coordonnées dans les plans "pupille" :
 vectorielle, ou (,) ou en polaire ,. Coordonnées sans dimension, ramenée à 
signification : | | =
Error!
coordonnées dans les plans "image" :  vectorielle, ou (,) ou en polaire q,
signification | | angle de reperage sur le fond de ciel et angle de repérage dans le plan
image au foyer de recombinaison : =
Error!
avec x coordonnée réelle sans le plan
image et F focale de l'optique de recombinaison.
coordonnées dans pupille d'entrèe : 
coordonnée dans pupille de sortie : 
base dans pupille entrée : B, base dans pupille de sortie : b
amplitude sur pupille d'entrée : ()
amplitude atteignant l'optique de recombinaison : W()
amplitude au plan, image de recombinaison : Q()
On admet ( vu en exo) que la conjugaison d'une pupille restitue la pupille de depart au
facteur de grandissement près, exemple (x) g;-----> (
Error!
)
**************
Deux configurations à considérer :
Michelson avec optique de conjugaison pupillaire et Michelson Labeyrie
Bb
D
Bb
plan d'onde
da
LAR
z
zplan focal
commun
T1
T2 2
1
2
I()
+
1
2. configuration Michelson avec optique de conjugaison pupillaire

complement SO chap 2 et al. / Yves R
2
notations supplémentaires :
on note 1 et 2 les champs arrivant en 1 et  respectivement. La pupille d'entrée
est décrite par P() = (
Error!
) * [ (  - a) + ( + a) ] avec a =
Error!
Nous nous plaçons à nouveau dans le cas où les ouvertures sont assez petites pour avoir
1() constant sur l'ouverture et égal à 1 et similaire pour 2.
On note (d1+dx) et d2 les trajets pour aller à la lentille de recombinaison depuis
Telescope1 et Telescope2 respectivement, avec dx pour representer le trajet introduit
par la ligne de retard LAR.
On note A1 () et A2() les amplitudes complexes arrivant sur la lentille de
recombinaison, elles sont disposées selon une base "b".
Nous travaillons d'abord avec la
configuration Michelson "monolithique" ( la
poutre ou la structure indéformable, voir
dessin ci contre) dans laquelle chaque
ouverture est re imagée dans le plan de la
lentille de recombinaison.
Même trajet , même grandissement, dx =0
Bb
D
On aura donc pour chaque "bras" une configuration illustrée ci-dessous, avec g = -
Error!
:
L
F
L '
focale f
Nous prendrons la lentille de focale f , d'extension suffisament grande pour qu'elle
n'intervienne pas dans la conjugaison ( convolution avec un dirac au lieu d'un Jinc)
Dans ces conditions nous avons ( en laissant tomber des facteurs pas encore utiles ici)
les amplitudes complexes A() et A2() à l'entrée du recombinateur ( ici dx est nul):
A1() = 1.exp( i.2.d1).(
Error!
) et A2() = .exp( i.2.d2).(
Error!
)
)avec d1 = L1 + L'1 et similaire pour d2.
Vues du plan focal ces amplitudes sont celles qui attaquent le recombinateur en deux
ouvertures centrées respectivement en -
Error!
et en +
Error!
.
L'amplitude complexe à considérer par le corrélateur ( c'est un corrélateur optique, type
trous d'Young) sera donc :

complement SO chap 2 et al. / Yves R
3
W() = A1() * ( -
Error!
) + A2() * ( +
Error!
)
et dans le plan focal on observera Q() la TF de W()
Q() = A1;^ () .exp( - i..b.) + A2;^ () .exp( + i..b.)
soit aussi :
Q() = 1 . exp( i.2. d1). ;^ (g.D.) .exp( - i..b.) +
2 . exp( i.2 . d2). ;^ (g.D.) .exp( + i..b.)
Dont le module carré moyenné donne l'intensité :
I() = <| 1|2> .Ay(g.D.) + <| 2|2> .Ay(g.D.) +
+ 2.Re[ <1.2*> . Ay(g.D.).exp( i.2.(b. + d1 -d2))]
avec Ay pour la distribution d'Airy.
Avec l'hypothèse ( tout à fait ordinaire) <| 1|2>=<| 2|2>= I0, cela se réduit encore à :
I() = 2. I0 .Ay(g.D.) .[ 1 + V12. cos( 2.(b. + 12) + 12) ]
où l'on a posé V12 =
Error!
, 12 = d1 - d2 et où 12 est la phase du nombre complexe
<1.2*>.
Interpretation : nous retrouvons quelque chose de familier, un champs de franges
1. un fond dont l'enveloppe est la distribution d'Airy, dont le niveau d'intensité est
gouverné par l'intensité de la source ( module carré de l'amplitude complexe reçue)
2. une modulation d'intensité ( franges) dont l'amplitude est |<1.2*>| et dont la
frequence spatiale (dans le plan image de detection) est b (attention longueur/) .
Il est à remarquer que c'est bien le degré de cohérence pour la base B qui est obtenu et
que la base b, ne sert qu'à coder l'information ( c'est une porteuse, dont l'amplitude
contient l'information cherchée)
On trouve également un décalage de la figure de franges induit par 12 la différence de
trajet optique ( qui ici devrait valoir zero, mais il peut y avoir un petit déséquilibre,
demander donc à Michelson et à Pease). Il y a un autre décalage induit par la phase
objective 12 mais celle là c'est pas évident du tout de l'extraire quand on travaille à
deux télescopes au sol (avec plus de deux ce n'est pas évident non plus , mais les
difficultés sont différentes) .
3. configuration Michelson Labeyrie

