Groupe de Travail Angers-Nantes 2006

Groupe de Travail Angers-Nantes 2006-2007
Exposé 5 : Champ topologique
Jean-Claude Thomas
May 28, 2007
Cet exposé est une introduction à la théorie des champs topologiques. Le matériel exposé ici est issu de [9]
et de [10].
1
1.1
Introduction
Histoire
La notion de champ algébrique à été introduite par A. Grothendieck, développée par P. Deligne
et D. Mumford en 1969 et étendue par M. Artin en 1974. Le livre de G. Laumon et L. MoretBailly, [6], constitue un exposé complet de cette théorie. Les travaux de J.-P. Serre et H. Bass
sur les graphes de groupes, ceux de W. Thurston sur les l’étude des orbi-variétés et les résultats
récents de Freed-Hopkins-Teleman ont motivé l’introduction de la notion de champ topologique
et celle de champ différentiable (Voir par exemple, [4], [8], [12], [2], [1], [3],... ).
1.2
Qu’est-ce qu’un champ topologique?
Dans l’exposé 4 nous avons défini un champ sur un espace topologique X comme un 2-foncteur
(appelée aussi catégorie fibré sur X)
Ô(X)op → Grpoı̈de
qui vérifie les axiomes de recollement des objets et des flèches.
La catégorie des ouverts de X, notée O(X), est un exemple de site (Cf ci-dessous). Citons
d’autres exemples de sites :
a) la catégorie T des espaces topologiques de Tychonoff à base dénombrable. C’est une petite
catégorie qui est fermée par limites et colimites finies. (Top n’est pas une petite catégorie)
b) la catégorie V des variétés différentiables dont l’espace topologique sous-jacent est un espace
séparé à base dénombrable. C’est une petite catégorie. (Var est fermée par produits et coproduits finis mais pas par pullbacks ni par pushouts.)
c) Sch la catégorie des schémas.
Une extension de la définition de champ sur un espace topologique conduit à celle de champ
sur un site arbitraire. Un champ topologique (resp. différentiable, algébrique) est un champ sur
le site T, (resp. V, Sch) qui admet une “carte qui est une fibration localement triviale”.
Le reste de l’exposé consiste à expliciter ces dernières lignes dans le cas topologique . Pour
le cas algébrique (resp. différentiable) nous renvoyons à [11], [5] ou [6] (resp. [9], [8]).
1
2
Rappels des notations introduites dans l’exposé 4
Toute catégorie C peut être considérée comme une 2-catégorie


 Objets : ceux de C
op
1-morphismes : les flèches de C
Ĉ :
et Ĉ
:

 2-morphismes : les seules id : f =⇒ f
f


 Objets : ceux de C
1-morphismes : les flèches de Cop

 2-morphismes : les seules id : f =⇒ f
f

Objets : groupoı̈des G, H, ...




(
x 7→ Φ(x)
ϕ 7→ Φ(ϕ)
τ
2-morphismes : Φ =⇒ Ψ (transformation naturelle)
(
Objets :X, Y
Soient C :
un catégorie et Ĉ la 2-catégorie associée.
f
Flèches :X → X
Une catégorie fibrée au-dessus de C est un 2-foncteur
Grpoı̈de la 2-catégorie
Φ
1-morphismes : G → H (foncteur) ,




op F
Ĉ
→ Grpoı̈de

X 7→ F(X) (F(X)
est un groupoı̈de)




f ∗ :=F(f )
f

(Y → X) 7→ F(X)


g
f


 (Z → Y → X) 7→
→
(f ◦
(f ∗ est un foncteur)
F(Y )
F(f,g)
g)∗ =⇒
g∗f ∗
h
(F(f, g) est un isomorphisme naturel)
F(f ◦g,h)
(f ◦ g ◦ h)∗
tel que pour tout W → Z le diagramme (∗)
h∗ F(f,g)
F(f,g◦h)
(g ◦ h)∗ f ∗
op F
+3 k ∗ (f ◦ g)∗
F(g,h)f ∗
op G
commute.
+3 h∗ g ∗ f ∗
Etant donné deux catégories fibrées Ĉ → Grpoı̈de et Ĉ → Grpoı̈de, un morphisme de
catégoriesfibrées (un 1-morphisme) est la donnée (

