Groupe de Travail Angers-Nantes 2006

Groupe de Travail Angers-Nantes 2006-2007
Expos´e 5 : Champ topologique
Jean-Claude Thomas
May 28, 2007
Cet expos´e est une introduction `a la th´eorie des champs topologiques. Le mat´eriel expos´e ici est issu de [9]
et de [10].
1 Introduction
1.1 Histoire
La notion de champ alg´ebrique `a ´et´e introduite par A. Grothendieck, d´evelopp´ee par P. Deligne
et D. Mumford en 1969 et ´etendue par M. Artin en 1974. Le livre de G. Laumon et L. Moret-
Bailly, [6], constitue un expos´e complet de cette th´eorie. Les travaux de J.-P. Serre et H. Bass
sur les graphes de groupes, ceux de W. Thurston sur les l’´etude des orbi-vari´et´es et les r´esultats
r´ecents de Freed-Hopkins-Teleman ont motiv´e l’introduction de la notion de champ topologique
et celle de champ diff´erentiable (Voir par exemple, [4], [8], [12], [2], [1], [3],... ).
1.2 Qu’est-ce qu’un champ topologique?
Dans l’expos´e 4 nous avons d´efini un champ sur un espace topologique Xcomme un 2-foncteur
(appel´ee aussi cat´egorie fibr´e sur X)
ˆ
O(X)op →Grpo¨ıde
qui v´erifie les axiomes de recollement des objets et des fl`eches.
La cat´egorie des ouverts de X, not´ee O(X), est un exemple de site (Cf ci-dessous). Citons
d’autres exemples de sites :
a) la cat´egorie Tdes espaces topologiques de Tychonoff `a base d´enombrable. C’est une petite
cat´egorie qui est ferm´ee par limites et colimites finies. (Top n’est pas une petite cat´egorie)
b) la cat´egorie Vdes vari´et´es diff´erentiables dont l’espace topologique sous-jacent est un espace
s´epar´e `a base d´enombrable. C’est une petite cat´egorie. (Var est ferm´ee par produits et copro-
duits finis mais pas par pullbacks ni par pushouts.)
c) Sch la cat´egorie des sch´emas.
Une extension de la d´efinition de champ sur un espace topologique conduit `a celle de champ
sur un site arbitraire. Un champ topologique (resp. diff´erentiable, alg´ebrique) est un champ sur
le site T, (resp. V,Sch) qui admet une “carte qui est une fibration localement triviale”.
Le reste de l’expos´e consiste `a expliciter ces derni`eres lignes dans le cas topologique . Pour
le cas alg´ebrique (resp. diff´erentiable) nous renvoyons `a [11], [5] ou [6] (resp. [9], [8]).
1

2 Rappels des notations introduites dans l’expos´e 4
Toute cat´egorie Cpeut ˆetre consid´er´ee comme une 2-cat´egorie
ˆ
C:
Objets : ceux de C
1-morphismes : les fl`eches de C
2-morphismes : les seules idf:f=⇒f
et ˆ Cop :
Objets : ceux de C
1-morphismes : les fl`eches de Cop
2-morphismes : les seules idf:f=⇒f
Grpo¨ıde la 2-cat´egorie 
Objets : groupo¨ıdes G,H, ...
1-morphismes : GΦ →H(foncteur) ,(x7→ Φ(x)
ϕ7→ Φ(ϕ)
2-morphismes : Φ τ =⇒Ψ (transformation naturelle)
Soient C:(Objets :X, Y
Fl`eches :Xf →Xun cat´egorie et ˆ
Cla 2-cat´egorie associ´ee.
Une cat´egorie fibr´ee au-dessus de Cest un 2-foncteur
ˆ
Cop F →Grpo¨ıde 
X7→ F(X) (F(X) est un groupo¨ıde)
(Yf →X)7→ F(X)f∗:=F(f) →F(Y)(f∗est un foncteur)
(Zg →Yf →X)7→ (f◦g)∗F(f,g) =⇒g∗f∗(F(f, g) est un isomorphisme naturel)
tel que pour tout Wh →Zle diagramme (∗)
(f◦g◦h)∗F(f◦g,h)+3
F(f,g◦h)
k∗(f◦g)∗
h∗F(f,g)
(g◦h)∗f∗
F(g,h)f∗+3h∗g∗f∗
commute.
