Agrégation Interne 2002

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Agrégation Interne 2002 Corrigé des exercices d’induction
Agrégation Interne 2002
Exercices d’induction
Corrigé
Exo n°1 :
1. On fournit de l’énergie mécanique, donc le système est un générateur, & la force de Laplace sera ré-
sistante. On est dans le cas de Lorentz :
BvEm
. Le vecteur vitesse est suivant Ox, donc le champ
électromoteur est dirigé de B vers A. On a :
l
BA mvBldxBvdlEe 0
...
. D’où l’équation électrique :
)E( .vBl
C
q
RiUe AB 
. Force de Laplace résistante :
 BdliF  .
, dirigée vers les x < 0. D’où
l’équation mécanique :
)M( .iBl
dt
dv
m
.
2. Bilan de puissances : on forme les combinaisons
vM
&
iE
. On obtient :
ivBl
dt
dv
mvv.:M 
, &
i
C
q
RiviBli 2 .:E
. Comme le condensateur n’est pas chargé à t = 0, il
se charge, & donc :
dt
dq
i
. On élimine le terme de couplage
viBl.
& on obtient le bilan de puissances
sous la forme générale :
dt
dW
pertesfournieRP  PP
, où la puissance fournie en régime permanent est
nulle (système isolé, apport d’énergie cinétique à t = 0 seulement), la puissance dissipée dans les pertes
vaut
2
RI
pertes P
, & le système stocke de l’énergie cinétique de translation & de l’énergie potentielle
électrostatique :
C
q
mvW2
22
1
2
1
.
3. On dérive l’équation électrique pour se débarrasser de q :
i
Cdt
di
R
dt
dv
Bl
dt
d1
.:E 
, & on élimine
dt
dv
avec l’équation mécanique :
0
1
 i
dt
di
i
BlCdt
di
Bl
R
i
m
Bl
dt
dv
, avec
mR
lB
RC
22
11 
. Par
intégration :
/ )( t
oeIti
. A t = 0, q = 0, & l’équation électrique devient
oo RIvBl .
, soit finalement :
/ )( t
oe
R
Blv
ti
. L’équation mécanique donne :
 //
22 .
11 t
o
t
oe
RC
ve
mR
vlB
i
m
Bl
dt
dv
.
On intègre :
cste.1cste.
11
)( //    t
o
t
oe
RC
ve
RC
vtv
. Avec la condition initiale,
on obtient :
  / 111)( t
oe
RC
vtv
.
4. 1. On fournit de l’énergie électrique, donc le système est un moteur, & la force de Laplace sera mo-
trice, donc dirigée vers les x > 0. D’où l’équation mécanique :
)M( .iBl
dt
dv
m
.On est dans le cas de
Lorentz :
BvEm
. Le vecteur vitesse est suivant Ox, la force a changé de sens & le courant aussi
(c’est le courant de décharge du condensateur) donc le champ électromoteur est dirigé de A vers B. Avec
la convention générateur, on a une fem négative :
vBle.
. D’où l’équation électrique :

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)E( .RivBl
C
q
. Le bilan de puissances donne :
vivBl
dt
dv
mv )M( .
,
iRiviBli
C
q)E( .2
.
On a maintenant
dt
dq
i
(décharge) d’où :
 C
q
mv
dt
d
Ri 2
22 2
1
2
1
0
. Le bilan a la même forme, le
système est toujours isolé, on n’a un apport d’énergie électrique qu’à t = 0 seulement.
En dérivant l’équation électrique :
dt
di
R
dt
dv
Bl
C
i
, on élimine
dt
dv
, & on obtient :
0
1
 i
dt
di
i
BlCdt
di
Bl
R
i
m
Bl
dt
dv
& l’équation est inchangée, mais pas les conditions initiales.
A t = 0, q = Qo, & l’équation électrique devient :
 / )( t
o
o
oe
RC
Q
tiRI
C
Q
.
L’équation mécanique donne :
 / .t
oe
mRC
BlQ
i
m
Bl
dt
dv
. On intègre :
cste.)( / t
oe
mRC
BlQ
tv
. Avec la condition initiale, on obtient :
/ 1)( t
oe
mRC
QBl
tv
.
Exo n°2 : 1. Cas de Lorentz :
BvEm
,'porté par NM, orienté de N vers M,
comme la fem induite e & le courant induit i (cf figure). Alors :
    .
2
1
.. 22 KabBdllBdlvBdlEe o
M
N
b
a
b
aoom
, donc on a :
22
2
1abBK o
.
2. La figure donne la direction & le sens du vecteur élémentaire
dF
. En mo-
dule :
dlIBdF o
. On en déduit son moment par rapport à l'axe Oz :
dFld  
. En module,
dllIBdo.
& on intègre :
IKabIBdllIB o
b
ao'
2
1
.22  
On en déduit que K = K' (obligatoire ! traduit la conversion intégrale de puissance sur le transducteur).
3.1. Fem induite e' : tous les conducteurs portent la même fem induite e en parallèle, donc la fem équiva-
lente à l'ensemble de N fem e en parallèle vaut e' = e.
3.2. Couple résultant  ' : la source de tension étant la même, le courant I est partagé entre les N conduc-
teurs, en parallèle, donc parcourus par le courant
N
I
i
, donc chacun d'eux est soumis au couple
N
I
K
1
. Tous les couples 1 sur les conducteurs agissent dans le même sens, d'où le couple résultant
 1 ' N
.

