Type : Contrôle continu en amphi Filière : MIAS 1 Partie d’un sujet MJ.Bertin MIAS 14 30 Mars 2001 2/2 Durée indicative : 45 minutes Domaine : algèbre linéaire, polynômes Mots-clefs : matrices, applications linéaires, valeurs propres, système d’équation, diagonalisation, polynômes Enoncé Lecture de l’énoncé Indications Résolution o Question 1 o Question 2 o Question 3 o Question 4 o Question 5 o Question 6 1 Énoncé Soit V = R2[X] le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2 en l’indéterminée X. On note ( e ) = { e1, e2 , e3 } = { 1, X, X2 } la base canonique de V. 1) Montrer que { 1, X + 1, X ( X + 1) } = { f1, f2 , f3 } = ( f ) est une base de V. 2) Donner la matrice A de passage de la base ( e ) à la base ( f ). V V Soit u l’application linéaire de V dans V définie P u (P) par u ( P)( X ) P( X 1) P( X 1). 3) Montrer que u est un endomorphisme de V. On munit V espace d’arrivée et de départ de u de la base ( f ). 4) Donner la matrice M de u relative à ces bases. 5) Quel est le rang de u ? 6) a) Quelles sont les valeurs propres de u ? b) La matrice M est-elle diagonalisable ? Début 2 Lecture de l’énoncé Domaine : algèbre linéaire Sujet principal : matrices Sujets annexes : déterminants, systèmes d’équations linéaires, diagonalisation, polynômes Références dans UeL o module « algèbre linéaire (matrices) » Début Indications sur l’énoncé Il est connu que V est un espace vectoriel réel de dimension 3 (c’est confirmé par l’introduction où l’on parle de la base canonique). Endomorphisme de l’espace vectoriel réel V : synonyme de application R-linéaire de V dans V. Matrice de passage (à savoir par coeur) : les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base ( f ) sur l’ancienne ( e ). Question 5) penser que le rang de u est aussi celui de M. Début 3 Résolution Soit V = R2[X] le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2 en l’indéterminée X. On note ( e ) = { e1, e2 , e3 } = { 1, X, X2 } la base canonique de V. 1) Montrer que { 1, X + 1, X ( X + 1) } = { f1, f2 , f3 } = ( f ) est une base de V. Comme on sait que V est de dimension 3 et que ( f ) a 3 éléments on va, au choix, montrer que ( f ) est libre ou est génératrice. Puisque e1 f1 , e2 f 2 f1 , e3 f 3 f 2 f1 , la famille ( f ) est génératrice . Etant de cardinal 3, égal à la dimension de V, c’est une base de V. On peut aussi montrer que ( f ) est libre soit en résolvant l’équation af1 bf 2 cf 3 0. Considérant le terme de degré 2 on obtient c = 0, le terme de degré 1 donne alors b = 0 et finalement a = 0 soit en calculant le déterminant des composantes des vecteurs de ( f ) sur ( e ) : 1 1 0 0 1 1 1. 0 0 1 2) Donner la matrice A de passage de la base ( e ) à la base ( f ). Les colonnes de la matrice A de passage sont les coordonnées des vecteurs de la nouvelle 1 1 0 base ( f ) sur l’ancienne ( e ) donc A 0 1 1 . 0 0 1 V V Soit u l’application linéaire de V dans V définie P u (P) par u ( P)( X ) P( X 1) P( X 1). 3) Montrer que u est un endomorphisme de V. On vérifie que pour tout a réel et pour tous P et Q dans V, on a u (aP Q)( X ) (aP Q)( X 1) (aP Q)( X 1) a( P( X 1) P( X 1)) Q( X 1) Q( X 1) au ( P) u (Q)( X ) Donc u est bien linéaire et comme la somme de 2 polynômes de degré au plus é est de degré au plus 2 , l’image est bien contenue dans V. 4 On munit V espace d’arrivée et de départ de u de la base ( f ). 4) Donner la matrice M de u relative à ces bases. Comme u( f1 ) 2 f1 , u( f 2 ) 2 X 2 2 f 2 , u( f 3 ) 2 X ( X 1) 2 2 f 3 2 f1 , on a 2 0 2 M 0 2 0 . 0 0 2 5) Quel est le rang de u ? 2 0 2 det( M ) 0 2 0 8 donc la matrice est inversible et elle est de rang 3. 0 0 2 6) a) Quelles sont les valeurs propres de u ? Les valeurs propres de u sont celles de M et comme M est triangulaire, il suffit de les lire sur la diagonale principale : 2 est valeur propre triple. b) La matrice M est-elle diagonalisable ? Si M était diagonalisable,, puisque 2 est valeur propre triple, elle serait semblable à la matrice 2I , qui est invariante par changement de base (I commute à toutes les matrices) et on aurait M = 2I, ce qui n’est pas donc M n’est pas diagonalisable. On aurait pu aussi chercher l’espace propre associé à la valeur propre 2 , on trouve qu’il est de dimension 2 (il est engendré par f1 et f2) donc M n’est pas diagonalisable. 5