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complement SO chap 2 et al. / Yves R 1 un peu de mathématiques pour la configuration Michelson Yves , version 1 du mer 19 jan 2000 1. notations generales On travaille coordonnées réduites vectorielles ( mais pas de flèche de vecteur): coordonnées dans les plans "pupille" : vectorielle, ou (,) ou en polaire ,. Coordonnées sans dimension, ramenée à signification : | | = Error! coordonnées dans les plans "image" : vectorielle, ou (,) ou en polaire q, signification | | angle de reperage sur le fond de ciel et angle de repérage dans le plan image au foyer de recombinaison : =Error!avec x coordonnée réelle sans le plan image et F focale de l'optique de recombinaison. coordonnées dans pupille d'entrèe : coordonnée dans pupille de sortie : base dans pupille entrée : B, base dans pupille de sortie : b amplitude sur pupille d'entrée : () amplitude atteignant l'optique de recombinaison : W() amplitude au plan, image de recombinaison : Q() On admet ( vu en exo) que la conjugaison d'une pupille restitue la pupille de depart au facteur de grandissement près, exemple (x) g;-----> (Error!) ************** Deux configurations à considérer : Michelson avec optique de conjugaison pupillaire et Michelson Labeyrie D z B + 1 T1 plan d'onde 1 da b B b z LAR T2 I() plan focal commun 2 2 2. configuration Michelson avec optique de conjugaison pupillaire complement SO chap 2 et al. / Yves R 2 notations supplémentaires : on note 1 et 2 les champs arrivant en 1 et respectivement. La pupille d'entrée est décrite par P() = (Error!) * [ ( - a) + ( + a) ] avec a = Error! Nous nous plaçons à nouveau dans le cas où les ouvertures sont assez petites pour avoir 1() constant sur l'ouverture et égal à 1 et similaire pour 2. On note (d1+dx) et d2 les trajets pour aller à la lentille de recombinaison depuis Telescope1 et Telescope2 respectivement, avec dx pour representer le trajet introduit par la ligne de retard LAR. On note A1 () et A2() les amplitudes complexes arrivant sur la lentille de recombinaison, elles sont disposées selon une base "b". Nous travaillons d'abord avec la configuration Michelson "monolithique" ( la D poutre ou la structure indéformable, voir dessin ci contre) dans laquelle chaque B ouverture est re imagée dans le plan de la lentille de recombinaison. Même trajet , même grandissement, dx =0 b On aura donc pour chaque "bras" une configuration illustrée ci-dessous, avec g = Error!: focale f L L' F Nous prendrons la lentille de focale f , d'extension suffisament grande pour qu'elle n'intervienne pas dans la conjugaison ( convolution avec un dirac au lieu d'un Jinc) Dans ces conditions nous avons ( en laissant tomber des facteurs pas encore utiles ici) les amplitudes complexes A() et A2() à l'entrée du recombinateur ( ici dx est nul): A1() = 1.exp( i.2.d1).(Error!) et A2() = .exp( i.2.d2).(Error!) )avec d1 = L1 + L'1 et similaire pour d2. Vues du plan focal ces amplitudes sont celles qui attaquent le recombinateur en deux ouvertures centrées respectivement en - Error!et en + Error!. L'amplitude complexe à considérer par le corrélateur ( c'est un corrélateur optique, type trous d'Young) sera donc : complement SO chap 2 et al. / Yves R 3 W() = A1() * ( - Error!) + A2() * ( + Error!) et dans le plan focal on observera Q() la TF de W() Q() = A ;^ () .exp( - i..b.) + A ;^ () .exp( + i..b.) 1 2 soit aussi : Q() = 1 . exp( i.2. d1). ;^ (g.D.) .exp( - i..b.) + . exp( i.2 . d ). ;^ (g.D.) .exp( + i..b.) 2 2 Dont le module carré moyenné donne l'intensité : I() = <| 1|2> .Ay(g.D.) + <| 2|2> .Ay(g.D.) + + 2.Re[ <1.2*> . Ay(g.D.).exp( i.2.(b. + d1 -d2))] avec Ay pour la distribution d'Airy. Avec l'hypothèse ( tout à fait ordinaire) <| 1|2>=<| 2|2>= I0, cela se réduit encore à : I() = 2. I0 .Ay(g.D.) .[ 1 + V12. cos( 2.