nombres parfaits - Colegio Francia

THÉORÈME FONDAMENTAL FICHE 11
Théorème (admis)
Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
n se décompose en un produit de facteurs premiers.
Cette décomposition est unique à l'ordre près des facteurs.
Plus précisément il existe une suite unique de nombres premiers :
k
ppp  
21
et une
suite unique d'entiers naturels non nuls :
k
aaa ;;; 21 
telles que :
k
a
k
aa pppn 
21 21
.
Exemple :
1973275816 22 
. Ici
4k
,
2
1p
,
1
1a
,
3
2p
,
2
1a
,
7
3p
,
2
3a
,
19
4p
,
1
4a
.
Soit n un entier naturel admettant la décomposition
k
a
k
aa pppn 
21 21
.
Les diviseurs positifs de n sont les entiers naturels de la forme :
k
b
k
bb ppp 
21 21
avec
11
0ab 
,
22
0ab 
, ...,
kk ab 0
.
On peut en déduire que le nombre de diviseurs positifs de n est :
)1()1)(1( 21  k aaa 
.
Ex 11.1 Déterminer la décomposition en facteurs premiers des entiers suivants :
80 ; 196 ; 220 ; 240 ; 400 ; 570 ; 729 ; 1500 ; 5040 ;
100
300
.
Ex 11.2 En utilisant la décomposition en facteurs premiers, établir la liste des diviseurs
positifs de : 76 ; 120 ; 243 ; 450 ; 820.
Ex 11.3 Montrer que
k
a
k
aa pppn 
21 21
est un carré parfait si et seulement si les
exposants
1
a
,
2
a
, ...,
k
a
sont tous pairs.
Ex 11.4 Dans un tome de l'annuaire téléphonique de New York, qui contient entre 100 et
1000 pages, sont inscrits 999 991 abonnés. Chaque page contient le même nombre d'abonnés.
Combien de pages y a-t-il dans ce tome ?
Ex 11.5 Quel est le nombre des diviseurs positifs des entiers suivants :
1000 ; 1515 ; 1850 ;
100
100
.
Ex 11.6 Remarquer que la somme des diviseurs de l'entier
k
a
k
aa pppn 
21 21
est obtenue
en développant l'expression :
)1()1)(1( 2
2
2
221
2
11 21 k
a
kkk
aa ppppppppp  
.
En déduire que la somme des diviseurs positifs de n est :
11 11 111
2
1
2
1
1
121
k
a
k
aa
p
p
p
p
p
pk
.
Vérifier cette formule en calculant la somme des diviseurs positifs de 2 600.

Ex 11.7 Quel est l'exposant du nombre 2 dans la décomposition en produit de facteurs
premiers de
!17
?
Quel est l'exposant du nombre 3 dans la décomposition en produit de facteurs premiers de
!19
?
Quel est l'exposant du nombre 5 dans la décomposition en produit de facteurs premiers de
!31
? En déduire par combien de zéros se termine le nombre
!31
.
Ex 11.8 Décomposer
!10
et
!20
en produit de facteurs premiers.
Ex 11.9 Décomposer 16 384 et 15 625 en produit de facteurs premiers.
Par combien de zéros se termine leur produit ?
Ex 11.10 Le dernier jour d'un certain mois de la première guerre mondiale, un obus éclate et
met au jour le squelette d'un capitaine. En multipliant l'âge du capitaine au moment de sa mort
par le quart du nombre d'années écoulées entre sa mort et la date d'éclatement de l'obus, par le
jour remarquable du mois d'éclatement de l'obus, par la longueur exprimée en pieds de la
pertuisane trouvée à côté du squelette, on trouve : 471 569.
Quel est l'âge du capitaine, et quelle est la date de la bataille ?
(La pertuisane est un sorte de hallebarde utilisée au XVe et XVIe siècles.)