I Triangles isométriques.

Chapitre : Triangles isométriques, semblables.
I Triangles isométriques.
1 ) Définition : deux triangles sont isométriques si et seulement si l’un est l’image de
l’autre par une translation, une symétrie axiale, une rotation ou une succession de telles
transformations.
Théorème fondamental : deux triangles sont isométriques si et seulement si ils ont des
côtés et des angles respectivement égaux. A1
B’
C
C1
C’
A
B1
B
A’
ABC, A’B’C’ et A’’B’’C’’ sont isométriques dans cet ordre.
On dit que les sommets A et A’ sont homologues.
Remarque : on dit aussi que de tels triangles sont superposables.
dem : => propriétés des transformations
<= ) on utilise une translation puis une symétrie et une rotation pour passer d’un triangle à l’autre.
2 ) Propriétés de caractérisation des triangles isométriques.
2a ) Si les longueurs des côtés d’un triangle sont respectivement égales à celles d’un
autre alors ces deux triangles sont isométriques.
N
A
AB= MN;BC= NP;AC= MP} alors ABC et MNP sont isométriques, dans cet ordre.
C
P
M
2b )Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés
B
respectivement de même longueur alors ces deux triangles sont isométriques.
C


AB= MN;BC= NP; ;ABC= ;MNP} alors ABC et MNP sont isométriques, dans cet ordre..
N
A
B
2c )Si deux triangles ont un côté de même longueur et adjacent à deux angles
respectivement de même mesure alors ces deux triangles sont isométriques.
M
AB= MN;;ABC= ;MNP ;;CAB= ;PMN} alors ABC et MNP sont isométriques, dans cet
C
ordre..
N
P
M
B
A
P
Exercice : ABDE et BCFG sont deux carrés construits à l’extérieur du triangle ABC.
Démontrer que AG = DC.
solution :
;ABG =
;ABC + 90° et
;DBC =
Donc
;ABG =
;DBC.
De plus, BA = BD et BC = BG.
Donc d’après le deuxième cas d’isométrie, les triangles
ABG et DBC sont isométriques dans cet ordre.
Ces triangles ont donc leurs côtés homologues de même
longueur ; d’où en particulier : AG = DC.
Remarque : pour résoudre cet exercice on peut utiliser la
rotation de centre B et d’angle 90° dans le sens direct.
;ABC + 90°.
II Triangles semblable ou de même forme.
1 ) Définition : deux triangles sont de même forme si et seulement si les angles de l’un
sont respectivement égaux à ceux de l’autre.
Autrement dit :
si ;ABC=;MNP ;;BAC =;NMP;;BCA =;NPM }
alors ABC et MNP sont de même forme dans cet ordre.
si ABC et MNP sont de même forme ,dans cet ordre.
alors.{;ABC=;MNP ;;BAC =;NMP;;BCA =;NPM
remarque : deux triangles isométriques sont de même forme.
si deux angles sont de même mesure dans deux triangles, le troisième l’est aussi.
2 ) Propriété caractéristique des triangles semblables.
Deux triangles sont de même forme si et seulement si les longueurs de leur côté sont
proportionnelles.
ABC et MNP sont de même forme , dans cet ordre.  Error!= Error!= Error!= k
le rapport k est le coefficient d’agrandissement ( ou de réduction ) des longueurs, on parle
aussi de rapport de similitude., le rapport des aires est k².
Autrement dit :si deux triangles sont de même forme, alors les longueurs de leur côté sont
proportionnelles.
si les longueurs des côté de deux triangles sont proportionnelles alors ils sont de
même forme.
 Propriété : si A  (BC), si A  (MN) (configuration de Thalès)
si (BC) // (MN) alors ABC et AMN sont de même forme dans cet ordre.
propriété réciproque : si A, B , C et A, M, N sont alignés dans cet ordre (configuration de
Thalès ) et que Error! = Error!
alors ABC et AMN sont de même forme dans cet
ordre.
3 ) Exemple
Exercice : ABC est un triangle, AB = 28 mm, BC = 39 mm et
AC = 42 mm. I est le milieu de [AB]. On note D le point de [AC]
tel que
;AID =
;ACB.
1. Calculer AD et ID.
2. Démontrer que Error! = Error!.
solution :
1. Les triangles AID et ABC ont en commun l’angle
;BAC, de plus
;AID =
;ACB par hypothèse. Donc ces triangles ont deux angles égaux deux à deux, ils
sont donc semblables.
On obtient alors Error! = Error! = Error!.
D’où Error! = Error! = Error! et on obtient ID = Error! = 13 et AD = Error! =
Error!.
2. Le coefficient d’agrandissement réduction est Error! = Error!, donc Error! =
Error!.