x 7→ FX (x)
FX



 X ∈ C0 , F(X) → G(X)(un foncteur) ϕ 7→ FX (ϕ)
F
F→G





3
3.1
f ∈ C(Y, X) ,
Ff
FY f ∗ =⇒ f ∗ FX (un isomorphisme naturel)
Champ sur un site
Site
Fixons une catégorie C.
(1) Etant donné un objet X de C un crible sur X (sieve en anglais) est une famille de flèches
de but X, notée S, telle que si i ∈ S et si •
j
/•
i
3/ X existe alors i ◦ j ∈ S.
i◦j
(2) Etant donné une flèche k ∈ C(Y, X) le pull-back du crible S le long de k est le crible
k ∗ S = {j , t(j) = Y , k ◦ j ∈ S}.
(3) Le crible maximal sur X est tX := {i , t(i) = X}.
(4) Une topologie de Grothendieck sur C est la donnée pour chaque objet X de C d’une famille
de cribles, notée J(X), telle que :
1. tX ∈ J(X),
2. Si S ∈ J(X) alors pour toute flèche k ∈ C(Y, X) nous obtenons k ∗ S ∈ J(Y )
2
3. Soit S ∈ J(X). Pour tout crible R sur X vérifiant, pour toute flèche k ∈ C(Y, X),
k ∗ R(−, X) ∈ J(Y ) alors R(−, X) ∈ J(X).
(5) Un site est une petite catégorie qui possède une topologie de Grothendieck.
(6) Une famille couvrante de X est une famille de flèches de C de but X qui vérifie :
1. si i : Y → X est un iso alors {i} est une famille couvrante de X.
2. si {iα : Xα → X}α∈Λ est une famille couvrante de X alors pour tout α ∈ Λ et tout
j ∈ C(Z, X) le pullback
Xα ×iα ,j Z
1
πα
Xα ×iα ,j Z
existe dans C et
2
πα
/Z
/Z
j
Xα
(
2
πα
iα
/X
)
est une famille couvrante de Z.
α∈Λ
3. Si {iα : Xα → X}α∈Λ est une famille couvrante de X et si pour chaque α ∈ Λ il existe
une famille couvrante {jα,β : Xα,β → Xα }β∈Ωα de Yα alors {iα ◦ jα,β : Xα,β → X}α∈Λ,β∈Ωα est
une famille couvrante de X.
(7) Une base de la topologie J de C est la donnée pour chaque objet X de C d’un ensemble
K(X) de familles couvrantes satisfaisant :
S ∈ J(X) ssi ∃R ∈ K(X) tel que R ⊂ S .
Exemples.
1) O(X) est un site.
Un crible de X est la donnée d’un ouvert U de X ainsi que tous les ouverts V ⊂ U .
L’ensemble, noté tU , des ouverts de X contenu dans U est appelé la topologie de U . C’est le
crible maximal de U .
U 7→ J(U ) = {tU } définit une topologie de Grothendieck car 2. signifie que les inclusions sont
continues et 3. que si V ⊂ U alors un ouvert de V est un ouvert de U .
Une famille couvrante de U est la donnée d’un recouvrement ouvert de U ainsi que tous ses
raffinements.
2) Soit X un objet de T alors la catégorie des objets sur X, notée T/X est un crible.
u
Prenons comme famille couvrante de l’objet Y → X une famille, indexée par α ∈ Λ, de triangles
commutatifs
Yα A
AA
AA
uα AAA
iα
/Y
[
~
~
~
telle
que
chaque
i
soit
un
plongement
ouvert
et
iα (Yα ) =
α
~
~~ u
α∈Λ
~
~
X
Y . Lorsque X = {∗} alors T/X = T est un site.
3) Soit X un objet de V alors la catégorie des objets sur X, notée V/X est un crible.