Etant donn´e deux cat´egories fibr´ees ˆ Cop F →Grpo¨ıde et ˆ Cop G →Grpo¨ıde, un morphisme de
cat´egories fibr´ees (un 1-morphisme) est la donn´ee
FF →G
X∈C0,F(X)FX →G(X)(un foncteur) (x7→ FX(x)
ϕ7→ FX(ϕ)
f∈C(Y, X),FYf∗Ff =⇒f∗FX(un isomorphisme naturel)
3 Champ sur un site
3.1 Site
Fixons une cat´egorie C.
(1) Etant donn´e un objet Xde Cun crible sur X(sieve en anglais) est une famille de fl`eches
de but X, not´ee S, telle que si i∈Set si •j//
i◦j
33
•i//Xexiste alors i◦j∈S.
(2) Etant donn´e une fl`eche k∈C(Y, X) le pull-back du crible Sle long de kest le crible
k∗S={j , t(j) = Y , k ◦j∈S}.
(3) Le crible maximal sur Xest tX:= {i , t(i) = X}.
(4) Une topologie de Grothendieck sur Cest la donn´ee pour chaque objet Xde Cd’une famille
de cribles, not´ee J(X), telle que :
1. tX∈J(X),
2. Si S∈J(X) alors pour toute fl`eche k∈C(Y, X) nous obtenons k∗S∈J(Y)
2

3. Soit S∈J(X). Pour tout crible Rsur Xv´erifiant, pour toute fl`eche k∈C(Y, X),
k∗R(−, X)∈J(Y) alors R(−, X)∈J(X).
(5) Un site est une petite cat´egorie qui poss`ede une topologie de Grothendieck.
(6) Une famille couvrante de Xest une famille de fl`eches de Cde but Xqui v´erifie :
1. si i:Y→Xest un iso alors {i}est une famille couvrante de X.
2. si {iα:Xα→X}α∈Λest une famille couvrante de Xalors pour tout α∈Λ et tout
j∈C(Z, X) le pullback
Xα×iα,j Z
π1
α
π2
α//Z
j
Xαiα//X
existe dans Cet (Xα×iα,j Zπ2
α//Z)α∈Λ
est une famille couvrante de Z.
3. Si {iα:Xα→X}α∈Λest une famille couvrante de Xet si pour chaque α∈Λ il existe
une famille couvrante {jα,β :Xα,β →Xα}β∈Ωαde Yαalors {iα◦jα,β :Xα,β →X}α∈Λ,β∈Ωαest
une famille couvrante de X.
(7) Une base de la topologie Jde Cest la donn´ee pour chaque objet Xde Cd’un ensemble
K(X) de familles couvrantes satisfaisant :
S∈J(X) ssi ∃R∈K(X) tel que R⊂S .
Exemples.
1) O(X) est un site.
Un crible de Xest la donn´ee d’un ouvert Ude Xainsi que tous les ouverts V⊂U.
L’ensemble, not´e tU, des ouverts de Xcontenu dans Uest appel´e la topologie de U. C’est le
crible maximal de U.
U7→ J(U) = {tU}d´efinit une topologie de Grothendieck car 2. signifie que les inclusions sont
continues et 3. que si V⊂Ualors un ouvert de Vest un ouvert de U.
Une famille couvrante de Uest la donn´ee d’un recouvrement ouvert de Uainsi que tous ses
raffinements.
2) Soit Xun objet de Talors la cat´egorie des objets sur X, not´ee T/X est un crible.
Prenons comme famille couvrante de l’objet Yu →Xune famille, index´ee par α∈Λ, de triangles
commutatifs
Yα
iα//
uα
A
A
A
A
A
A
A
AY
u
~
~
~
~
~
~
~
~
X
telle que chaque iαsoit un plongement ouvert et [
α∈Λ
iα(Yα) =
Y. Lorsque X={∗} alors T/X =Test un site.
3) Soit Xun objet de Valors la cat´egorie des objets sur X, not´ee V/X est un crible.
Une famille couvrante est d´efinie comme ci-dessus mais ici l’existence du pull-back dans l’axiome
2. est `a ´etablir, [9, Lemma 71].
Lorsque X={∗} alors V/X =Vest un site.
