Chapitre : Trigonométrie

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Chapitre : Trigonométrie
B
I Vocabulaire
♀
B
[BC] est l’hypoténuse
[BA] est le côté adjacent à l’angle ♀
B
C
A
[AC] est le côté opposé à l’angle ♀
B
Définition : Dans un triangle rectangle, on définit le cosinus (cos), le sinus (sin) et la tangente (tan) par les
formules suivantes :
opposé
opposé
adjacent
cos =
sin =
tan =
hypoténuse
hypoténuse
adjacent
Exemples : Par rapport à la figure ci-dessus, on a : cos ( ♀
B) =
BA
BC
sin ( ♀
B) =
AC
BC
tan ( ♀
B) =
AC
AB
Pour calculer le cosinus, sinus ou tangente d’un angle, on utilise les touches cos, sin et tan de la calculatrice.
Exemple : sin ( 30 ) = 0,5
La calculatrice permet aussi de trouver la mesure d’un angle dont on connaît la valeur du cosinus, sinus ou
tangente grâce aux touches : cos – 1 ou arccos, sin – 1 ou arcsin, tan – 1 ou arctan.
Exemple : arcsin( 0,5 ) = 30°.
Remarques : – moyen mnémotechnique : SOHCAHTOA (S pour sinus, O pour opposé …)
– comme l’hypoténuse est le plus grand côté, le cosinus et le sinus sont des nombres inférieurs
à 1 car c’est le résultat d’une division d’un nombre par un nombre plus grand.
sin
– on a les formules suivantes :
= tan
et
cos² + sin² = 1
cos
II Applications
a ) Calcul de mesure d’angle
On considère la figure suivante :
Question : calculer la mesure de l’angle ♀
B au degré près.
C
on fait sin avec opp et
opp
hyp car sin =
hyp
3 cm
2 cm
hyp
opp
?
Réponse : Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
AC 2
2
sin ( ♀
B)=
= donc ♀
B = arcsin( ) ≈ 41,8°
BC 3
3
b ) Calcul de longueur
On considère la figure suivante :
Question : Calculer AB à 0,1 près.
A
B
C
on fait tan avec opp et adf
opp
car tan =
adj
2 cm
opp
Réponse : Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
AC
tan( 40 )
2
On a : tan( ♀
B)=
donc
=
AB
AB
1
2×1
≈ 2,4 cm
Donc AB =
tan ( 40 )
40°
A
adj
?
B
Exercice 1 : Complète les trois tableaux ci-dessous en arrondissant les résultats à 0,01 près.
x
18
65
0,15 0,78
cos(x)
35
x
2
3
72
0,5
sin(x)
5 cm
D
x
tan(x)
50
3
7
0,92
C
62
1
38
?
16
7
?
6 cm
52°
A
Exercice 2 : Calcule à 0,01 près les grandeurs indiquées à propos de la figure ci-dessus.
B
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
Exercices pour préparer le contrôle (calculatrice indispensable)
Exercice 1 : ABC est un triangle rectangle en A et les longueurs sont indiquées en centimètre.
Dans chacun des cas suivants, détermine la grandeur indiquée arrondie au dixième.
a ) AB = 7 ; BC = 10 ; ♀
C =?
b)♀
B = 53° ; AC = 15 ; AB = ?
c ) AC = 9 ; BC = 23 ; ♀
C =?
d ) AB = 22 ; ♀
B = 75° ; BC = ?
e ) AB = 64 ; CA = 42 ; ♀
C =?
f ) BC = 34 ; ♀
C = 82° ; AB = ?
A
Exercice 2 : Détermine la mesure des angles au degré près des triangles ABC suivants :
a ) ABC est tel que : AB = 49,6 cm ; BC = 93 cm ; CA = 105,4 cm.
b ) ABC est le triangle de la figure de droite.
O
B
Exercice 3 : À propos de cette figure, on va calculer BH de deux façons différentes.
A
1° ) a ) Démontrer que AB = 15 cm
H
7 15
AC = 8 cm
cm puis calcule BH à 0,1 près.
b ) Prouve que BH =
8
Indication : écrire le sinus dans deux triangles.