Une famille couvrante est définie comme ci-dessus mais ici l’existence du pull-back dans l’axiome
2. est à établir, [9, Lemma 71].
Lorsque X = {∗} alors V/X = V est un site.
3.2
Faisceau d’ensembles sur un site
1) Un préfaisceau sur une catégorie C est un foncteur F : Cop → Ens
2) Soit (C, J) un site et F un préfaisceau sur C. Une famille d’éléments compatibles sur un
objet X de C est un une famille {iα , xα }α∈Λ où
a ) { Xα
iα
/ X }α∈Λ est une famille couvrante de X
3
b) pour chaque α ∈ Λ, d’un objet xα de F(Xα ) vérifiant, pour tout α, β ∈ Λ,
Xα,β
F(iαα,β )(xα ) = F(iβα,β )(xβ )
lorsque l’on considère les pullbacks
iα
α,β
iβ
α,β
/ Xβ
.
iβ
Xα
/X
iα
3) Un préfaisceau séparé d’ensembles (resp. un faisceau d’ensemble ) sur un site (C, J) est
un préfaisceau F tel que pour tout objet X et tout famille{xα }α∈Λ d’éléments compatibles sur
X il existe au plus un (resp. un et un seul) élément x ∈ F(X) tel que
F(fα )(x) = xα .
Exemple. La notion de faisceau associé à un préfaisceau se généralise aisément.
3.3
Catégorie de descente
op F
Soient (C, J) un site, X un objet de C et Ĉ
iα
A une famille couvrante { Xα
iα
α,β
Xα,β
v;
vv
v
v
vv iβ
vv
α,β
iα,β
α,β,γ
Xα,β,γ WWW
WWWWW
iα,γ
α,β,γ
→ Grpoı̈de une catégorie fibrée.
/ X }α∈Λ d’un objet X de C sont associés les diagrammes
/ Xα ,
<
z
α
iα,γ zz
z
zz
zz
/ Xα,γ
iα
γ
WWWWiWα,β,γ
WWWWW iα,γ
WWWWW
WWWWW +/
iβ,γ
X
β
α,β,γ
β
<X
iβ
iβ,γ v;
z
zz
vv
z
v
z
v
zz
vv
vv
zz iγ
/ Xγ
Xβ,γ
r
rrr
r
r
r
xrrr
F(Xα,β,γ ) o
O
)∗
(iα,β
α,β,γ
O
)∗
(iβ
β,γ
F(Xα )
t
tt
tt
t
t
ty t
(iα,γ
)∗
α,β,γ
F(Xα,γ )
O
(iβ
)∗
α,β
(iα,β
)∗
α,β,γ
O
i∗α
(iγα,γ )∗
F(Xβ ) o
rr
rrr
r
r
xrrr
F(Xβ,γ ) o
iγα,γ
∗
(iα
α,β )
F(Xα,β ) o
F(X)
i∗β
t
tt
tt∗
t
t
ytt iγ
F(Xγ )
(iγβ,γ )∗
où les faces de celui de gauche sont des pullbacks et le diagramme de droite est non commutatif.
Exemples. En considérant la face postérieure et i∗α (x)
(iβα,β )∗ (xβ )
ψα,β
φα
/ i∗ (y) ou la face supérieure et
α
∗
/ (iα
α,β ) (xα ) , nous définissons une restriction φα |X
naturel près) et la restriction ψα,β |X
(définies à isomorphisme
α,β
à l’aide des diagrammes ci-dessous où les flèches vertiα,β,γ
cales sont des isomorphismes naturels :
(iαα,β )∗ ◦ i∗α (x)
∗
(iα
α,β ) (φα )
O
∼
=
∼
=
φ0α|
Xα,β
(iα,β
(iα,β
∗
∗
/ (iα
α,β ) ◦ iα (y) ,
O
)∗ (x)
KS
)∗ (x)
∼
=
(iβα,β )∗ ◦ i∗β (x)
-
(iα,β
1 (iα,β
)∗ (y)
)∗ (y)
φ00
α|
Xα,β
(iβ
)∗ (φα )
α,β
∗
(iα,β
α,β,γ )
◦
(iβα,β )∗ (xβ )
(iα,β
)∗ (ψα,β )
α,β,γ
/ (iα,β )∗ ◦ (iα )∗ (xα )
α,β,γ
O α,β
O
∼
=
∼
=
(iβα,β,γ )∗ (xβ )
ψα,β |
Xα,β,γ
∗
/ (iα
α,β,γ ) (xα )
∼
=
/ (iβ )∗ ◦ i∗ (y)
β
α,β
op
Fixons un site (C, J) et une catégorie fibrée Ĉ
associons la catégorie, notée Desc.(X), telle que :
4
F
→ Grpoı̈de. A chaque objet X de C
a) un objet est le système ({iα }α∈Λ , {xα }α∈Λ }, {ψα,β }α,β∈Λ }) où

