Exercices de révision : Matrices , déterminants , système linéaires

EXAMEN DE MATHEMATIQUE
Nom :
Prénom :
Professeur : Patient Kigheri
Classe : 5ème Sciences
Date :
Nombre de compétences réussies :
Appréciation :
Compétences :
Technique de calcul :
Application (structuration ) :
Modélisation :
Démonstration :
Question 1
Calculer  m , le déterminan t . Donner le résultat sous la forme la plus simple
m 2  2m m - 1
1
m
2
1
m2  2
1
2m
Question 2
Déterminer , si elle existe , la matrice inverse de :
 3 11

A  - 2 6
 -1 2

5

3
1 
Question 3
Résoudre et discuter les systèmes suivants :
 x  (m  1) y  (2m - 3) z  1

mx  2(m - 1)y  2 z  2
(m  1) x  3(m - 1)y  (m 2 - 1)z  3

Question 4
On donne l’équation
X 2 - 4X  3.I  0(e)
Avec X : Matrice inconnue 2x2
1
I : est la matrice unité 
0
0
0 : est la matrice nulle 
0
a

c
b

d 
0

1
0

0 
a) Vérifier que la matrice M ci - dessous est la solution de (e)
0
1

M  
3 
2
b) Calculer la matrice inverse de M , appelée M - 1
c) Résoudre l' équation (e)
Géométrie dans l’espace
Question 1
Démontrez les théorèmes suivants en spécifiant l’hypothèse , la thèse et le dessin :
a) Si une droite D est parallèle à une droite A , incluse dans un plan β , alors la droite D est
parallèle au plan β.
b) Si Deux droites A et B sont parallèles , alors tout plan β , qui coupe l’une , coupe l’autre
c) Si deux plans α et β sont parallèles , alors tout plan π , qui coupe l’un , coupe l’autre et les deux
droite d’intersection sont parallèles
Question 2
On donne le cube MNPQRSTU et le plan passant par A, B et C . Recherche l’intersection de ce plan
avec le cube , en justifiant les différentes étapes .
Question 3
On donne un plan P , un quadrilatère ABCD de ce plan , une droite d du plan P et un point S en
dehors de P . sur SD , on marque un point K . Déterminer les intersections des droites SB , SC , SA
avec le plan ( d , K) . Justifie les différentes étapes .
Les suites
Question 1
La somme de trois nombres en progression géométrique est 21 et la somme de leurs carrés est 189 .
Trouver ces nombres .
Question 2
a) Démontrez la formule de la somme d’une progression géométrique .
b) Démontrez la formule de la moyenne arithmétique .
Question 3
Soit le nombre 0.9999999...9... dont la partie décimale comporte une suite infinie de 9
notre propos est de se demander s' il existe une écriture plus simple de ce nombre .
A cet effet , on considère les suites u n telle que :
u 1  0.9, u 2  0.09 , u 3  0.009 ....
s n telle que :
s1  0.9 , s 2  0.9  0.09 , s 3  0.9  0.09  0.009 ...
a) Ecris le terme général de la suite (u n )
b)Cette suite converge - t - elle?
c)Ecris le terme général de la suite (s n )
d) La suite (s n ) converge - t - elle?
Question 4
 n2 1 
 (n  N o )
On donne la suite u n   2
 2n  n 
a) Calculer la limite de la suite u n pour n tendant vers l' infini
b) Exprimer que cette suite est convergent e à partir de la définition d' une
suite convergent e et calculer N pour   0.001