2° ) a ) Détermine la mesure de ☺
ACB au degré près.
b ) Calcule BH à 0,1 près et retrouve le résultat de 1° ) b).
7 cm
B
7 cm
C
12
C
Remarque : Lors de ce contrôle, tu devras utiliser : Pythagore et sa réciproque, triangle rectangle et cercle (« M
est un point du cercle de diamètre [AB], donc ABM est rectangle en M. »)
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
Correction partielle des exercices pour préparer le contrôle
AB 7
7
AC
AC
15
Ex 1 : a ) sin C =
= donc C = arcsin(
) ≈ 44,42°
b ) tan B =
donc AB =
=
≈ 11,30 cm
BC 10
10
AB
tan B sin 53
BA
BA
22
AC 9
9
c ) cos C =
= donc C = arccos(
) ≈ 66,96°
d ) cos B =
donc BC =
=
≈ 85,00 cm
BC 23
23
BC
cos B cos 75
AB 64
64
AB
=
donc C = arctan(
) ≈ 56,72°
f ) sin C =
donc AB = BC sin C = 34 sin 82 ≈ 33,66 cm
e ) tan C =
42
BC
AC 42
Ex 2 : a ) CA² = AB² + BC² = 11 109,16 donc ABC est rectangle en B d’après le théorème réciproque de Pythagore.
49,6
A = arccos(
) ≈ 62° et C ≈ 180 – ( 90 + 62 ) ≈ 28° remarque : on peut utiliser aussi sin ou tan.
105,4
b ) ABC rectangle en B car B est un point du cercle de diamètre [AC]. Même chose qu’en a ) , on trouve A ≈ 59 et C ≈ 31°
ex 3 : 1° ) a ) Pythagore dans ABC rectangle en B.
A
b ) dans les triangles ABC rectangle en B et BHC rectangle en H on a :
H
15 BH
7 15
AB BH
AC = 8 cm
=
donc
=
donc BH =
≈ 3,4 cm
sin ( ♀
C ) =
8
8
7
AC BC
CB 7
7
2° ) a ) dans ABC rectangle en B : cos ♀
C=
= donc♀
C = arccos( ) ≈ 29°
CA 8
8
BH
b ) dans BHC rectangle en H : sin ♀
C=
donc BH ≈ 7 sin 29 ≈ 3,39 ≈ 3,4 cm
BC
C
7 cm
B
Devoir : les valeurs remarquables en trigonométrie
Le but est de compléter le tableau ci-dessous avec des valeurs exactes : calculatrice interdite !
x
0°
30°
45°
60°
90°
cos ( x )
sin ( x )
∅
tan ( x )
I Pour remplir les colonnes x = 30° et x = 60°, on considère la figure suivante où figure un triangle rectangle
A
dont l’hypoténuse est deux fois plus grand qu’un de ses côtés :
1° ) prouver que AIB est équilatéral
2° ) en déduire les mesures des angles ♀
A et ♀
C.
I
1 cm
3° ) prouver que BC = 3 cm
4° ) en déduire les valeurs exactes de :
cos(30), cos(60), sin(30), cos(60), tan(30), tan(60)
remplir le tableau !
B
C
Remarque : les opérations « ² » et « » étant contraires l’une de l’autre, on comprend facilement que :
1
1× 3
3
( 3 ) ² = 3 × 3 = 3. Ainsi,
=
=
qui est la valeur remarquable retenue (on n’aime pas trop
3
3× 3 3
A
les dénominateurs avec des racines carrées)
II Pour remplir la colonne x = 45°, on considère la figure suivante formée par
un triangle rectangle et isocèle.
1 cm
1° ) prouver que AC = 2 cm
2° ) calculer les mesures des angles ♀
A et ♀
C.
3° ) en déduire les valeurs exactes de : cos(45), sin(45), tan(45)
B
C
remplir le tableau !
III le cercle trigonométrique
Dans un repère, le cerce de centre O et de rayon 1 comme celui tracé ci-dessous s’appelle le cercle
trigonométrique.
Considérons le point M du cercle de la figure ci-dessous.