iα

/ X }α∈Λ est une famille couvrante de X

{ Xα



 chaque x est un objet de F(X )
α
α
∗ (x ), i∗ (x ) qui vérifie

chaque
ψ
est
un
isomorphisme
de
F(X
)
i

α
α,β
α,β
β
α,β
α,β



 la condition de cocycle ψα,β
◦ ψβ,γ
= ψα,γ
|Xα,β,γ
|Xα,β,γ
|Xα,β,γ
/ ({iα }α∈Λ , {yα }α∈Λ }, {ϕα,β }α,β∈Λ }) est
b) une flèche ({iα }α∈Λ , {xα }α∈Λ }, {ψα,β }α,β∈Λ })
une famille de flèches φα ∈ F(Xα )(xα , yα ) telle que chaque diagramme commute :
(iβα,β )∗ (xβ )
ψα,β
/ (iβ )∗ (yβ )
α,β
ϕα,β
(iαα,β )∗ (xα )
3.4
(iβ
)∗ (φβ )
α,β
∗
(iα
α,β ) (φα )
∗
/ (iα
α,β ) yα )
Champs sur un site
op F
Un préchamp (resp. un champ) sur un site (C, J) est une catégorie fibrée Ĉ
que pour chaque objet X de C le foncteur
DX
→ Grpoı̈de telle

∗}
∗ (x)}
α )∗ (i ))−1 ◦ (iβ )∗ (i )}

D
(x)
=
{i
,
i
,
{((i

α
X
α∈Λ
α∈Λ
α∈Λ
β
α
α
α,β

α,β
!
∗ (f )
: F(X) → Desc.(X) ,
i
f
α
/ i∗ (x) }α∈Λ

/ y ) = { i∗ (x)

α
α
 DX ( x
est un foncteur plein et fidèle (resp. une équivalence de catégories).
Rappelons qu’un foncteur F : C → D est :
a) plein (resp. fidèle ) si étant donné deux objets c et c0 de C et une flèche g ∈ D(F (c), F (c0 ))
il existe au moins une (resp. au plus une) flèche f ∈ C(c, c)0 telle que F (f ) = g.
b) une équivalence de catégories s’il existe un foncteur G : D → C tel que GF ⇒ IdC et
F G ⇒ IdD .
La notion de préchamp sur un site est “plus rigide” que celle de champ. Le lemme 3 de
l’exposé 4 se généralise aisément.
Les champs au-dessus d’un site (C, J) forment une bicatégorie, notée Champ(C,J) , qui est
une sous-bicatégorie pleine de FibcatC .
Exemples.
1) Les exemples 1, 2, 3, 4 et de l’exposé 4 §5.2 sont des champs sur le site O(X).
2)Champ associé à un espace
topologique. Soit M un objet fixé de T. Le champ associé à