complement SO chap 2 et al. / Yves R
4
Bb
plan d'onde
da
LAR
z
zplan focal
commun
T1
T2 2
1
2
I()
+
1
Il y a plusieurs modifications par rapport à la configuration précédente
l'amplitude complexe 1, doit rendre compte de la ddm astro : da
l'amplitude complexe 2 doit rendre compte de la ddm introduite par la LAR :dx
le grandissement sur chaque bras est a priori different sur chaque bras puisque les
trajets suivis par chaque onde n'ont pas la même longueur. On se tiendra prêt à
considérer ce cas, mais pour l'instant on dit qu'il peut être conservé par ingenierie
optique ( mais c'est pas trivial)
Dans la mesure où seules les phases sont modifiées ( et cela globalement pour chaque
onde) on aboutira à une expression très semblable à la précédente pour l'intensité :
I() = 2. I0 .Ay(g.D.) .[ 1 + V12. cos( 2.(b. + 12+(da - dx)) + 12) ]
ou plus simplement :
I() = 2. I0 .Ay(g.D.) .[ 1 + V12. cos( 2.(b. + instr) + 12) ]
ou encore :
I() = 2. O;^(0) . Ay(g.D.) .[ 1 + V12. cos( 2.(b. + instr) + 12) ]
ou encore :
I() = 2 . Ay(g.D.).[ O;^(0) + | O;^(B) | . cos( 2.(b. + instr) + 12) ]
Rappel : les longueurs dans ces expressions doivent être vues comme ( longueur / ) y
compris les differences de marche.
Remarque : la ddm instrumentale contient da et dx ( qu'il faut égaliser et qui dépendent
du temps).

complement SO chap 2 et al. / Yves R
5
Maintenant on peut jouer avec cette expression pour prendre en compte divers écarts à
la situation idéale.
Ecarts en ddm : équilibrage mal fait, instabilités instrumentales (déréglages,
vibrations,), instabilités dues à la turbulence ( piston)
Surface d'onde inclinée ( pas forcément pareil pour chaque télescope) à l'arrivée sur la
pupille d'entrèe ( dépointage, effet de tilt , dû à la turbulence).
Certains écarts sont déterministes d'autres sont aléatoires.
On peut aussi reprendre cette expression plus en amont et introduire
des grandissements différents ( g1 et g2)
des trnasmissions différentes, conduisant à < | 1|2 > diférent de < | 2|2 >
et bien d'autres choses encore ( décalage pupillaire sur l'axe, polarisation, dispersion
différentielle, mauvais calage de la base, .....)
Pour faire intervenir l'effet de speckle il nous faut prendre une amplitude incidente qui
ne soit plus réduite à un nombre global pour la pupille, mais une fonction (complexe)
de la coordonnée pupillaire . On n'a plus droit à 1 ou 2, il nous faut 1() et 2().
Dans l'expression de k() interviendra une fonction de phase notée k() avec k=1,2.
La fonction de phase pourra rendre compte des effets de piston et de tilt . Il est donc
interéssant de dériver une expression plus générale de I(), faisant intervenir ().
Allons-y pour le cas Michelson-Labeyrie.
On a de toutes façons :
W() = A1() * ( -
Error!
) + A2() * ( +
Error!
)
Ce qui va changer c'est ce que l'on met dans A1 et A2.
Que signifient A1 et A2 ?
Ce sont les images des amplitudes transmises par la pupille d'entrèe U1 et U2 avec :
U1() = 1(). P1() et U2() = 2(). P2()
Nous avons  et P qui sont des grandeurs complexes, elles ont module et phase.
Dans la phase de  peut être introduire tout ce qui écarte  de la perfection, et pour la
phase de P on peut y reporter les défauts qui se manifestent plus loin dans le trajet des
ondes ( on ramène les défauts à l'entrée, c'est très courant come procédé).
Exemples
un dépointage par un angle 0 conduira à une phase () = - i.2..0.
un supplémnet "d" de chemin optique dans l'un des bras de l'instrument peut se
traduire par un facteur exp( i.2.d) affectant la transmission de la pupille de ce bras.`
la suite plus tard.
On peut maintenant s'amuser à regarder ce qui se passe pour I() quand l'onde incidente
est basculée de l'angle  par rapport à l'ensemble de la pupille d'entrée .