Mathématique

Mathématique
Sylvie Jancart
[email protected]
Septembre 2015
Trigonométrie
Le cercle trigonométrique est un cercle tracé dans le plan muni d’un repère
orthonormé (0,~ı, ~) , ayant son centre à l’origine et de rayon 1 . Il est orienté
positivement (c’est-à-dire dans le sens opposé à celui des aiguilles d’une
montre).
Représentons l’angle orienté α par un couple de demi-droites dont l’une d’elles,
prise comme demi-droite origine, est la demi-droite 0X .
Y
α
→
j
0
M
→
i
x
X
Trigonométrie
Un angle se mesure en radians ou en degrés. La mesure de l’angle α en radians,
notée mesr α , est égale au rapport entre l’arc s intercepté et le rayon R du
cercle
s
mesr α =
·
R
Pour obtenir la mesure en degré on se sert des conventions suivantes :
1 tour = 3600 = 2π rd
L’angle droit vaut 900 ou π2 rd.
L’angle plat vaut 1800 ou π rd.
L’angle tour vaut 3600 ou 2π rd.
1 rd ⇔
3600
≈ 570 170 4500 .
2π
Trigonométrie : les nombres trigonométriques
Considérons un angle orienté α rapporté au cercle trigonométrique
Désignons par
P le point commun au côté extrémité de α et au cercle trigonométrique ;
P 0 la projection orthogonale de P sur OX , et
P 00 la projection orthogonale de P sur OY .
Y
J
P(cos α,sin α)
P''
α
I'
0
I
P'
X
J'
Les coordonnées du point P dans le repère (0,~ı, ~) sont (cos α, sin α) .
Les nombres trigonométriques
On note cos α, l’abscisse du point P et sin α, l’ordonnée du point P.
L’axe 0X est l’axe des cosinus et l’axe 0Y celui d’axe des sinus.
Y
J
P(cos α,sin α)
P''
α
I'
0
I
P'
X
J'
Conséquences
sin
cos
00
0 radian
0
1
π
2
900
radians
1
0
1800
π radians
0
−1
−1 ≤ cos α ≤ 1 et −1 ≤ sin α ≤ 1 .
cos2 α + sin2 α = 1, l’égalité fondamentale
3π
2
2700
radians
−1
0
Les nombres trigonométriques
Tangente, cotangente, sécante et cosécante d’un angle
Ces nombres trigonométriques sont définis de la façon suivante :
tan α =
sin α
cos α
,
sec α =
1
cos α
cot α =
cos α
sin α
,
cosec α =
1
sin α
Nous utiliserons tan ou tg pour désigner la tangente
,
Les nombres trigonométriques : tangente, cotangente
D1
Y
D2
T2
J
P T1
I
0
X
Traçons D1 (respectivement D2 ), la tangente au cercle trigonométrique en I
(respectivement en J ). T1 (respectivement T2 ) est l’intersection de la
demi-droite 0P avec D1 (respectivement D2 ).
Alors,
tan α est l’ordonnée du point T1 , cot α est l’abscisse du point T2 .
On a donc
T1 (1, tan α) , T2 (cot α, 1) .
L’axe IT1 est l’axe des tangentes, l’axe JT2 est l’axe des cotangentes.
Les nombres trigonométriques : tangente, cotangente
Conséquence :
tan
cot
00
0 radian
0
−
π
2
900
radian
−
0
1800
π radian
0
−
3π
2
2700
radian
−
0
Les barres horizontales précisent les angles orientés dont la tangente ou la
cotangente n’est pas définie.
Les nombres trigonométriques : sécante et cosécante
D1
Y
D2
T2
J
P T1
I
0
X
La distance 0T1 est la sécante de l’angle et la distance 0T2 est la cosécante.
Remarque:
A chaque point P, on associe plusieurs angles de mesure α + 2kπ, k ∈ ZZ.
