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VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES
1) Le nombre de pannes journalières d’un nouveau système d’ordinateurs est une variable
aléatoire dont la loi de probabilité est :
X
P(X = x)
0
0,4
1
0,3
2
0,1
3
0,1
4
0,05
5
0,05
i) Donner la fonction de répartition
ii) Calculer l’espérance et la variance.
2) On lance deux dés identiques et on lit la somme S des faces supérieures.
Si S  5, alors on perd 10 €; si 6  S  9, alors on gagne 4 € et si 10  S  12, on gagne a €.
G est la variable aléatoire, qui à une issue associe le gain algébrique correspondant.
i) Déterminer la loi de probabilité de G.
ii) Quelle est doit être la valeur de a pour que le jeu soit « équitable »?.
3) On joue à pile ou face avec deux pièces. Soit X le nombre de « pile » obtenu.
i) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
ii) Calculer l’espérance mathématique de X et sa variance.
4) Dans une entreprise de commercialisation de matériel informatique, un représentant a
constaté que, lorsqu’il prend contact avec 10 clients éventuels, la probabilité de ses ventes
d’ordinateurs obéit à la loi suivante:
0
Nombre x
des ventes
P(X = )
0,01
1
2
3
4
5
6
7
0,03
0,14
0,20
0,25
0,18
0,10
0,04
8
9
10
0,03 0,01 0,01
i) Calculer l’espérance du nombre de ventes et la variance de cette distribution.
ii) Quelle est la probabilité que le représentant vende moins de 4 ordinateurs? plus de 8
ordinateurs ? entre 3 et 5 ordinateurs ?
iii) En supposant que le représentant gagne 50 € de commission par vente conclue, quelle est
son espérance de gain?
5) Soit a un nombre entier positif et X une variable aléatoire discrète à valeurs dans {1, 2, ..., 5}
telle que :
P(X = k) = (k - a)2 /6a.
i) Pour quelle(s) valeur(s) de a X suit-elle bien une loi de probabilité ?
ii) Calculer l’espérance et la variance de X.
6) Une loterie est composée de 1000 billets. L’un d’entre eux gagne le gros lot qui est de 500 €.
Deux autres billets gagnent 100 € et cinquante autres billets 10 €. Quel doit être le prix du billet
pour que le jeu soit équitable?
7) On joue avec un dé pipé dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Le jeu consiste à lancer le
dé et à lire le nombre X figurant sur la face supérieure. Si X  2, alors on perd 462 €; si
3  X  4, alors on gagne 33 € et si 5  X  6, alors on gagne a €.
On suppose que la probabilité du résultat obtenu X quand on jette le dé est proportionnelle au
résultat.
i) Donner la probabilité de chaque résultat possible.
ii) G est la variable aléatoire, qui à une issue associe le gain algébrique correspondant.
Déterminer la loi de probabilité de G.
iii) Quelle est doit être la valeur de a pour que le jeu soit « équitable »?.
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8) Un fournisseur de matériaux livre ses clients par nombre entier de tonnes. Il estime que la
demande en tonnes d’un matériau donné est une variable aléatoire X de loi :
K
P(X = k)
0
0,05
1
0,25
2
0,35
3
0,15
4
0,10
5
0,05
6
0,05
A) Calculer l'espérance de la demande X et l’écart-type de X
B) Calculer la probabilité pour que la demande soit :
i) inférieure ou égale à 3 tonnes
ii) comprise entre 2 et 4 tonnes (valeurs incluses)
iii) strictement supérieure à 2 tonnes
C) A quelle quantité k de matériaux correspond P(X  k) = 0,95 ?
D) Le stock du fournisseur est de 3 tonnes. Il livre son client selon la demande de celui-ci ou en
lui fournissant la totalité de son stock (si la demande du client excède le stock). Quelle est la loi
de la variable aléatoire représentant le nombre de tonnes vendues? Calculer son espérance et
sa variance.
9) Une variable aléatoire X discrète quelconque a pour espérance 3 et pour écart-type 2.
i)
ii)
iii)
iv)
Peut-on trouver a (a  1) tel que P[ |X - 3|  7 ] < a
Peut-on trouver b (b  1) tel que P[ |X - 3| < 5 ]  b
Quelle est la plus petite valeur c telle que P[ |X - 3|  c ] < 0,01.
La loi de la variable aléatoire X peut-elle être une loi binomiale de paramètres à
déterminer ? une loi de Poisson ?
10) Un restaurant possède 50 places. La probabilité pour qu’une personne ayant réservé ne
vienne pas est de 20%. Le patron a pris 52 réservations. Quelle est la probabilité pour qu’il se
trouve dans une situation embarrassante ?
11) Un réservoir d’eau de 2000 litres contient des bactéries avec une moyenne de 2 bactéries
par litre. On admet qu’il est dangereux d’avaler au moins 8 bactéries. Un voyageur assoiffé boit
un litre d’eau de ce réservoir. Quelle est la probabilité pour que son geste lui soit fatal ?
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