Ch.10 - Équations différentielles linéaires

10. Équations différentielles linéaires
II - Rappel : équations linéaires scalaires d’ordre 1
1) Structure de l’ensemble des solutions
Idésigne un intervalle non trivial de R,K=Rou C;aet bsont des applications continues de Idans
K. On considère les équations différentielles :
(E)y
′
=a(t)y+b(t)et (H)y
′
=a(t)y
•L’ensemble S
I
(H)des solutions de (H)sur Iest la droite vectorielle
S
I
(H) = t→ λ.e
A(t)
, λ ∈K
cela pour toute primitive Ade asur I.
•L’ensemble S
I
(E)des solutions de (E)sur Iest une droite affine
S
I
(E) = t→ f
0
(t) + λ.e
A(t)
, λ ∈K
cela pour toute primitive Ade asur Iet toute “solution particulière” f
0
de (E)(il en existe !).
•Problème de Cauchy : pour tout (t
0
, y
0
)∈I×K, il existe une unique solution fde (E)sur I
telle que f(t
0
) = y
0
, donnée par
∀t∈I f (t) = e
A
0
(t)
·y
0
+
t
t
0
e
−A
0
(s)
b(s).dsoù A
0
:t→ 
t
t
0
a(u).du
NB : dans le cas d’une équation linéaire non résolue en y
′
, de la forme : u(t)y
′
+v(t)y=w(t), les
résultats précédents s’appliquent sur tout intervalle où une s’annule pas (et où u, v, w sont
continues !).
On peut examiner ensuite les raccordements des solutions obtenues sur des intervalles adjacents.
2) Détermination pratique d’une “solution particulière”
•Méthode de variation de la constante : après avoir déterminé une primitive Ade a, on trouve
une solution de (E)sous la forme t→ λ(t)e
A(t)
,λ∈ C
1
(I, K)(puisqu’on connaît la structure de
l’ensemble des solutions, il suffit de trouver une fonction λqui convienne). En effet, si y=λ(t)e
A(t)
,
y
′
=λ
′
(t)e
A(t)
+λ(t)a(t)e
A(t)
, donc yest solution de (E)si et seulement si
∀t∈I λ
′
(t) = b(t)e
−A(t)
(on retrouve ainsi l’expression de la solution du problème de Cauchy).
•Éviter la variation de la constante lorsqu’il apparaît une solution “évidente” (constante, . . . ).
•Cas où aest une constante et b(t) = P(t)e
kt
,k∈K,P∈K[X]: le changement de fonction
inconnue y=ze
kt
(zest définie par z=ye
−kt
) permet de se ramener à l’équation z
′
+(k−a)z=P,
banale si k=aet admettant sinon une unique solution polynomiale de même degré que P, que l’on
peut déterminer à l’aide de coefficients indéterminés.
•Principe de superposition des solutions : pour obtenir une solution de
(E)y
′
=a(t)y+b
1
(t) + b
2
(t)
il suffit d’ajouter y
1
et y
2
, solutions respectives de
(E
1
)y
′
=a(t)y+b
1
(t)et (E
2
)y
′
=a(t)y+b
2
(t)
(le coefficient de yest le même !).
•Penser enfin à déterminer et éventuellement reconnaître les solutions développables en série entière.

10. Équations différentielles linéaires Page 2
IIII - Systèmes différentiels linéaires d’ordre 1 — Généralités
1) Notations
Soient Iun intervalle de R,nun entier naturel au moins égal à 2, Aune application continue de Idans
M
n
(K),Bune application continue de Idans F=M
n,1
(K); le système différentiel
(S)X
′
=A(t)X+B(t)
d’inconnue X:I→Fest dit système différentiel linéaire d’ordre 1.
ϕest une solution de (S)sur Isi et seulement si ϕest une application de Idans F, dérivable sur Iet
telle que
∀t∈I ϕ
′
(t) = A(t)ϕ(t) + B(t)
Si l’on note A=
a
1,1
··· a
1,n
.