(b. + 12) + 12) ] où l'on a posé V12 = Error!, 12 = d1 - d2 et où 12 est la phase du nombre complexe <1.2*>. Interpretation : nous retrouvons quelque chose de familier, un champs de franges 1. un fond dont l'enveloppe est la distribution d'Airy, dont le niveau d'intensité est gouverné par l'intensité de la source ( module carré de l'amplitude complexe reçue) 2. une modulation d'intensité ( franges) dont l'amplitude est |<1.2*>| et dont la frequence spatiale (dans le plan image de detection) est b (attention longueur/) . Il est à remarquer que c'est bien le degré de cohérence pour la base B qui est obtenu et que la base b, ne sert qu'à coder l'information ( c'est une porteuse, dont l'amplitude contient l'information cherchée) On trouve également un décalage de la figure de franges induit par 12 la différence de trajet optique ( qui ici devrait valoir zero, mais il peut y avoir un petit déséquilibre, demander donc à Michelson et à Pease). Il y a un autre décalage induit par la phase objective 12 mais celle là c'est pas évident du tout de l'extraire quand on travaille à deux télescopes au sol (avec plus de deux ce n'est pas évident non plus , mais les difficultés sont différentes) . 3. configuration Michelson Labeyrie complement SO chap 2 et al. / Yves R + 1 T1 plan d'onde z 4 1 da B b z LAR T2 I() plan focal commun 2 2 Il y a plusieurs modifications par rapport à la configuration précédente l'amplitude complexe 1, doit rendre compte de la ddm astro : da l'amplitude complexe 2 doit rendre compte de la ddm introduite par la LAR :dx le grandissement sur chaque bras est a priori different sur chaque bras puisque les trajets suivis par chaque onde n'ont pas la même longueur. On se tiendra prêt à considérer ce cas, mais pour l'instant on dit qu'il peut être conservé par ingenierie optique ( mais c'est pas trivial) Dans la mesure où seules les phases sont modifiées ( et cela globalement pour chaque onde) on aboutira à une expression très semblable à la précédente pour l'intensité : I() = 2. I0 .Ay(g.D.) .[ 1 + V12. cos( 2.(b. + 12+(da - dx)) + 12) ] ou plus simplement : I() = 2. I0 .Ay(g.D.) .[ 1 + V12. cos( 2.(b. + instr) + 12) ] ou encore : I() = 2. O;^(0) . Ay(g.D.) .[ 1 + V12. cos( 2.(b. + instr) + 12) ] ou encore : I() = 2 . Ay(g.D.).[ O;^(0) + | O;^(B) | . cos( 2.(b. + instr) + 12) ] Rappel : les longueurs dans ces expressions doivent être vues comme ( longueur / ) y compris les differences de marche. Remarque : la ddm instrumentale contient da et dx ( qu'il faut égaliser et qui dépendent du temps). complement SO chap 2 et al. / Yves R Maintenant on peut jouer avec cette expression pour prendre en compte divers écarts à la situation idéale. Ecarts en ddm : équilibrage mal fait, instabilités instrumentales (déréglages, vibrations,), instabilités dues à la turbulence ( piston) Surface d'onde inclinée ( pas forcément pareil pour chaque télescope) à l'arrivée sur la pupille d'entrèe ( dépointage, effet de tilt , dû à la turbulence). Certains écarts sont déterministes d'autres sont aléatoires. On peut aussi reprendre cette expression plus en amont et introduire des grandissements différents ( g1 et g2) des trnasmissions différentes, conduisant à < | 1|2 > diférent de < | 2|2 > et bien d'autres choses encore ( décalage pupillaire sur l'axe, polarisation, dispersion différentielle, mauvais calage de la base, .....) Pour faire intervenir l'effet de speckle il nous faut prendre une amplitude incidente qui ne soit plus réduite à un nombre global pour la pupille, mais une fonction (complexe) de la coordonnée pupillaire . On n'a plus droit à 1 ou 2, il nous faut 1() et 2(). Dans l'expression de k() interviendra une fonction de phase notée k() avec k=1,2. La fonction de phase pourra rendre compte des effets de piston et de tilt . Il est donc interéssant de dériver une expression plus générale de I(), faisant intervenir (). Allons-y pour le cas Michelson-Labeyrie. On a de toutes façons : W() = A1() * ( - Error!) + A2() * ( + Error!) Ce qui va changer c'est ce que l'on met dans A1 et A2. Que signifient A1 et A2 ? Ce sont les images des amplitudes transmises par la pupille d'entrèe U1 et U2 avec : U1() = 1(). P1() et U2() = 2(). P2() Nous avons et P qui sont des grandeurs complexes, elles ont module et phase. Dans la phase de peut être introduire tout ce qui écarte de la perfection, et pour la phase de P on peut y reporter les défauts qui se manifestent plus loin dans le trajet des ondes ( on ramène les défauts à l'entrée, c'est très courant come procédé). Exemples un dépointage par un angle 0 conduira à une phase () = - i.2..0. un supplémnet "d" de chemin optique dans l'un des bras de l'instrument peut se traduire par un facteur exp( i.2.d) affectant la transmission de la pupille de ce bras.