1° ) expliquer pourquoi le point M a pour coordonnées : M ( cos ( x ) ; sin ( x ) )
On peut redéfinir le cosinus et le sinus qui correspondent aux coordonnées du point M sur le cercle
trigonométrique.
2° ) a ) en considérant x = 0° et les coordonnées du point M, trouver les valeurs de cos( 0 ) et sin ( 0 ).
sin
b ) En utilisant la formule tan =
, trouve tan( 0 )
cos
1
remplir le tableau !
M
3° ) trouve cos( 90 ) et sin ( 90 ) en considérant x = 90°.
remplir le tableau !
0,5
4° ) a ) En considérant x = 180°, trouver les valeurs de
cos(180) et sin(180).
y
b ) complète les formules :
cos ( 90 + x ) = …
cos ( 90 + x ) = …
x°
O
1
x
Correction du
devoir
I 1° ) et 2° ) B est un point du cercle de diamètre [AC] car le triangle
x
0° 30° 45° 60°
ABC est rectangle en B. Donc IA = IB = IC = AB = 1 cm.
3
2 1
Le triangle AIB est donc équilatéral et ses angles font donc 60°
cos ( x ) 1
2
2
2
Ainsi, ♀
A = 60°.
1
2
3
sin ( x ) 0
Dans le triangle ABC on a : ♀
C = 180 – ( 90 + 60 ) = 30°
2
2
2
3° ) J’utilise le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en
3
B. On a AC² = AB² + BC² donc BC² = AC² – AB² = 2² – 1² = 3.
tan ( x ) 0
1
3
3
D’où, AC = 3 cm.
AB
1
A )=
= sin (♀
B ) donc cos ( 60 ) = = sin ( 30 )
4° ) Dans le triangle ABC rectangle en B on a : cos ( ♀
AC
2
BC
3
et cos ( ♀
B)=
= sin (♀
A ) donc cos ( 30 ) =
= sin ( 60 ) .
2
AC
BC
AB
1
3
A ) =
donc tan ( 60) = 3 et tan ( ♀
C ) =
donc tan ( 30 ) =
=
On a aussi : tan ( ♀
AC
BC
3 3
180 – 90
II 1° ) C’est le théorème de Pythagore !
2° ) le triangle est isocèle en B donc ♀
A =♀
C =
= 45°
2
3° ) On trouve les valeurs du tableau en considérant par exemple cos ( ♀
A ) , sin ( ♀
A ) et tan ( ♀
A ).
III 1° ) On considère le point A de la figure.
1
Les coordonnées de M sont donc M ( OA ; AM )
M
AM
OA
et sin ( x ) =
.
Or cos ( x ) =
OM
OM
Puisque OM = 1, on a : cos ( x ) = OA et sin ( x ) = AM d’où M(cos ( x ) ; sin ( x ))
2° ) a ) cas x = 0 : M ( 1 ; 0 ) donc cos ( 0 ) = 1 et sin ( 0 ) = 0
sin(0) 0
x°
b ) tan ( 0 ) =
= =0
cos(0) 1
1
A
O
3° ) cas x = 90 : M ( 0 ; 1 ) donc cos ( 90 ) = 0 et sin ( 90 ) = 1
4° ) a ) cas x = 180 : M ( – 1 ; 0 ) donc cos ( 180 ) = – 1 et sin ( 180 ) = 0
b ) On considère la figure ci-dessous où l’on cherche les coordonnées de N (cos ( 90 + x ) ; sin ( 90 + x ))
Il faut donc trouver OB et BN car N ( – OB ; BN )
On peut remarquer que les triangles OBN et OAM sont superposables car
☺ =☺
OMA
BON = 180 – ( 90 + x ) = 90 – x et donc ☺
BNO = 180 – ( 90 + 90 – x ) = x °.
Ainsi, OA = BN et que AM = OB donc N ( – AM ; OA ) donc N ( – sin ( x ) ; cos ( x ))
On trouve donc que cos ( 90 + x ) = – sin ( x ) et sin ( 90 + x ) = cos ( x )
90°
0
1
∅
y
N
1
y
M
x°
B
O
A
1
x
x
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