.
.....
.
.
a
n,1
··· a
n,n
,B=
b
1
.
.
.
b
n
et X=
x
1
.
.
.
x
n
alors (S)s’écrit
x
′
1
=a
1,1
(t)x
1
+···+a
1,n
(t)x
n
+b
1
(t)
.
.
..
.
.
x
′
n
=a
n,1
(t)x
1
+···+a
n,n
(t)x
n
+b
n
(t)
NB : une équation différentielle linéaire scalaire d’ordre nrésolue en y
(n)
équivaut à un système dif-
férentiel d’ordre 1 en dimension n; par exemple (cf. § IV), fest solution de
(E)y
′′
+u(t)y
′
+v(t)y=w(t)
si et seulement si t→ f(t)
f
′
(t)est solution de
(S)X
′
=A(t)X+B(t)où A(t) = 0 1
−v(t)−u(t)et B(t) = 0 w(t)
2) Structure de l’ensemble des solutions
Théorème de Cauchy linéaire : soient A:I→ M
n
(K)et B:I→Fcontinues.
Pour tout (t
0
, X
0
)∈I×F, le problème de Cauchy
X
′
=A(t)X+B(t)
X(t
0
) = X
0
admet une unique solution sur I(dém. hors programme).
Corollaire :
1) L’ensemble S
I
(H)des solutions sur Idu système homogène associé (H)X
′
=A(t)Xest un
sous-espace vectoriel de C
1
I, F , de dimension n.
Pour tout t
0
∈I, l’application S
I
(H)→ M
n,1
(K)
ψ→ ψ(t
0
)
est un isomorphisme.
2) L’ensemble S
I
(S)des solutions sur Ide (S)est un sous-espace affine de C
1
I, F , de direction
S
I
(H), c’est-à-dire que, pour toute solution “particulière” ϕ
0
de (S),
S
I
(S) = ϕ
0
+S
I
(H) = ϕ
0
+ψ, ψ ∈ S
I
(H)
(on dit que la forme de la solution générale de (S)est la somme d’une solution particulière et de la
solution générale du système homogène associé).
Définition : on appelle système fondamental de solutions de (H)toute base (e
1
, . . . , e
n
)de S
I
(H)et
wronskien de (e
1
, . . . , e
n
)dans une base Bde Fl’application
W:t→ det
B
e
1
(t), . . . , e
n
(t).

10. Équations différentielles linéaires Page 3
Caractérisation : soit (e
1
, . . . , e
n
)une famille de nsolutions de (H).
Les assertions suivantes sont équivalentes :
1) (e
1
, . . . , e
n
)est une base de S
I
(H);
2) il existe t
0
dans Itel que (e
1
(t
0
), . . . , e
n
(t
0
)) soit une base de F;
3) pour tout tdans I,(e
1
(t), . . . , e
n
(t)) est une base de F.
NB : il en résulte que le wronskien d’une famille de nsolutions de (H)est soit toujours soit jamais
nul.
Complément hors programme : cela était prévisible car
∀t∈I W
′
(t) = Tr A(t).W (t).
(Cf. polycop en annexe. . . )
3) Complément hors programme : méthode de variation des constantes
Théorème : soient (e
1
, . . . , e
n
)une base de S
I
(H)et ϕ:I→Fdérivable. Il existe une unique
famille (λ
1
, . . . , λ
n
)d’applications dérivables de Idans Ktelle que ϕ=
n
j=1
λ
j
.e
j
et l’on a
l’équivalence :
ϕ=
n
j=1
λ
j
.e
j
∈ S
I
(S)⇔ ∀t∈I
n
j=1
λ
′
j
(t).e
j
(t) = B(t).
On en déduit les λ
′
j
(t)par résolution d’un système de Cramer, puis les λ
j
par ncalculs
de primitives.
