Compléments sur les complexes

Compléments sur les complexes
Commentaires : Les objectifs sont :
1- Aisance dans la manipulation des écritures algébrique et exponentielle, et dans
les calculs
2- Manipulation des racines nième d’un nombre complexes
3- Résolution des équation du second degré à coefficients complexes
1- Ecritures algébrique et exponentielle
Exercice 1.
1- Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants :
3  6i
 1 i 
z1=
, z2= 

3  4i
 1 i 
2010
, z3=
5  2i 2  5i

.
1 i
1 i
2- Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes suivants : z1 = −1− 3 i ; z2
= −9i ; z3 = 2−2i et z4 = −7.
 1 i 3 
3- Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants : u  

 2 
 1 i 
v
 .
 1 i 
4- Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes suivants :
z1=1+ei, z2= ei+ ei
où (,)  ².
6 i 2
5- Calculer le module et l’argument de z1=
et de z2=1+i. En déduire le
1 i
z
 7 
 7 
module et l’argument de 1 . Que valent cos   et de sin   ?
z2
 12 
 12 
Exercice 2. Soit x  .
1- Exprimer sin(5x) et cos(5x) en fonction de sin(x) et cos(x).
2- Linéariser cos4(x) et cos3(x)sin2(x).
2010
Exercice 3. Soit    et n  .
1- Calculer C =
n
n
k 0
k 0
 cos(k) , S=  sin(k) .
n
2- Calculer B=    cos(k) .
k 0  k 
n
2- Racines nième
1
3
Exercice 4. Soit j =   i
.
2
2
2010
et
1234-
Ecrire j sous forme exponentielle et représenter dans le plan j et j2.
Calculer 1 + j + j2.
Calculer jn pour n   (on pourra distinguer plusieurs cas).
Soient a, b, c trois complexes donnés. Résoudre le système suivant :
x  y  z  a

 x  jy  j² z  b
 x  j² y  jz  c

Exercice 5. Racines d’un nombre complexe
1-
1  i 3 
Déterminer les racines cinquièmes de
1  i 
3
complexe.
2- Déterminer les racines nièmes de
4
. Les tracer dans le plan
1 i
.
1 i
Exercice 6. Pour z  , on pose : P(z) = (z + 1)5 − (z − 1)5.
1- Développer P(z) puis résoudre l'équation P(z) = 0.
2- Résoudre d'une autre façon l'équation P(z) = 0. On pourra pour cela utiliser les
racines de l'unité.

3- En déduire la valeur de tan   en fonction de radicaux.
5
Exercice 7. (exercice assez dur)
2i
Soient les nombres complexes :   e 7 , Z1=++4 et Z2=++6.
1- Montrer que Z1 et Z2 sont conjugués. Calculer Z1 + Z2 et en déduire la partie réelle
de Z1.
2- Calculer Z1Z2, puis la partie imaginaire de Z1. En déduire la valeur de
 2 
 4 
 8 
sin    sin    sin   .
 7 
 7 
 7 
3- Equation du second degré à coefficients complexes
Exercice 8. Résoudre dans  les équations suivantes :
1. z²=4-3i
2. 2iz2 + (1 + 2i)z + 1 = 0
3. z2 − (1 + 2i)z + (1 + 7i) = 0
4. z2 + 2iz + 2 − 4i = 0