T(X, M ) >
X
→
7
M (X) :=<




op M
M est : T̂
→ Grpoı̈de






f
Y →X
f∗
M f =(u7→u◦f )
7→ < T(X, M ) >





g
f


 Z → Y → X 7→
(
champs




< T(Y, M ) >
!
g∗f ∗
M 7→ M
où u désigne le morphisme de
u
u
(M → N ) 7→ (M → N )
(
uX
f 7→ uX (f ) = u ◦ f
M (X) → N (X)
idf 7→ uX (idf ) = idu◦f
, est un plongement fidèle de catégories.
ug
g
∗
∗
g uX
(Y → X) 7→ uY g
Le foncteur T → ChampT





(f ◦ g)∗
M f,g
→
5
Une des motivations pour introduire les champs topologiques, ChampTop, est que ce foncteur
se factorise à travers le foncteur plein T → ChampTop .
3) Lemme de Yoneda. Soit F un champ sur T et X un objet de T. Il existe une équivalence
naturelle de catégories
(K,κ)
F(X) → ChampT (X, F) ,
où
K
a) X →x F





 Y ∈ T0 ,

Kx
 x 7→ K (morphisme de champs)X →
F
ϕ x
,
κϕ
 x → y 7→ Kx −→ Ky (2-morphisme)
(
Kx,Y
X(Y ) → F(Y )(un foncteur)





f 7→ Kx,Y (f ) := f ∗ (x)
idf 7→ Kx,Y (idf ) := idf (x)
.
Kx,g
g ∈ C(Z, Y ) , Kx,Z g ∗ =⇒ g ∗ Kx,Y (un isomorphisme naturel)
b) Kx,g est défini, pour tout objet f ∈ X(Y ) par (Kx,g )f = F(f, g)x : (f ◦ g)∗ (x) → g ∗ ◦ f ∗ (x)
lorsque F(f, g) désigne la transformation naturelle apparaissant dans la définition de la catégorie
fibrée F.
κϕ,Y
c) κϕ est, par définition, pour tout objet Y de T une transformation naturelle Kx,Y =⇒ Ky,Y .
Elle est définie, pour tout objet f de X(Y ) par (κϕ,Y )f := f ∗ (ϕ) : f ∗ (x) → f ∗ (y).
4) Champ associé à une catégorie fibrés F sur un site (Ĉ, J). Par définition,[6], c’est le
2-foncteur
Ĉ → Grpoı̈de , X 7→ Desc.(X) .
5) Champ associé à un groupoı̈de topologique. Soit G un groupoı̈de topologique où G0 et G1
sont des objets de T.
 On définit alors
( la catégorie fibrée

Objets :T(X, G0 )


X 7→ F(X) :=



Flèches :T(X, G1 )

op F
T̂
→ Grpoı̈de




f
(f ◦ g)∗
τ (f,g)
(Y → X) 7→ F(X) → F(Y )







g
f



 (Z → Y → X) 7→

a◦f
a
 f ∗ (X →
G0 ) = X → G0
φ
φ◦f
 f ∗ (X →
G1 ) = X → G1
!
f∗
.
g∗f ∗
Alors F est un préchamp qui n’est pas un champ. Notons G le champ associé au préchamp F
(cf exemple ci-dessus) alors G 7→ G définit un 2-foncteur de Grpoı̈de → ChampT .
6) Champ associé à une orbi-variété. A partir de l’exemple précédent et du résultat de I.
Moerdick rappelé dans l’exposé 4 (§-2.3) il est possible de caractériser, à équivalence près, les
champs sur le site V qui représentent les orbi-variétés, [9, Proposition 75].
3.5
Gerbes sur un site
Soit (C, J) un site. Un champ F sur le site (C, J) est appelé une gerbe sur (C, J) si F vérifie les
axiomes :
iα
1. Existence locale des objets Pour tout objet X de C il existe une famille couvrante {Xα →
X}α∈Λ telle que F(Xα )0 6= ∅ et ceci pour tout α ∈ Λ.
2. Isomorphisme local des objets Pour tout objet X de C et tout objet x, y de F(X), il existe
iα
une famille couvrante {Xα → X}α∈Λ telle que i∗α (x) = i∗α (y) et ceci pour tout α ∈ Λ.
Exemple. Le champ X 7→ TG (X) (cf exposé 4 (§ 3.2)) est une gerbe sur T.
6
4
Champ topologique
Dans cette section nous ne considérerons que le site (C, J) = T. Une catégorie fibrée, un
préchamp ou un champ seront supposés sur le site T.
4.1
Produit fibré de catégories fibrées
Fixons trois catégories fibrées M, M0 , N et deux morphismes de catégories fibrées
(∗)
M
/No
F
F0
M0 .
En particulier, pour chaque objet X de T et chaque flèche f ∈ T(Y, X),
(