Dém. Soient B= (ε
1
, . . . , ε
n
)une base de F,ϕ
i
les applications coordonnées de ϕrelativement à Bet,
pour tout tde I,M(t) = m
i,j
(t)la matrice dans Bdu système de vecteurs (e
1
(t), . . . , e
n
(t)) :
∀t∈I ϕ (t) =
n
i=1
ϕ
i
(t).ε
i
et ∀j∈N
n
e
j
(t) =
n
i=1
m
i,j
(t).ε
i
.
Alors, par unicité des coordonnées dans la base B,
ϕ=
n
j=1
λ
j
.e
j
⇔ ∀t∈I
ϕ
1
(t)
.
.
.
ϕ
n
(t)
=M(t)×
λ
1
(t)
.
.
.
λ
n
(t)
or M(t)est inversible pour tout tet les coefficients de M(t)
−1
sont des fonctions dérivables de t(cf.
les formules de Cramer ou la formule donnant l’inverse d’une matrice en fonction de sa comatrice !).
D’où l’existence et l’unicité de (λ
1
, . . . , λ
n
). De plus,
ϕ
′
=
n
j=1
λ
j
.e
′
j
+
n
j=1
λ
′
j
.e
j
et ∀j∀t∈I e
′
j
(t) = A(t)e
j
(t)
puisque e
j
∈ S
I
(H). D’où : ∀t∈I ϕ
′
(t) = A(t)ϕ(t) +
n
j=1
λ
′
j
(t)·e
j
(t),
ce qui achève la démonstration.

10. Équations différentielles linéaires Page 4
IIIIII - Systèmes linéaires d’ordre 1 à coefficients constants
1) Résultats généraux
Soient A∈ M
n
(K)et B∈ C
0
(I, F ); le système différentiel
(E)X
′
=AX +B(t)
ressortit du paragraphe précédent, avec, pour tout t,A(t) = A(Aest une application constante de I
dans M
n
(K)!).
On dispose donc des résultats du § II : théorème de Cauchy-Lipschitz, structure de l’ensemble des
solutions.
Pour la résolution pratique, on peut réduire la matrice A.
2) Cas où A est diagonalisable
Soit P∈GL
n
(K)telle que P
−1
AP =D= diag (α
1
, . . . , α
n
). On effectue le changement de fonction
inconnue X=P Y ;Pétant à coefficients constants, on a
X=P Y ;X
′
=P Y
′
;Y=P
−1
X;Y
′
=P
−1
X
′
d’où :
X
′
=AX +B(t)⇔Y
′
=DY +P
−1
B(t).
On est donc ramené à un système de la forme :
y
′
1
=α
1
·y
1
+β
1
(t)
.
.
.
y
′
n
=α
n
·y
n
+β
n
(t)
qui consiste en néquations linéaires scalaires d’ordre 1 (découplées). On en tire Ypuis X=P Y .
Espace des solutions du système homogène associé :
Si C
j
désigne le j-ième vecteur colonne de la matrice P, on a directement une base de S
I
(H):
S
I
(H) = Vect t→ e
α
j
t
·C
j
1≤j≤n
NB : penser à diagonaliser sur Cune matrice de M
n
(R)(cf. exemple 2) ci-dessous).
Exemples : 1) x
′
= 5x−2y+e
t
y
′
=−x+ 6y+t; 2) 
x
′
=x+y
y
′
=−x+ 2y+z
z
′
=x+z
.
3) Exemples où A n’est pas diagonalisable
Idée : trigonaliser A(c’est toujours possible sur C) et utiliser le changement de fonction inconnue
du paragraphe précédent ; on obtient un système triangulaire qui permet de déterminer de proche en
proche les fonctions inconnues, en partant de la dernière équation.
Exemples : 1) (S)x
′
=x+y+ sin t
y
′
=−x+ 3y; 2) (S)
x
′
= 2y+ 2z
y
′
=−x+ 2y+ 2z
z
′
=−x+y+ 3z
.