` la suite plus tard. On peut maintenant s'amuser à regarder ce qui se passe pour I() quand l'onde incidente est basculée de l'angle par rapport à l'ensemble de la pupille d'entrée . 5 complement SO chap 2 et al. / Yves R 6 4. basculement global de l'onde incidente, questions de champs de vue Ici nous avons un champs incident au sol decrit par : () = |()|.exp( - i.2..). Nous devons considérer 1(et non plus seulement 1 et nous pouvons poser 1()= |(B/2)|.exp( - i...). ce qui donne : 1()= |(B/2)|.exp( + i...). exp( - i...). Il est commode d'écrire : 1() = 1. exp( - i...). L'amplitude transmise par la pupille est : U1() = 1(). (Error!) On ne fait pas figurer B/2 dans l'expression de la transmission de la pupille, car elle n'a aucun sens pour l'amplitude qui va être recombinée : le correlateur saura que l'amplitude qu'il voit vient de = B/2 uniquement que par le facteur exp( + i...) que transporte 1(). C'est tout . Le schema pertinent est encore celui utilisé plus haut : focale f L' L F Même chose pour 2(). On a donc à l'amplitude complexe arrivant dans le plan pupille de recombinaison : A1() = 1. exp( - i..Error!.). exp( i.2.d1).(Error!). avec 1 = |(B/2)|.exp( i..B.) et A2() = 2. exp( - i..Error!.).exp( i.2.d2).(Error!) avec 2 = |( - B/2)|.exp(- i..B.) Notons bien que le facteur exp( - i..Error!.) est présent dans les deux bras sans changement de signe : nous sommes dans le cas où le basculement est le même pour chaque pupille. Au passage nous notons qu'il y a amplification du basculement (si g est inférieur à 1, ce qui généralement le cas) Nous retrouvons la relation : W() = A1() * ( - Error!) + A2() * ( + Error!) ce qui va donner Q() = A;^ ().exp(- i..b.) + A;^ ().exp(i..b.) 1 2 Explicitons A1() ( similaire pour A2) : A1() = 1. exp( i.2.d1). [ (Error!). exp( - i..Error!.)] D'où : A;^ 1() = 1. exp( i.2.d1). [ ;^(D.g.) ) * ( + Error!)] ouf ! On peut simplifier : A;^ () = . exp( i.2.d ). ;^ [ D(g.+ )] 1 1 1 complement SO chap 2 et al. / Yves R 7 mais on explicite à nouveau : A;^ 1() = |(B/2)|.exp( i..B.). exp( i.2.d1). ;^ [ D.g.(+ )] et pour A2 on a : A;^ 2() = |( - B/2)|.exp(- i..B.). exp( i.2.d2). ;^ [ D.g.(+ )] Pour avoir I(,) on est conduit à exprimer : < | A;^ 1().exp( - i.2.b.)|2 > , pareil pour 2 et on doit exprimer aussi : 2.Re[ < A;^ 1(). A;^ 2()* >. exp(- i.2.b. )] Nous obtenons : < | A;^ 1()|2 > = < |(B/2)|2 >. | ;^ [ D.(g.+ )|2 et < A;^ 1().A;^ 2()* > = <(B/2).(-B/2)* >.exp( - i.2.(g.b - B. - )).| ;^ [ D.(g.+ )|2 Comme plus haut nous posons Ay(D.(g.+)) = | ;^ [ D.(g.+ )|2 et autorisons nous ( pour alléger) à poser < |(B/2)|2 > = < |( - B/2)|2 > = I0. On arrive à : I(,) = 2. Ay(D.(g.+)). ( I0+ |<(B/2).(-B/2)* >|. cos(2.(g.b - B. - ) + 12) ce qui s'écrit aussi : I(,) = 2. Ay(D.(g.+)). I0. [ 1 + V12. cos(2.(g.b. - B. - ) + 12)] Ouf !. Maintenant supposons un instant que =0 (trajets optiques bien équilibrés) et que la source est représentée par un dirac ( V12 = 1 et 12 = 0) Alors I(,) , qui est la réponse à un dirac décalé de sécrira : I(,) = 2. Ay(D.(g.+ )). I0. [ 1 + cos(2.(g.b.- B.))] La réponse impulsionnelle de l'interféromètre n'est plus invariante par translation. Conséquence : on ne pourra plus écrire I() = O() * R() !! On pourra seulement écrire I() = Error!, c'est pas une convolution ça c'est grave ! C'est la grosse différence entre Fizeau et Michelson Remarque : si on a g.b = B alors on trouve R(,) ÷ 1+ cos( 2.g.b.(-)) Cela doit nous faire réflechir. La suite plus tard !