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4. La machine est évidemment un moteur ! Le moteur comprend N résistances
r en parallèle, donc la résistance équivalente vaut :
N
r
réq 
. Le générateur
réel (E, R) alimente le récepteur
N
r
e,
selon le schéma ci-contre. On en dé-
duit l'équation électrique :
)E( . IRI
N
r
RKE o
, avec
N
r
RRo
.
5. Bilan de puissances : on forme les combinaisons (E).I & (M)., ce qui donne :
2
:)E( IRIKEIIo
&
 KI
dt
d
J:)M(
, & on élimine le terme de couplage KI, ce qui con-
duit à la forme standard du bilan de puissances :
dt
dW
pertesfournieRP  PP
, où la puissance fournie en
régime permanent vaut EI, la puissance dissipée dans les pertes vaut
2
IRopertes P
, & le système
stocke de l’énergie cinétique de rotation :
2
2
1 JW
.
6. On élimine le courant I entre les équations (E) & (M) :
KE
Rdt
d
K
J
Io
1
, soit aussi :
o
dt
d
, avec
2
K
JRo
&
K
E
o
. En intégrant, compte tenu de la condition initiale
0)0( 
(machine à l'arrêt), on obtient :
 / 1t
oe
. L'équation mécanique donne alors :
// t
o
t
oe
R
E
e
K
J
dt
d
K
J
I
. On vérifie que pour t = 0, l’équation électrique donne
ooIRE 
.
Pour
K
E
t :
& l’équation électrique donne
0I
.
Exo n°3 :
1. Pour chacun des solénoïdes, le champ magnétique créé au point O est dirigé suivant l’axe, & vaut :
kkkkk
ko
kuiu
L
Ni
B...coscos
222 
, où  est une constante ne dépendant que des paramètres
géométriques du solénoïde. Le champ résultant vaut donc :
 3
1..)( kkk uiOB
. On associe alors à
chaque vecteur plan un nombre complexe, soit :
 3
1..)( kkk uiOB
, & on utilise les formules d’Euler
pour représenter les sinus, ce qui donne :
3/43/43/43/23/23/2 ..1
2
2 
jtjtjjtjtjtjtj eeeeeeee
jI
B
On sépare les contributions en
tj
e
& en
tj
e
, ce qui donne :
111
2
2
1
2
23/83/4 
 tjjjtj e
jI
eee
jI
B
. Dans le premier crochet, on reconnaît la
somme des racines cubiques de l’unité, qui vaut zéro, d’où :
 2 exp
2
23
2
23 tj I
e
I
jB tj
.

