Chapitre 3. Oscillations Leçon 5 Analogie mécanique/électrique

Chapitre 3. Oscillations
Leçon 5 Analogie mécanique/électrique
ANALOGIES ENTRE OSCILLATEURS MECANIQUE ET ELECTRIQUE
I. Enregistrements de phénomènes oscillatoires
Un oscillateur mécanique est constitué d'un mobile autoporteur de masse M = 760 g,
maintenu sur une table horizontale par deux ressorts identiques de constante de raideur
k = 8,3 N.m-1 et une longueur au repos l0 (au repos, les deux ressorts sont étirés).
Un montage potentiométrique, relié à un ordinateur, permet d'enregistrer le déplacement du
centre d'inertie du mobile en fonction du temps. Le mobile est écarté de sa position d'équilibre
puis abandonné sans vitesse initiale ; il se déplace d'un mouvement rectiligne ;
l'enregistrement des différentes positions du centre d'inertie donne la courbe suivante :
Un oscillateur électrique est constitué par une bobine d'inductance L = 1,0 H, de résistance R
inconnue, et un condensateur de capacité C = 1,0 μF.
C
L,R
Un voltmètre, relié à un ordinateur, permet d'enregistrer la tension aux bornes du
condensateur en fonction du temps.
Le condensateur est préalablement chargé à l'aide d'une pile ; l'enregistrement de la tension à
ses bornes au cours de sa décharge donne la courbe suivante :
1. A partir des enregistrements, déterminer la pseudo-période T de chaque phénomène.
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2. L'amplitude des oscillations diminue dans les deux cas étudiés ; donner les raisons de
l'amortissement des oscillations dans les deux cas.
II. Etude théorique de l'oscillateur mécanique
Remarques :
– la position du centre d'inertie est repérée par son abscisse x , mesurée à partir de sa
position d'équilibre.
– les deux ressorts restent étirés au cours du mouvement
1. En négligeant les forces de frottement, réaliser l'inventaire des forces s'exerçant sur le
mobile et les représenter sur la figure ci-après.
Quelle est la loi quantitative de la mécanique qui permet d'en déduire l'équation différentielle
d2x
suivante : M 2 + 2 kx = 0 qui régit le mouvement du centre d'inertie du mobile ?
dt
2. La solution de cette équation différentielle est de la forme : x = A cos(ω0t + Φ) avec
ω0 = 2k
M
Calculer la pulsation ω0 ; en déduire la période propre T0. Comparer cette période à celle du
mouvement en I.1 ; conclure.
III. Analogies entre ces expériences en mécanique et en électricité
1. L'équation différentielle décrivant l'évolution de la charge q du condensateur est :
d 2q
L 2 + 1 q=0
dt
C
Quelle caractéristique du circuit a-t-on négligé pour établir cette équation ?
Donner, par analogie avec les questions II.1 et II.2, la solution générale de cette équation
différentielle et calculer la fréquence propre des oscillations.
Comparer cette fréquence propre à la fréquence que l'on peut calculer à partir des mesures
faites en I.1 ; conclure.
2. Lorsque l'on tient compte des frottements, l'équation différentielle régissant le mouvement
du centre d'inertie du mobile devient :
d2x
M 2   dx 2kx  0
dt
dt
Etablir, par analogie avec l'équation précédente, l'équation différentielle décrivant l'évolution
de la charge q du condensateur si l'on tient compte de la résistance de la bobine. La notion
d'analyse dimensionnelle permettra d'identifier l'équivalent électrique du terme λ.
3. Compléter le tableau ci-après, en précisant les unités de toutes les grandeurs rencontrées.
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Oscillateur mécanique
grandeur
symbole
(unité)
ou formule
position
x
(m)
Oscillateur électrique
grandeur
symbole
(unité)
ou formule
charge
q
du condensateur
(….)
vitesse
v
……
….
(….)
(….)
masse
….
……
….
(….)
(….)
constante de raideur
2k
inverse de la capacité
1
C
(N.m-1)
du condensateur
(F-1)
coefficient de frottement
λ
……
….
-1
fluide (kg.s )
(….)
pulsation propre
pulsation
propre
….
ω0 = 2 k
(….)
(….)
M
_________________________
I.1. Par lecture sur les enregistrements, on trouve pour les oscillations mécaniques :
T = 2,36 – 1
T = 1,4 s en tenant compte de la précision des mesures
0,020,075
et pour les oscillations électriques : T =
lecture faite sur 2 périodes
2
T = 6,2.10-3 s
2. L'amortissement des oscillations est dû :
- en mécanique, aux faibles frottements du mobile autoporteur sur la table horizontale
par l'intermédiaire du coussin d'air. Ces frottements entraînent une légère dissipation
d'énergie mécanique.
- En électricité, à l'existence de la résistance R de la bobine qui entraîne une dissipation
de l'énergie électrique par effet Joule.
II. 1.
A et B donnent les
positions du centre
d'inertie du mobile
supposé accroché
successivement à chacun
des deux ressorts non
déformés, AC et BC sont
les vecteurs allongements
des ressorts étirés.
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Inventaire des forces s'exerçant sur le mobile de centre d'inertie G :


