Le vecteur nœud

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SPLINE SECOURS 1
Le vecteur nœud .................................................................................................... 2
Les fonctions splines du niveau 0 ........................................................................ 3
Les niveaux de fonctions ....................................................................................... 4
Schéma du passage d’un niveau au niveau suivant ............................................... 5
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T  t 0 , t1 ,........,t n .
Le vecteur nœud
Propriété 1
t 0  0.
Propriété 2
t i 1  t i

t : i  t i pour i  1,2,...,n  1 :  ou
t
 i 1  t i 1
Vocabulaire
La dimension du vecteur est n+1(on compte n+1 entiers de 0 à n).
Les nombres de la suite qui définit le vecteur sont "les nœuds du vecteur".
Un nœud d'un vecteur T est dit simple s'il n'apparaît qu'une seule fois dans la
suite de nombres T  t 0 , t1 ,........,t n 
Un nœud d'un vecteur T est dit multiple s'il apparaît plusieurs fois dans la suite
de nombres T  t 0 , t1 ,........,t n  .
L'ordre d'un nœud multiple est le nombre de fois où il apparaît dans la suite T.
On peut dire aussi que l'ordre d'un nœud simple est 1.
Exemple
T  (0,0,0,1,2,3,3,3)
t 0 t1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7
0 0 0 1 2 3 3 3
Ce vecteur nœud est de dimension 8
Les nœuds de ce vecteur sont les entiers 0, 1, 2, 3.
Le nœud 0 est multiple d'ordre 3, 1 et 2 sont simples, 3 est multiple d'ordre 3.
Exercice
a) Ecrire le vecteur nœud de dimension 8 dont chaque nœud est simple.
b) Ecrire le vecteur nœud de dimension 8 dont les nœuds sont 0, 1, 2, 3 tels que:
Valeur du noeud 0 1 2 3
ordre
2 3 1 3
c) T  (0, 0, 0,1, 2, 3, 3, 3) . Etablir un inventaire des ordres de chacun des nœuds de
ce vecteur.
d) quelle est la somme des ordres des nœuds d'un vecteur de dimension n+1?
Réponses a) (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) b) (0, 0, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3)
c) 0: ordre 3. 1:simple. 2:ordre 3. d) La somme est n+1.
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Les fonctions splines du niveau 0
On considère un vecteur noeud T  t 0 , t1 ,........,t n .
On définit pour chaque valeur de l'indice i tel que 0  i  n  1 la fonction
1 si t i  t  t i 1
N i,0 : t  N i,0 ( t )  
0 sin on (si t  t i ou t i 1  t
Attention
Si t i  t i 1 la fonction Ni,0 : t  Ni,0 ( t ) vaut zéro pour tout réel t :
Ni,0 ( t )  0 pour t   ,  . Il n ' existe pas t i  t  t i 1 si t i  t i 1.
On dit que cette fonction est identiquement nulle.
On obtient n fonctions
N 0,0 , N1,0 ,.......,N n  2,0 , N n 1,0
Ce sont les fonctions splines du niveau 0 associées au vecteur T.
1 si 0  t  t1 car t 0  0
N 0,0 : t  N 0,0 ( t )  
0 ailleurs (si t  0 ou t1  t
1 si t1  t  t 2
N1,0 : t  N1,0 ( t )  
0 ailleurs (si t  t1 ou t 2  t
…………………………………………………………………….
1 si t n 1  t  t n
N n 1,0 : t  N n 1,0 ( t )  
0 ailleurs (si t  t n 1 ou t n  t )
Exercice T  (0,0,0,1,2,3,3,3)
Parmi les fonctions N 0,0 , N1,0 N 2,0 N3,0 N 4,0 N5,0 N 6,0 quelles sont celles qui
sont identiquem ent nulles.
Constuire la courbe représentant Ni,0 lorsque celle - ci n' est pas identiquem ent nulle.
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Les niveaux de fonctions
Les fonctions du niveau m=0 sont :
N0,0 , N1,0 , N 2,0 N3,0 , N 4,0 N5,0 , N6,0 ,.......
Voici l'algorithme de passage du niveau m–1 au niveau m:
t  ti
t
t
Ni, m 1  i  m 1
Ni 1, m 1
tim  ti
t i  m 1 t i 1
La fraction étant remplacée par 0 si son "dénominate ur est nul".
Remarque
Le vecteur nœud est T  t 0 , t1 ,........,t n .
La dimension du vecteur est n+1.
Il existe n fonctions splines de niveau 0 : N 0,0 , N1,0 ,...., N n 1,0 .
Il existe n–1 fonctions splines de niveau 1 : N 0,1, N1,1,...., N n  2,1 .
Il existe n–2 fonctions splines de niveau 2 : N0,1, N1,1,...., N n 3,1 .
Ni, m ( t ) 
Il existe n–m fonctions splines de niveau m : N 0, m , N1, m ,...., N n  m 1, m .
Exercice
Le vecteur nœud est (0, 1, 2, 3, 4).
Combien y a-t-il de fonctions splines du niveau 0? Du niveau 1? Du niveau 2?
Du niveau 3?
Donner les expressions des fonctions splines du niveau 2 en fonction
des fonctions splines du niveau 1.
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Schéma du passage d’un niveau au niveau suivant
Vecteur nœud T  t 0 , t1 ,........,t 6 .
t  ti
t
t
Ni, m ( t ) 
Ni, m 1  i  m 1
Ni 1, m 1
tim  ti
t i  m 1 t i 1
La fraction étant remplacée par 0 si son "dénominate ur est nul".
N 00
N 01
N10
N 20
N11
N 21
N 02
N12
N 22
N 03
N13
N 23
N 04
N 30
N 31
N 40
N 50
N 41
N 32
N14
N 05
Dans la pratique on n’utilisera que les fonctions des niveaux 0, 1, ou 2.
Exercice Dessiner l’arbre pour le vecteur nœud T  t 0 , t1 ,.., t 4 .
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