4) Amortissement
Lorsque toutes les valeurs propres (éventuellement complexes) de Aont une partie réelle strictement
négative, les solutions du système homogène associé admettent toutes 0 pour limite en +∞.

10. Équations différentielles linéaires Page 5
IVIV - Équations linéaires scalaires d’ordre 2
1) Résultats généraux
Soient u, v, w éléments de C
0
(I, K)et : (E)y
′′
+u(t)·y
′
+v(t)·y=w(t)
NB : une équation différentielle de la forme : a(t)y
′′
+b(t)y
′
+c(t)y=d(t)se ramène au cas précédent
sur tout intervalle où a(t)ne s’annule pas.
Système différentiel d’ordre 1 associé :fest solution de (E)si et seulement si t→ f(t)
f
′
(t)est
solution de
(S)X
′
=A(t)X+B(t)où A(t) = 0 1
−v(t)−u(t)et B(t) = 0 w(t).
Ainsi les résultats du § II s’appliquent.
Théorème de Cauchy linéaire : pour tout (t
0
, y
0
, y
′
0
)∈I×K
2
, le problème de Cauchy
y
′′
+u(t)y
′
+v(t)y=w(t)
y(t
0
) = y
0
;y
′
(t
0
) = y
′
0
admet une unique solution sur I.
Corollaire :
1) L’ensemble S
I
(H)des solutions sur Ide (H)y
′′
+u(t)y
′
+v(t)y= 0 est un sous-espace vectoriel
de C
2
(I, K), de dimension 2.
2) L’ensemble S
I
(E)des solutions sur Ide (E)est un sous-espace affine de C
2
(I, K), de direction
S
I
(H).
Attention ! Contrairement à l’ordre 1, il n’y a pas de méthode générale pour résoudre (H)...
On appelle système fondamental de solutions de (H)toute base (ϕ, ψ)de S
I
(H);
Le wronskien de (ϕ, ψ)est W:t→ ϕ(t)ψ(t)
ϕ
′
(t)ψ
′
(t);(ϕ, ψ)est une base de S
I
(H)si et seulement s’il
existe t
0
dans Itel que W(t
0
)= 0, ce qui équivaut encore à : ∀t∈I W (t)= 0.
NB : il est facile de vérifier ici que W
′
(t) = −u(t)W(t).
2) Cas où (H) est à coefficients constants
Soient (a, b)∈K
2
et : (E)y
′′
+ay
′
+by =w(t) ; (H)y
′′
+ay
′
+by = 0.
Théorème : on connaît une base de l’espace des solutions de (H)en fonction des solutions de l’équation
caractéristique (C)r
2
+ar +b= 0 :
∗Si (C)admet deux solutions distinctes α, β dans K, alors
ϕ:t→ e
αt
et ψ:t→ e
βt
conviennent.
∗Si (C)admet une solution double αdans K, alors
ϕ:t→ e
αt
et ψ:t→ t.e
αt
conviennent.
∗Si K=Ret (C)admet pour solutions r±iω dans C\R, alors
ϕ:t→ e
rt
.cos ωt et ψ:t→ e
rt
.sin ωt conviennent.
Obtention d’une solution particulière de (E):
•Rechercher une solution “évidente” (constante, fonction de forme particulière suggérée par l’énoncé. .. ).
•Cas où w(t) = P(t)e
kt
,k∈K,P∈K[X]: le changement de fonction inconnue y=ze
kt
(zest
définie par z=ye
−kt
) permet de se ramener à l’équation z
′′
+ (2k+a)z
′
+k
2
+ak +bz=P,
banale si kest racine double de (C), admettant une unique solution polynomiale de même degré
que Psi kn’est pas racine de (C); si kest racine simple de (C), on obtient z
′
polynomial de même
degré que P. Penser à utiliser des coefficients indéterminés et Re ou Im s’il y a un cos ou un sin au
second membre.
•Principe de superposition des solutions : même idée qu’au § I-2)
•Penser enfin à déterminer et éventuellement reconnaître les solutions développables en série entière.