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Il en résulte que le module du champ est constant :
IB  2
2
3
, & que l’argument du nombre com-
plexe associé est une fonction affine du temps : on a affaire à un champ tournant autour du point O à la
vitesse angulaire constante  (qui est celle du système de courants triphasés) dans le sens trigonomé-
trique.
2. Comme le champ magnétique créé tourne, l’angle entre sa direction & celle de la normale à la bobine
dépend du temps, donc son cosinus & le flux aussi, d’où production d’une fem induite & d’un courant
induit, donc de forces de Laplace qui auront un couple moteur entraînant la bobine dans un mouvement
de rotation.
3. D’après la figure, on déduit l’angle
BN,
à un instant t quel-
conque :
tBN .', 
, & donc le flux à travers la bobine
vaut :
BNNBSdSBNN
S
,cos..  
car le champ magné-
tique est supposé constant sur la bobine de faibles dimensions. On
en déduit la fem induite :
tEtNBS
dt
d
em.'sin.'sin.' 
, où l’on a po-
sé :
 '.NBSEm
. On constate que la fem induite s’annule si
'
(pas de mouvement relatif, donc
pas de phénomènes d’induction), d’où le nom de moteur asynchrone. On a une fem alternative, donc on
se trouve en régime sinusoïdal forcé, & on utilise les notations complexes :
tjEee m 'exp.Re
, & de même :
 tjItjIii m'exp.'exp.Re
. La bo-
bine étant un circuit R-L, on a :
ijLRize .'. 
, car ici l’on a :
 'j
dt
d
, d’où :
'jLRE Im
, d’où l’on déduit que :
2
22
2
22 '
'.
'
LR
NBS
LR
E
Im
m
, &
0
'.
tan   R
L
car la bobine est un circuit induc-
tif. Il en résulte que :
 tIti m'sin)(
.
4. La bobine étant un petit circuit plongé dans un champ magnétique uniforme peut être assimilée à un
dipôle magnétique, donc soumise au couple :
B M
, où
NStiN .)(.M
est le moment magnétique
de la bobine. En module, on a donc :
BNtiNBSt ,sin).(.)( 
, soit en définitive :
ttINBSt m 'sin.'sin.)(
. Par analogie avec la définition de la puissance ac-
tive :
 tItUtituIUP mmeffeff cos.cos)().(cos
, on en déduit la valeur moyenne du
couple :
 22
22
2
tan1
1
'
'
2
1
cos.
2
1
LR
NBS
INBS m
, avec
R
L
 '. tan
, d’où :
2
2
2
2
'12
'
R
L
R
NBS
.
5. On fait apparaître les grandeurs
R
L
Q
&
' g
:
2222
2
112 gQ
Qg
gQL
QgNBS o
.

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On a posé :
L
NBS
o2
2
. On calcule la dérivée :
2
22
22
2
22
222
1
1
1
2.1
gQ
gQ
Q
gQ
gQQgQgQ
dg
doo 
.
Donc :
 Si
0'1 g
(moteur à l’arrêt) :
Q
Q
Qo
o
 2
1
)1(
avec
1
2Q
comme il se doit pour un
rotor bobiné inductif ;
 Si
 '0g
(synchronisme, le moteur décroche) :
0
. La dérivée vaut :
Q
o
 )0('
;
 Si
:1
1 Q
gg m
alors
0
dg
d
, le couple est maximal &
vaut :
L
NBS
o
m42
2
, valeur indépendante de R. D’où
la courbe. Si on diminue le facteur de qualité : la tangente à
l’origine s’abaisse, le maximum du couple se déplace vers la droite, en conservant la même valeur.
La puissance est donnée par :
22
1
1.
)1('. gQ
gg
Qg o P
. Pour un bon facteur de qualité, le
couple n’est important qu’autour de la valeur gm, alors
 mmm Q
P1 1.
.
Calcul rigoureux : on considère la fonction
22
1
)1.(
)( gQ
gg
gf 
qui s’annule en g = 0 & g = 1, donc il
existe un maximum entre les deux. On dérive :
2
22
32223222
2
22
222
1
22221
1
2.1.211
)(' gQ
gQgQgQggQ
gQ
gQggggQ
gf
, soit :
0
1
21
)(' 2
22
22 
gQ
gQg
gf
si
m
g
Q
Q
Q
g
Q
Q
ggQg   1
1111
021 2
2
2
2
22
si
l’on a la condition Q2 >> 1.
6. En prenant g comme variable :
2
21g
vfr 
. La quantité f représente le frottement sta-
tique (obtenu à l’arrêt, pour g = 1). La quantité
2
v
représente le frottement dynamique (attention !
tous les  n’ont pas la même dimension !). On discute sur la courbe suivante :
 Le système démarre seul si, à l’arrêt, donc pour g = 1, on a :
f
o
Q
 )1(
, ce qui est réalisé pour Q2, mais pas pour Q1.
 Pour faciliter le démarrage : il faut augmenter le couple mo-
teur à l’arrêt, donc augmenter la quantité
Q
o
, donc diminuer
le facteur de qualité
R
L
Q
. La façon la plus simple con-
siste à augmenter R par adjonction d’un rhéostat de démar-
rage, ce qui déplace la courbe vers la droite sans modifier les
valeurs extrémales du couple moteur .
 En régime permanent : le théorème du moment cinétique