Chapitre : Trigonométrie

hyp
opp
?
3 cm
2 cm
B
A
C
adj
opp
?40°
2 cm
B
A
C
Chapitre : Trigonométrie
I Vocabulaire
Définition : Dans un triangle rectangle, on définit le cosinus (cos), le sinus (sin) et la tangente (tan) par les
formules suivantes :
cos = adjacent
hypoténuse sin = opposé hypoténuse tan = opposé adjacent
Exemples : Par rapport à la figure ci-dessus, on a : cos ( ♀ B ) = BA
BC sin ( ♀
B ) = AC
BC tan ( ♀
B ) = AC
AB
Pour calculer le cosinus, sinus ou tangente d’un angle, on utilise les touches cos, sin et tan de la calculatrice.
Exemple : sin ( 30 ) = 0,5
La calculatrice permet aussi de trouver la mesure d’un angle dont on connaît la valeur du cosinus, sinus ou
tangente grâce aux touches : cos
– 1
ou arccos, sin
– 1
ou arcsin, tan
– 1
ou arctan.
Exemple : arcsin( 0,5 ) = 30°.
Remarques : – moyen mnémotechnique : SOHCAHTOA (S pour sinus, O pour opposé …)
– comme l’hypoténuse est le plus grand côté, le cosinus et le sinus sont des nombres inférieurs
à 1 car c’est le résultat d’une division d’un nombre par un nombre plus grand.
– on a les formules suivantes : sin
cos = tan et cos² + sin² = 1
II Applications
a ) Calcul de mesure d’angle
On considère la figure suivante :
Question : calculer la mesure de l’angle ♀ B au degré près.
Réponse : Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
sin ( ♀ B ) = AC
BC = 2 3 donc ♀
B = arcsin( 2
3 )
≈ 41,8°
b ) Calcul de longueur
On considère la figure suivante :
Question : Calculer AB à 0,1 près.
Réponse : Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
On a : tan( ♀ B ) = AC
AB donc tan( 40 )
1 = 2
AB
Donc AB = 2 × 1
tan ( 40 )
≈ 2,4 cm
♀
B[BC] est l’hypoténuse
[BA] est le côté adjacent à l’angle ♀ B
C
A
B
[AC] est le côté opposé à l’angle ♀ B
on fait sin avec opp et
hyp car sin = opp
hyp
on fait
tan avec opp et adf
car tan = opp
adj

7 cm
AC = 8 cm
H
C
B
A
7 cm
O
12 C
B
A
7 cm
AC = 8 cm
H
C
B
A
Exercice 1 : Complète les trois tableaux ci-dessous en arrondissant les résultats à 0,01 près.
x
18 65
x
35 72
cos(x)
0,15 0,78
2
3
sin(x)
0,5 0,92 3
7
x
50 62
tan(x)
1 38 16
7
Exercice 2 : Calcule à 0,01 près les grandeurs indiquées à propos de la figure ci-dessus.
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
Exercices pour préparer le contrôle (calculatrice indispensable)
Exercice 1 : ABC est un triangle rectangle en A et les longueurs sont indiquées en centimètre.
Dans chacun des cas suivants, détermine la grandeur indiquée arrondie au dixième.
a ) AB = 7 ; BC = 10 ; ♀ C = ? b ) ♀ B = 53° ; AC = 15 ; AB = ? c ) AC = 9 ; BC = 23 ; ♀ C = ?
d ) AB = 22 ; ♀ B = 75° ; BC = ? e ) AB = 64 ; CA = 42 ; ♀ C = ? f ) BC = 34 ; ♀ C = 82° ; AB = ?
Exercice 2 : Détermine la mesure des angles au degré près des triangles ABC suivants :
a ) ABC est tel que : AB = 49,6 cm ; BC = 93 cm ; CA = 105,4 cm.
b ) ABC est le triangle de la figure de droite.
Exercice 3 : À propos de cette figure, on va calculer BH de deux façons différentes.
1° ) a ) Démontrer que AB = 15 cm
b ) Prouve que BH = 7 15
8 cm puis calcule BH à 0,1 près.
