Soit f(x) = (x – 1) x (x + 1)

Chapitre 4
Problèmes de synthèse
Problème 5 page 158
Énoncé du problème et résolution :
1-x
.
4
Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe de f et de la droite D.
Déterminer si la droite D est tangente à la courbe de f en un des points d’intersection obtenus
en a).
Déterminer sur la courbe de f un point C(c,f(c)) où la tangente à la courbe en ce point est
parallèle à la droite D et déterminer l’équation de cette tangente.
Déterminer la valeur de x pour laquelle f ’(x) est minimale et donner les coordonnées du point
M de f où f ’(x) est minimale.
Soit f(x) = (x – 1) x (x + 1) et la droite D définie par y =
a)
b)
c)
d)
a) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe de f et de la droite D.
Voici un bloc d’instructions qui permet d’effectuer cette tâche.
Remarques concernant ce bloc d’instructions :
On assigne respectivement aux noms f et Dr, les règles de correspondance de la fonction et
de la droite. On ne peut donner le nom D à la droite car cette lettre est protégée par
MAPLE.
La commande « solve(Equation ) » permet de résoudre l’équation donnée en argument.
De cette façon, cette ligne d’instructions donne les solutions de l’équation
1-x
(x – 1) x (x + 1) =
.
4
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La fonction et la droite se croisent lorsque x = -1/2 et x = 1. L’équation qui vient d’être
résolue possède ainsi deux solutions. Pour déterminer les coordonnées des points
d’intersection, on doit trouver l’image de ces deux abscisses par la fo nction f. Tout comme
dans la résolution du problème 12 c) des exercices récapitulatifs du chapitre 4 (page 157),
on doit placer les deux solutions dans une structure de liste pour permettre d’isoler chacune
d’elles. Ce sont les symboles « [ » et « ] » qui indiquent à MAPLE qu’on désire travailler
avec une telle structure.
Le problème demandait de déterminer les coordonnées des points d’intersection. Or, on n’a trouvé
que les abscisses de ces points. Le bloc d’instructions suivant permet d’obtenir les coordonnées
des deux points.
Remarques concernant ce bloc d’instructions :
« NomDeLaListe[ÉlémentVoulu] » est la syntaxe demandée par MAPLE pour isoler un
élément d’une liste. Ainsi, cette ligne d’instructions permet d’assigner au nom x1, la valeur
du premier élément de la liste nommée Intersection.
La commande « eval(Expression, NomDeLaVariable =ValeurDésirée) » permet
d’évaluer une expression en une valeur donnée. Ainsi, cette ligne d’instructions permet
d’assigner au nom y1, l’image de l’abscisse x1 par la fonction f. Les coordonnées du
premier point d’intersection sont donc (1, 0), tandis que celles du deuxième point sont
(-1/2, 3/8).
b) Déterminer si la droite D est tangente à la courbe de f en un des points d’intersection obtenus
en a).
La droite D, qu’on a nommée Dr par assignation, possède une pente de valeur –1/4. Pour
déterminer si la droite est tangente en un des points (1, 0) et (-1/2, 3/8), il suffit d’évaluer la pente
de la droite tangente à la courbe de f en chacun de ces points. Le bloc d’instructions suivant permet
d’effectuer cette tâche.
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Remarques concernant ce bloc d’instructions :
La commande « diff(Expression, NomDeLaVariable) » permet de calculer la dérivée
d’une fonction dont la règle de correspondance est Expression et pour laquelle la variable
indépendante est NomDeLaVariable.
De plus, la règle de correspondance de la dérivée de la fonction f a été assignée au nom
fprime.
Ces deux lignes d’instructions permettent d’évaluer respectivement f ’(1) et f ’(-1/2).
On peut voir que la pente de la tangente au point (1, 0) est de 2. Puisque la droite Dr est de pente
–1/4, elle ne peut être tangente au point analysé. Puisque f ’(-1/2) vaut –1/4, on en déduit que la
droite Dr est tangente au point (-1/2, 3/8).
Le bloc d’instructions suivant permet de vérifier ces deux conclusions. Il utilise des commandes
qui ont souvent servi lors de la résolution de problèmes antérieurs. Ces commandes sont :
« plot(ExpressionDeLaFonction, NomDeLaVariable = BorneInf ..BorneSup) »
avec les instructions optionnelles
« NomDeLOrdonnee = BorneInf..BorneSup » et « color = CouleurDésirée »
« plots[display](PremierGraphique, DeuxièmeGraphique,…, DernierGraphique) »
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c) Déterminer sur la courbe de f un point C(c,f(c)) où la tangente à la courbe en ce point est
parallèle à la droite D et déterminer l’équation de cette tangente.