Les angles associés
Angles opposés
Y
P(x,y)
α I(1,0)
0
−α
X
Q(x,-y)
Considérons deux angles opposés α et −α rapportés au cercle trigonométrique.
On voit que
cos(−α) = cos α ,
sin(−α) = − sin α ,
et donc
tan (−α) = − tan α ,
cot (−α) = − cot α .
Les angles associés
Angles supplémentaires
Deux angles orientés sont supplémentaires si et seulement si leur somme vaut
l’angle plat, c’est-à-dire1800 .
Y
Q(-x,y)
180°−α
P(x,y)
α I(1,0)
0
X
On voit que
sin(1800 − α) = sin α ,
cos(1800 − α) = − cos α ,
et donc
tan (1800 − α) = − tan α ,
cot (1800 − α) = − cot α .
Les angles associés
Angles antisupplémentaires
Deux angles orientés sont antisupplémentaires si et seulement si leur différence
vaut l’angle plat, c’est-à-dire 1800 .
Y
180°+α
P(x,y)
α I(1,0)
0
X
Q(-x,-y)
On voit que
sin(1800 + α) = − sin α ,
cos(1800 + α)= − cos α ,
et donc
tan (1800 + α) =tan α ,
cot (1800 + α) = cot α .
Les angles associés
Angles complémentaires
Deux angles orientés sont complémentaires si et seulement si leur somme vaut
l’angle droit, c’est-à-dire 900 .
Y
Q(y,x)
90° P(x,y)
-α
α I(1,0)
0
X
On voit que
sin(900 − α) = cos α ,
et donc
tan (900 − α) =cot α ,
cos(900 − α) = sin α ,
cot (900 − α) =tan α .
Les angles associés
Nombres trigonométriques d’angles remarquables
00
300
450
600
900
1800
0
π
6
π
0
1
0
cos
1
1
2
√
3
2
√
3
3
π
3
√
3
2
π
2
sin
π
4
√
2
2
√
2
2
1
2
0
−1
+∞ | −∞
0
tan
0
1
√
3
Remarque :
Ces valeurs doivent être retrouvées rapidement en se référant au cercle
trigonométrique.
De plus, les conclusions relatives aux nombres trigonométriques des angles
associés sont importantes ; elles doivent également pouvoir être retrouvées très
rapidement en se référant au cercle trigonométrique.
Formulaire de trigonométrie
Formule fondamentale :
sin2 α + cos2 α = 1
Formules d’addition :
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin(α − β) = sin α cos β − sin β cos α
tan (α + β) =
tanα+tanβ
1−tanαtanβ
tan (α − β) =
tanα−tanβ
1+tanαtanβ
si
tan α· tan β ∈
/ {−1, 1}
Formulaire de trigonométrie
Formules de multiplication :
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α
tan 2α =
2tanα
1−tan2 α
si
tan α ∈
/ {−1, 1}
Formules de Carnot :
1 + cos α = 2 cos2
α
2
1 − cos α = 2 sin2
α
2
si
sin α =
2tan α
2
1+tan2 α
2
cos α =
1−tan2 α
2
1+tan2 α
2
tan α =
2tan α
2
1−tan2 α
2
tan
α
2
∈
/ {−1, 1}
Formulaire de trigonométrie
Formules de Simpson :
cos p + cos q = 2 cos
p+q
2
cos p − cos q = −2 sin
p−q
2
cos
p+q
2
sin
p−q
2
sin p + sin q = 2 sin
p+q
2
cos
p−q
2
sin p − sin q = 2 cos
p+q
2
sin
p−q
2
Exercices
1
2
3
4
5
Calculer sans calculatrice le sin 1200 et le cos 2400
8
4
Si cos α =
et sin β = , calculer cos(α + β) et sin(α − β)
17
5
b
Si tan x = calculer a cos 2x + b sin 2x
a
1 − cos 2x + sin 2x
Montrer que
=tan x
1 + cos 2x + sin 2x
Vérifier l’identité sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α