Indication : écrire le sinus dans deux triangles.
2° ) a ) Détermine la mesure de ☺ ACB au degré près.
b ) Calcule BH à 0,1 près et retrouve le résultat de 1° ) b).
Remarque : Lors de ce contrôle, tu devras utiliser : Pythagore et sa réciproque, triangle rectangle et cercle (« M
est un point du cercle de diamètre [AB], donc ABM est rectangle en M. »)
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Correction partielle des exercices pour préparer le contrôle
Ex 1 : a ) sin C = AB
BC = 7 10 donc C = arcsin( 7 10 )
≈ 44,42° b ) tan B = AC
AB donc AB = AC tan B = 15 sin 53
≈ 11,30 cm
c ) cos C = AC
BC = 9 23 donc C = arccos( 9 23 )
≈ 66,96° d ) cos B = BA
BC donc BC = BA cos B = 22 cos 75 ≈ 85,00 cm
e ) tan C = AB
AC = 64 42 donc C = arctan( 64 42 )
≈ 56,72° f ) sin C = AB
BC donc AB = BC sin C = 34 sin 82
≈ 33,66 cm
Ex 2 : a ) CA² = AB² + BC² = 11 109,16 donc ABC est rectangle en B d’après le théorème réciproque de Pythagore.
A = arccos( 49,6
105,4)
≈ 62° et C ≈ 180 – ( 90 + 62 ) ≈ 28° remarque : on peut utiliser aussi sin ou tan.
b ) ABC rectangle en B car B est un point du cercle de diamètre [AC]. Même chose qu’en a ) , on trouve A ≈ 59 et C ≈ 31°
ex 3 : 1° ) a ) Pythagore dans ABC rectangle en B.
b ) dans les triangles ABC rectangle en B et BHC rectangle en H on a :
sin ( ♀ C ) = AB
AC = BH
BC donc 15 8 = BH 7 donc BH = 7 15 8
≈ 3,4 cm
2° ) a ) dans ABC rectangle en B : cos ♀ C = CB
CA = 7 8 donc♀
C = arccos( 7
8 )
≈ 29°
b ) dans BHC rectangle en H : sin ♀ C = BH
BC donc BH
≈ 7 sin 29 ≈ 3,39 ≈ 3,4 cm
?
?
5 cm
6 cm
52°
DC
BA

1 cm I
CB
A
1 cm
C
B
A
1
0,5
1
x°
M
y
x
O
Devoir : les valeurs remarquables en trigonométrie
Le but est de compléter le tableau ci-dessous avec des valeurs exactes : calculatrice interdite !
x 0° 30° 45° 60° 90°
cos ( x )
sin ( x )
tan ( x ) ∅
I Pour remplir les colonnes x = 30° et x = 60°, on considère la figure suivante où figure un triangle rectangle
dont l’hypoténuse est deux fois plus grand qu’un de ses côtés :
1° ) prouver que AIB est équilatéral
2° ) en déduire les mesures des angles ♀ A et ♀ C .
3° ) prouver que BC = 3 cm
4° ) en déduire les valeurs exactes de :
cos(30), cos(60), sin(30), cos(60), tan(30), tan(60)
remplir le tableau !
Remarque : les opérations « ² » et « » étant contraires l’une de l’autre, on comprend facilement que :
( 3 ) ² = 3 × 3 = 3. Ainsi, 13 = 1 × 3
3 × 3 = 3
3 qui est la valeur remarquable retenue (on n’aime pas trop
les dénominateurs avec des racines carrées)
II Pour remplir la colonne x = 45°, on considère la figure suivante formée par
un triangle rectangle et isocèle.
1° ) prouver que AC = 2 cm
2° ) calculer les mesures des angles ♀ A et ♀ C .
3° ) en déduire les valeurs exactes de : cos(45), sin(45), tan(45)
remplir le tableau !
III le cercle trigonométrique
Dans un repère, le cerce de centre O et de rayon 1 comme celui tracé ci-dessous s’appelle le cercle
trigonométrique.
Considérons le point M du cercle de la figure ci-dessous.