On cherche à savoir quels sont les points de la courbe de f qui ont une pente de –1/4. La ligne
d’instructions suivante permet d’effectuer cette tâche.
Sur la courbe de la fonction f, il y a deux points qui possèdent une tangente de pente –1/4, soit le
point d’abscisse x = -1/2 (on le savait déjà) et le point d’abscisse x = 1/2. Les coordonnées du point
C sont donc (1/2, f(1/2)) et le bloc d’instructions suivant permet de les évaluer.
C’est donc au point (1/2, -3/8) que la fonction possède une tangente parallèle à la droite d’équation
1-x
y=
. Puisque cette nouvelle droite tangente a une pente de –1/4 et qu’elle passe par le point
4
-x - 1
(1/2, -3/8), on en conclut qu’elle est d’équation y =
.
4
Le bloc d’instructio ns suivant permet de représenter graphiquement, dans le même plan cartésien,
la courbe de la fonction f et les deux tangentes. Il est alors possible de vérifier les derniers résultats
obtenus.
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d) Déterminer la valeur de x pour laquelle f ’(x) est minimale et donner les coordonnées du point
M de f où f ’(x) est minimale.
On peut amorcer la résolution de ce problème en analysant la représentation graphique de la
fonction f ’(x).
Le bloc d’instructions suivant permet d’effectuer la représentation graphique.
En analysant cette représentation graphique, on peut constater que la fonction f ’(x) atteint son
minimum pour un x tout près de 0… si ce n’est pas en x = 0! MAPLE possède, parmi sa panoplie
de possibilités, une commande qui permet de déterminer la valeur minimale qu’atteint une
fonction donnée. Le bloc d’instructions suivant présente cette nouvelle commande.
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Remarques concernant cette ligne d’instructions :
La commande « minimize(Fonction) » demande à MAPLE de retourner la valeur
minimale qui est atteinte par la Fonction, que ce soit un minimum relatif ou absolu.
On sait donc que la valeur minimale atteinte par la fonction f ’(x) est –1. Le bloc d’instructions
suivant permet de déterminer les valeurs de x qui font en sorte que f ’(x) = -1.
MAPLE retourne deux valeurs identiques comme solution à l’équation, soit x = 0 et x = 0. C’est
l’abscisse du point M cherché, et comme f(x) = (x – 1) x (x + 1), il est facile de constater que les
coordonnées du point M sont (0, 0).
Première piste d’exploration :
La fonction f(x) = (x – 1) x (x + 1) étudiée est une fonction polynomiale de degré 3, présentée sous
sa forme factorisée. Utiliser la commande « expand(Expression) » qui demande à MAPLE
d’effectuer la distributivité du produit sur la somme. On obtient ainsi f(x) exprimée sous la forme
ax3 + bx2 + cx + d. Pour avoir plus de détails, on peut utiliser l’aide de MAPLE en se reportant aux
remarques faites dans la première piste d’exploration de la solution du problème 12 d) des
exercices 4.2 du chapitre 4 (page 139).
Deuxième piste d’exploration :
Le problème 13 des exercices 1.2 du chapitre 1 (page 30) a déjà été résolu à l’aide de MAPLE. La
question était la suivante :
Soit f(x) = 1 – x 3 .
a) Représenter graphiquement la fonction f sur [0,1] ainsi que le rectangle de base t et de hauteur
f(t), où t ∈ [0,1].
b) Exprimer l’aire A du rectangle précédent en fonction de t, et déterminer dom A, selon le
contexte donné.
c) Représenter graphiquement la fonction A.
d) En choisissant des intervalles appropriés pour t et A, déterminer approximativement la valeur
de t qui maximise A et déterminer approximativement l’aire maximale.
Utiliser la commande « maximize(Fonction) » pour déterminer la valeur maximale atteinte par
la fonction A et utiliser de façon adéquate la commande « solve(Équation) » pour déterminer la
valeur de t qui maximise l’aire A. Pourquoi a-t-on besoin de la commande
« evalf(Expression, n) », présentée lors de la résolution du problème 9 b) du test récapitulatif du
chapitre 2 (page 76) ?
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