Le vecteur nœud

1
SPLINE SECOURS 1
Le vecteur nœud .................................................................................................... 2
0niveau du splines fonctions Les
........................................................................ 3
Les niveaux de fonctions ....................................................................................... 4
Schéma du passage d’un niveau au niveau suivant ............................................... 5

2
Le vecteur nœud
.
n
t,........,
1
t,
0
tT 
Propriété 1
.0
0
t
Propriété 2
1
i
t
1i
t
ou i
t
1i
t
:1n,...,2,1ipour
i
ti:t
Vocabulaire
La dimension du vecteur est n+1(on compte n+1 entiers de 0 à n).
Les nombres de la suite qui définit le vecteur sont "les nœuds du vecteur".
Un nœud d'un vecteur T est dit simple s'il n'apparaît qu'une seule fois dans la
suite de nombres
n
t,........,
1
t,
0
tT 
Un nœud d'un vecteur T est dit multiple s'il apparaît plusieurs fois dans la suite
de nombres
n
t,........,
1
t,
0
tT 
.
L'ordre d'un nœud multiple est le nombre de fois où il apparaît dans la suite T.
On peut dire aussi que l'ordre d'un nœud simple est 1.
Exemple
)3,3,3,2,1,0,0,0(T 
0
t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
t
6
t
7
t
0
0
0
1
2
3
3
3
Ce vecteur nœud est de dimension 8
Les nœuds de ce vecteur sont les entiers 0, 1, 2, 3.
Le nœud 0 est multiple d'ordre 3, 1 et 2 sont simples, 3 est multiple d'ordre 3.
Exercice
a) Ecrire le vecteur nœud de dimension 8 dont chaque nœud est simple.
b) Ecrire le vecteur nœud de dimension 8 dont les nœuds sont 0, 1, 2, 3 tels que:
Valeur du noeud
0
1
2
3
ordre
2
3
1
3
.)3,3,3,2,1,0,0,0(T)c 
Etablir un inventaire des ordres de chacun des nœuds de
ce vecteur.
d) quelle est la somme des ordres des nœuds d'un vecteur de dimension n+1?
Réponses a) (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) b) (0, 0, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3)
c) 0: ordre 3. 1:simple. 2:ordre 3. d) La somme est n+1.

3
0niveau du splines fonctions Les
On considère un vecteur noeud
.
n
t,........,
1
t,
0
tT 
On définit pour chaque valeur de l'indice i tel que
1ni0 
la fonction
 t
1i
tou
i
ttsi(onsin0 1i
tt
i
tsi1
)t(
0,i
Nt:
0,i
N
Attention
.
1i
t
i
tsi
1i
tt
i
tpasexiste'nIl.,tpour0)t(
0,i
N
:tréeltoutpourzérovaut)t(
0,i
Nt:
0,i
Nfonctionla
1i
t
i
tSi
On dit que cette fonction est identiquement nulle.
On obtient n fonctions
0,1n
N,
0,2n
N,.......,
0,1
N,
0,0
N
T. au vecteur associées0niveau du splines fonctions lessont Ce
 t
1
tou0tsi(ailleurs0
0
0
tcar
1
tt0si1
)t(
0,0
Nt:
0,0
N
 t
2
tou
1
ttsi(ailleurs0 2
tt
1
tsi1
)t(
0,1
Nt:
0,1
N
…………………………………………………………………….
)t
n
tou
1n
ttsi(ailleurs0 n
tt
1n
tsi1
)t(
0,1n
Nt:
0,1n
N
Exercice
)3,3,3,2,1,0,0,0(T 
nulle.ent identiquem pasest n' ci-celle lorsque
0,i
Nnt représenta courbe la Constuire
nulles.entidentiquemsont
qui cellessont quelles
0,6
N
0,5
N
0,4
N
0,3
N
0,2
N
0,1
N,
0,0
NfonctionslesParmi
Demander si nécessaire à
france.comeresmath@i

4
Les niveaux de fonctions
Les fonctions du niveau m=0 sont :
,.......
0,6
N,
0,5
N
0,4
N,
0,3
N
0,2
N,
0,1
N,
0,0
N
Voici l'algorithme de passage du niveau m–1 au niveau m:
nul".est ur dénominate"son si 0par remplacéeétant fraction La
1m,1i
N
1i
t
1mi
tt
1mi
t
1m,i
N
i
t
mi
ti
tt
)t(
m,i
N
Remarque
Le vecteur nœud est
.
n
t,........,
1
t,
0
tT 
La dimension du vecteur est n+1.
Il existe n
splines fonctions
de niveau 0
0,1n
N,....,
0,1
N,
0,0
N: 
.
Il existe n–1
splines fonctions
de niveau 1
1,2n
N,....,
1,1
N,
1,0
N: 
.
Il existe n–2
splines fonctions
de niveau 2
1,3n
N,....,
1,1
N,
1,0
N: 
.
Il existe n–m
splines fonctions
de niveau m
m,1mn
N,....,
m,1
N,
m,0
N: 
.
Exercice
Le vecteur nœud est (0, 1, 2, 3, 4).
Combien y a-t-il de
splines fonctions
du niveau 0? Du niveau 1? Du niveau 2?
Du niveau 3?
Donner les expressions des
splines fonctions
du niveau 2 en fonction
des
splines fonctions
du niveau 1.
Demander si nécessaire à
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5
Schéma du passage d’un niveau au niveau suivant
Vecteur nœud
.
6
t,........,
1
t,
0
tT 
nul".est ur dénominate"son si 0par remplacéeétant fraction La
1m,1i
N
1i
t
1mi
tt
1mi
t
1m,i
N
i
t
mi
ti
tt
)t(
m,i
N
Dans la pratique on n’utilisera que les fonctions des niveaux 0, 1, ou 2.
Exercice Dessiner l’arbre pour le vecteur nœud
.
4
t,..,
1
t,
0
tT 
Haut du document
50
N
40
N
30
N
20
N
10
N
00
N
41
N
31
N
21
N
11
N
01
N
32
N
22
N
12
N
02
N
23
N
13
N
03
N
14
N
04
N
05
N