x 7→ FX (x)

F
X


M(X) → N(X)


ϕ→
7 FX (ϕ)





M0 (X)
(
F0X
→ N(X)
x 7→ F0X (x)
ϕ 7→ F0X (ϕ)
F0f
Ff
FY f ∗ =⇒ f ∗ FX
F0Y f ∗ =⇒ f ∗ F0X
et, d’après le Lemme de Yoneda,il existe des équivalences naturelles de catégories
Kx
 x 7→ K (morphisme de champs)X →
M
(K,κ)
x
M(X) → ChampT (X, M) ,
,
κϕ
ϕ
 x→
y 7→ Kx −→ Fy (2-morphisme)
(K0 ,κ0 )
M0 (X) → ChampT (X, M0 ) ,

Kx

 x 7→ K0 x (morphisme de champs)X →
M0
ϕ 0
,
κϕ

 x → y 7→ K0 x −→ F0 y (2-morphisme)
FX Kx
Comme FX et F0X sont des 1-morphismes de Grpoı̈de les composés X
&
8 N sont
F0X K0 x0
des 1-morphismes de champs.
Le 2-produit fibré défini par (∗) est la catégorie fibrée notée M ×N M0 ou plus simplenent P
P

X


7→ P(X)


f

Y →X
f∗
7→ P(X) → P(Y )


P(f,g) ∗ ∗
g
f

∗

 Z → Y → X 7→ (f ◦ g) =⇒ g f
où le groupoı̈de P(X) = (M ×N M0 ) (X) est défini par :










Objets :



















Flèches :












x( resp. x0 ) est un objet de M(X)(resp. M0 (X))




FX Kx

(
(x, x0 , α) où
⇓ α
α est un 2-morphisme X

6N





F0X K0 x0


ϕ ∈ M(X)(x, y) , ϕ0 ∈ M0 )(X(x0 , y 0 ) telles que



α

+3 F 0 K̃0


FX K̃x

X x
0
(ϕ,ϕ )
(x, x0 , α) → (y, y 0 , β) où
le diagramme
FX κ ϕ








FX K̃x
Il est facile de vérifier :
7
β
F0X κ0ϕ
+3 F 0 K̃0
X y
commute
Proposition. Si M, M0 et N sont des champs alors il en est de même de M ×N M0 .
u
Exemple. Une application M → BG détermine :
/ EG
P
a) le fibré principal P :
M
b) le morphisme
de champ

u
/ BG
(
f 7→ UX (f ) := f ∗ (P ) , pour chaque f ∈ T(X, M )
idf 7→ UX (idf ) := idf ∗ (P )
U
(
M → BG

Ug
tel que pour chaque f ∈ T(X, M ) , (Ug )f désigne

∗
∗


 g ∈ T(Y, X) , UY g =⇒ g UX
l’isomorphisme canonique (g ◦ f )∗ (P ) ∼
= g ∗ f ∗ (P )
Nous pouvons donc considérer le produit fibré de champs

