Exercices 1

Chapitre 4
Exercices récapitulatifs
Problème 12c page 157
Énoncé du problème et résolution :
Soit f(x) = 2x3 + x2 – 15x.
c) Déterminer approximativement les coordonnées des points de la courbe de f où la tangente à
cette courbe est parallèle à l’axe des x. Vérifier la pertinence du résultat à l’aide d’un logiciel
approprié.
Puisqu’on cherche les coordonnées des points de la courbe de f pour lesquels la droite tangente est
horizontale, on doit d’abord connaître les valeurs de x qui font en sorte que la dérivée de la
fonction f s’annule.
Voici un bloc d’instructions qui permet d’effectuer cette tâche.
Remarques concernant ce bloc d’instructions :
On assigne au nom f, la règle de correspondance de la fonction étudiée.
Une attention particulière doit être apportée aux opérations de multiplication et
d’exponentiation. Il est possible de consulter, entre autres, la solution du problème 6 h) du
test récapitulatif du chapitre 3 (page 119) pour avoir plus de détails sur les commandes
MAPLE à utiliser.
La commande « diff(Expression, NomDeLaVariable) » permet de calculer la dérivée
d’une fonction dont la règle de correspondance est Expression et pour laquelle la variable
indépendante est NomDeLaVariable.
De plus, la règle de correspondance de la dérivée de la fonction f a été assignée au nom
fprime.
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Calcul Différentiel, 5e édition
La commande « solve(Equation) » permet de résoudre l’équation donnée en argument.
Ainsi, cette ligne d’instructions permet de résoudre l’équation f ’(x) = 0.
Les valeurs données par MAPLE sont exprimées en valeurs exactes présentant un radical.
Pour avoir une idée de l’ordre de grandeur de ces valeurs, on peut évidemment réfléchir et
se dire que 91 vaut approximativement 10. De cette façon, les abscisses des points de
tangente horizontale sont près de 3/2 et de –11/6. Pour avoir les valeurs exactes, il est
possible d’utiliser la commande « evalf(Expression, n) » qui demande à MAPLE de
présenter Expression à l’aide d’une virgule flottante en soumettant une exactitude de n
chiffres significatifs. Si aucune valeur de n n’est spécifiée, MAPLE donne une
approximation avec 10 chiffres significatifs. En modifiant le bloc d’instructions précédent
de façon à ajouter la commande qui vient d’être décrite, on obtient :
Pour vérifier la pertinence des résultats obtenus, on peut utiliser la commande
« student[showtangent](NomDeLaFonction, NomDeLaVariable =
AbscisseDuPointDeTangente) » qui a déjà été présentée lors de la résolution du problème 6 e) des
problèmes de synthèse du chapitre 3 (page 117). Cette commande permet de représenter
graphiquement, dans un même plan cartésien, une fonction ainsi que la droite tangente à sa courbe
en une abscisse donnée.
Pour éviter d’avoir à écrire les 10 chiffres significatifs des solutions irrationnelles obtenues par le
bloc d’instructions précédent, il peut être intéressant d’assigner ces dernières au nom Solution.
Toutefois, l’équation possède deux solutions. Ainsi, pour pouvoir les utiliser une à la fois, il faut
les placer à l’intérieur d’une liste. En utilisant les remarques qui viennent d’être faites, on peut
modifier le bloc d’instructions précédent de la façon suivante :
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Remarques concernant ce bloc d’instructions :
Ce sont les symboles « [ » et « ] » qui indiquent à MAPLE qu’on désire travailler avec
une structure de liste. C’est la raison pour laquelle evalf(solve(fprime=0)), qui
représente les valeurs des abscisses des points de tangente horizontale, a été encadré de ces
crochets.
Le problème demandait de déterminer les coordonnées des points de tangente horizontale. On n’a
trouvé que les abscisses de ces points. Le bloc d’instructions suivant permet d’obtenir les
coordonnées des deux points.
Remarques concernant ce bloc d’instructions :
« NomDeLaListe[ÉlémentVoulu] » est la syntaxe demandée par MAPLE pour isoler un
élément d’une liste. Ainsi, cette ligne d’instructions permet d’assigner au nom x1, la valeur
du premier élément de la liste nommée Solution.
La commande « eval(Expression, NomDeLaVariable =ValeurDésirée) » permet
d’évaluer une expression en une valeur donnée. Ainsi, cette ligne d’instructions permet
d’assigner au nom y1, l’image de l’abscisse x1 par la fonction f. Les coordonnées du
premier point de tangente horizontale sont donc, avec une précision de 10 chiffres
significatifs, (1,423232002 ; -13,55712358).
Les assignations aux noms x1, x2, y1 et y2 permettront de ne pas avoir à écrire les
irrationnels qu’ils représentent.
Pour s’assurer que les résultats trouvés sont pertinents, on peut utiliser la commande
« student[showtangent](NomDeLaFonction, NomDeLaVariable =
AbscisseDuPointDeTangente) » qui a déjà été présentée lors de la résolution du problème 6 e) des
problèmes de synthèse du chapitre 3 (page 117). Cette commande permet de représenter
graphiquement, dans un même plan cartésien, une fonction ainsi que la droite tangente à sa courbe
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en une abscisse donnée. Le bloc d’instructions suivant permet de représenter la courbe de la
fonction f ainsi que sa droite tangente au point (1,423232002 ; -13,55712358).
Première piste d’exploration :
Utiliser le bloc d’instructions précédent pour s’assurer que la tangente au point (x2, y2), c’est-àdire (-1,7565655336 ; 18,59416062), est bien horizontale.
Deuxième piste d’exploration :
La partie a) du problème traité est la suivante : Calculer la pente de chaque tangente à la courbe de
f, aux points où la courbe rencontre l’axe des x. MAPLE peut servir à résoudre ce problème en
utilisant l’ensemble des remarques qui viennent d’être présentées. En effet, il faut d’abord
déterminer les points d’intersection de la courbe de f avec l’axe horizontal. Avec la représentation
graphique obtenue précédemment, on sait que la courbe de f croise l’axe des x en trois endroits.
Puisque l’équation possède trois solutions et qu’il faudra les utiliser une à la fois, il est intéressant
de travailler avec une structure de liste. Il suffit ensuite d’évaluer f ’(x) en chacune de ces valeurs.
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