- le poids P  Mg du mobile

- la réaction R de la table sur le mobile, normale à la table puisqu'il n'y a pas de
frottement.

- la tension du ressort A : FA  k(AC )  k(AO  OC)

- la tension du ressort B : FB  k(BC)  k(BO  OC)
   

En appliquant le théorème du centre d'inertie : M g  R  FA FB  Ma


 

Mg  R  k(AO  OC BO  OC)  Ma
AO  BO 0 et OC x i
d2x
d2x
Par projection sur l'axe : 0 + 0 – 2kx = M 2 ; M 2 + 2kx = 0
dt
dt
On trouve l'équation différentielle qui régit le mouvement du centre d'inertie du mobile.
2. Calcul de ω0 : ω0 =
2k
M
ω0 =
28,3
4,67
ω0 = 4,67 rad.s-1
T0 = 2
T0 = 1,35 s
T0 = 1,4 s
0
En tenant compte de la précision des mesures , période et pseudo période sont égales.
III.
d 2q
+ 1 q=0
dt 2
C
Dans l'équation différentielle n'apparaissent que L l'inductance de la bobine, et C la
capacité du condensateur. La caractéristique du circuit négligée est R la résistance de la
bobine.
Par analogie la solution générale de cette équation est : q = A cos(ω0t + Φ)
1
1
ω0 = 1 et la fréquence propre N0 =
N0 =
2 106
LC
2 LC
1 .
L
N0= 159 Hz soit N0 = 1,6.102 Hz
A partir des mesures sur la courbe, on a trouvé T0 = 6,2.10-3 s
N0 = 1 N0 = 161 Hz ; N0 = 1,6.102 Hz ; les 2 valeurs sont égales
T0
d2x
2. Par analogie avec M 2   dx 2kx  0 en électricité l'équation est :
dt
dt
d 2q
dq 1
+ '
+ q=0
2
dt C
dt
Analyse dimensionnelle de λ' : les différents termes de l'équation différentielle sont des
q
tensions ( est la tension aux bornes du condensateur)
C
dq
est une intensité ; λ'×I = U λ' a les dimensions d'une résistance
dt
L
L'équation devient : L
d 2q
dq 1
+R
+ q=0
2
dt C
dt
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Remarque : on retrouve cette équation à partir de la loi d'additivité des tensions :
uC =
q
C
L
uL = L di
dt
R
uR = Ri
q
uC + uL + uR = 0
i=
dq
dt
i
d 2q
q
dq
+L 2 +R
=0
dt
C
dt
ou : L
d 2q
dq
q
+R
+ =0 on retrouve bien λ' = R
2
dt
C
dt
3.Tableau des équivalences
Oscillateur mécanique
grandeur
symbole
(unité)
ou formule
position
x
(m)
vitesse
(m.s-1)
v
masse
(kg)
constante de raideur
(N.m-1)
m
Oscillateur électrique
grandeur
symbole
(unité)
ou formule
charge
q
du condensateur
(C)
intensité
dq
i=
(A)
dt
inductance
L
(H)
2k
inverse de la capacité
1
C
du condensateur
(F-1)
coefficient de frottement
λ
résistance
R
-1
fluide (kg.s )
(Ω)
pulsation propre
pulsation
propre
ω0 = 1
ω0 = 2 k
-1
(rad.s )
(rad.s-1)
M
LC
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