UX



 M (X) → BG(X)
M ×BG {∗}
/ {∗}
M
C
/ BG
U
c
lorsque C correspond à l’application constante {∗} → BG. Il est facile de vérifier que le champ
M ×BG {∗} est équivalent au champ P .
4.2
Champ topologique
Un champ M est topologique s’il existe un espace topologique M et un morphisme de champs
F
M → M tels que pour tout espace topologique X et pour tout morphisme de champs F0 : X →
M, le produit fibré des champs
M ×M X
P
/X
F0
M
F
/M
vérifie la condition suivante.
Il existe :
a) un espace topologique P
'
b) une équivalence de champs P → M ×M X
c) une application p : P → X admettant des section locales
'
P
M ×M IX o
tels que le diagramme
II
IIP
II
II
I$
X

p


commute.
Exemples.
1) Le champ X associé à un espace topologique X est un champ topologique.
2) Champ associé à l’action d’un groupe de Lie sur une variété
ρ
Soit M une variété différentiable et M × G → M une action différentiable d’un groupe de
Lie G sur M . On définit le champ [M/ρ] par :
[M/ρ](X) désigne le groupoı̈de dont
p
u
a) les objets sont de la forme X ←− P −→ M où p est G-fibré principal et u une application
différentiable G-équivariante.
8
p
q
u
v
b) les flèches entre X ←− P −→ M et Y ←− Q −→ M sont des morphismes de G-fibrés
principaux Φ tels que le diagramme suivant commute
~~
~~
~
~ p
~~ ~
X _@
@@
@@
q @@
P A
A
AA u
AA
AA
>M
~~
~
~
~~
~~
Φ
v
Q
A toute application différentiable f : Y → X est associé le foncteur f ∗ : [M/ρ](X) → [M/ρ](Y )
p
q
u
v
défini sur les objets par f ∗ (X ←− P −→ M ) = Y ←− f ∗ P −→ M où v désigne la composée
u
f ∗ P → P → M . La définition de f ∗ sur les morphismes est claire.
Remarquons que
1) Si M est point alors [M/ρ] = BG.
2) Si G agit librement et proprement sur M alors M → M/ρ est un G-fibré principal et
[M/ρ] = M/ρ.
3) [M/ρ] est un champ topologique, [8].
4.3
Remarques finales
1) Le cas différentiable se traite de manière semblable en considérant le site V. Par exemple,
dans la définition d’un champ différentiable, l’assertion c) doit être remplacée par “l’application
p est une submersion”. En particulier, [M/ρ] est un champ différentiable, [8].
2) Une gerbe topologique (resp. différentiable) est un champ topopologique (resp. différentiable)
qui est une gerbe.
References
[1] K. Behrend Differential stacks and gerbes mathDG/0605674
[2] K. Behrend , G. Ginot, B. Noohi et Ping Xu String product for inertia stacks Preprint (6 pages)
[3] U. Bunke et I. Schroder Twisted K-theory and TQFT Preprint (56 pages)
[4] D. Gepner et A. Henriques, Homotopy theory of orbispace, archiv:AT/0701916 v1 (51 pages).
[5] T. L. Gomez, Algebraic stacks, archiv:AG/9911199 v1 (32 pages)
[6] G. Laumon et L. Moret-Bailly, Champs algébriques, Springer-Verlag, Ergebnisse der Mathematik und ihrer
Grenzgebiete 39 1999.
[7] E. Lupercio et B. Uribe, Topological quantum field theories, Strings and Orbifolds archiv:hep-th/0605255 v1
(27 pages).
[8] J. Heinloth, Some notes on differential stacks, Mathematishes Institut seminars (Y. Tschinkel, ed.) Universität Göttingen (2004-05) 1-32.
[9] D. Metzler, Topological and Smooth stacks, archiv:math.DG/0306176 v1 (47 pages).
[10] B. Noohi, Fundation of topological stacks I, archiv:AG/0503247v1 (81 pages).
[11] C. Sorger, Lectures on moduli of principal G-bundles over algebraic curves, School of algebraic Geometry,
Triestre 1999.
[12] J.-L. Tu, Ping Xu et C. Laurent, Twisted K-theory of differential stacks, math.KT/0306138 v2 (74 pages)
9