1° ) expliquer pourquoi le point M a pour coordonnées : M ( cos ( x ) ; sin ( x ) )
On peut redéfinir le cosinus et le sinus qui correspondent aux coordonnées du point M sur le cercle
trigonométrique.
2° ) a ) en considérant x = 0° et les coordonnées du point M, trouver les valeurs de cos( 0 ) et sin ( 0 ).
b ) En utilisant la formule tan = sin
cos, trouve tan( 0 )
remplir le tableau !
3° ) trouve cos( 90 ) et sin ( 90 ) en considérant x = 90°.
remplir le tableau !
4° ) a ) En considérant x = 180°, trouver les valeurs de
cos(180) et sin(180).
b ) complète les formules :
cos ( 90 + x ) = …
cos ( 90 + x ) = …

A
1
1
x°
M
y
x
O
B
N
A
1
1
x°
M
y
x
O
Correction du devoir
I 1° ) et 2° ) B est un point du cercle de diamètre [AC] car le triangle
ABC est rectangle en B. Donc IA = IB = IC = AB = 1 cm.
Le triangle AIB est donc équilatéral et ses angles font donc 60°
Ainsi, ♀ A = 60°.
Dans le triangle ABC on a : ♀ C = 180 – ( 90 + 60 ) = 30°
3° ) J’utilise le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en
B. On a AC² = AB² + BC² donc BC² = AC² – AB² = 2² – 1² = 3.
D’où, AC = 3 cm.
4° ) Dans le triangle ABC rectangle en B on a : cos ( ♀ A ) = AB
AC = sin (♀
B ) donc cos ( 60 ) = 1
2 = sin ( 30 )
et cos ( ♀ B ) = BC
AC = sin (♀
A ) donc cos ( 30 ) = 3
2 = sin ( 60 ) .
On a aussi : tan ( ♀ A ) = BC
AC donc tan ( 60) = 3 et tan ( ♀
C ) = AB
BC donc tan ( 30 ) = 13 = 3 3
II 1° ) C’est le théorème de Pythagore ! 2° ) le triangle est isocèle en B donc ♀ A = ♀ C = 180 – 90
2 = 45°
3° ) On trouve les valeurs du tableau en considérant par exemple cos ( ♀ A ) , sin ( ♀ A ) et tan ( ♀ A ).
III 1° ) On considère le point A de la figure.
Les coordonnées de M sont donc M ( OA ; AM )
Or cos ( x ) = OA
OM et sin ( x ) = AM OM.
Puisque OM = 1, on a : cos ( x ) = OA et sin ( x ) = AM d’où M(cos ( x ) ; sin ( x ))
2° ) a ) cas x = 0 : M ( 1 ; 0 ) donc cos ( 0 ) = 1 et sin ( 0 ) = 0
b ) tan ( 0 ) = sin(0)
cos(0) = 0 1 = 0
3° ) cas x = 90 : M ( 0 ; 1 ) donc cos ( 90 ) = 0 et sin ( 90 ) = 1
4° ) a ) cas x = 180 : M ( – 1 ; 0 ) donc cos ( 180 ) = – 1 et sin ( 180 ) = 0
b ) On considère la figure ci-dessous où l’on cherche les coordonnées de N (cos ( 90 + x ) ; sin ( 90 + x ))
Il faut donc trouver OB et BN car N ( – OB ; BN )
On peut remarquer que les triangles OBN et OAM sont superposables car
☺
OMA = ☺ BON = 180 – ( 90 + x ) = 90 – x et donc ☺ BNO = 180 – ( 90 + 90 – x ) = x °.
Ainsi, OA = BN et que AM = OB donc N ( – AM ; OA ) donc N ( – sin ( x ) ; cos ( x ))
On trouve donc que cos ( 90 + x ) = – sin ( x ) et sin ( 90 + x ) = cos ( x )
x 0° 30° 45° 60° 90°
cos ( x ) 1 3
2 2 2 1
2 0
sin ( x ) 0 1
2 2
2 3 2 1
tan ( x ) 0 3
3
1 3 ∅