3.2 Faisceau d’ensembles sur un site
1) Un pr´efaisceau sur une cat´egorie Cest un foncteur F:Cop →Ens
2) Soit (C, J) un site et Fun pr´efaisceau sur C. Une famille d’´el´ements compatibles sur un
objet Xde Cest un une famille {iα, xα}α∈Λo`u
a ) {Xα
iα//X}α∈Λest une famille couvrante de X
3

b) pour chaque α∈Λ, d’un objet xαde F(Xα) v´erifiant, pour tout α, β ∈Λ,
F(iα
α,β)(xα) = F(iβ
α,β)(xβ) lorsque l’on consid`ere les pullbacks
Xα,β
iα
α,β
iβ
α,β //Xβ
iβ
.
Xαiα//X
3) Un pr´efaisceau s´epar´e d’ensembles (resp. un faisceau d’ensemble ) sur un site (C, J) est
un pr´efaisceau Ftel que pour tout objet Xet tout famille{xα}α∈Λd’´el´ements compatibles sur
Xil existe au plus un (resp. un et un seul) ´el´ement x∈ F(X) tel que
F(fα)(x) = xα.
Exemple. La notion de faisceau associ´e `a un pr´efaisceau se g´en´eralise ais´ement.
3.3 Cat´egorie de descente
Soient (C, J) un site, Xun objet de Cet ˆ Cop F →Grpo¨ıde une cat´egorie fibr´ee.
A une famille couvrante {Xα
iα//X}α∈Λd’un objet Xde Csont associ´es les diagrammes
Xα,β
iα
α,β //
iβ
α,β
Xα
iα
Xα,β,γ
iα,β,γ
++
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
iα,β
α,β,γ ;;
v
v
v
v
v
v
v
v
viα,γ
α,β,γ //
iβ,γ
α,β,γ
Xα,γ
iα
α,γ <<
z
z
z
z
z
z
z
z
iγ
α,γ
Xβiβ
//X
Xβ,γ iγ
α,γ
//
iβ
β,γ ;;
v
v
v
v
v
v
v
v
vXγ
iγ
<<
z
z
z
z
z
z
z
z
z
,F(Xα,β)
(iα,β
α,β,γ )∗
xxrrrrrrrrrr
F(Xα)
(iα
α,β )∗
oo
yyttttttttt
F(Xα,β,γ )F(Xα,γ )
(iα,γ
α,β,γ )∗
oo
F(Xβ)
(iβ
β,γ )∗
xxrrrrrrrrrr
(iβ
α,β )∗
OO
F(X)
i∗
β
oo
i∗
γ
yyttttttttt
i∗
α
OO
F(Xβ,γ )
(iα,β
α,β,γ )∗
OO
F(Xγ)
(iγ
β,γ )∗
oo
(iγ
α,γ )∗
OO
o`u les faces de celui de gauche sont des pullbacks et le diagramme de droite est non commutatif.
Exemples. En consid´erant la face post´erieure et i∗
α(x)φα//i∗ α(y) ou la face sup´erieure et
(iβ
α,β)∗(xβ)ψα,β //(iα
α,β)∗(xα), nous d´efinissons une restriction φα|Xα,β (d´efinies `a isomorphisme
naturel pr`es) et la restriction ψα,β |Xα,β,γ `a l’aide des diagrammes ci-dessous o`u les fl`eches verti-
cales sont des isomorphismes naturels :
(iα
α,β)∗◦i∗
α(x)(iα
α,β )∗(φα)//(iα
α,β)∗◦i∗
α(y)
(iα,β)∗(x)
∼
=
OO
φ0
α|Xα,β --(iα,β)∗(y)
∼
=
OO
(iα,β)∗(x)
∼
=
φ00
α|Xα,β
11
KS
(iα,β)∗(y)
∼
=
(iβ
α,β)∗◦i∗
β(x)(iβ
α,β )∗(φα)//(iβ
α,β)∗◦i∗
β(y)
,
(iα,β
α,β,γ )∗◦(iβ α,β)∗(xβ)(iα,β
α,β,γ )∗(ψα,β )
//(iα,β
α,β,γ )∗◦(iα
α,β)∗(xα)
(iβ
α,β,γ )∗(xβ)
∼
=
OO
ψα,β |Xα,β,γ //(iα
α,β,γ )∗(xα)
∼
=
OO
Fixons un site (C, J) et une cat´egorie fibr´ee ˆ Cop F →Grpo¨ıde. A chaque objet Xde C
associons la cat´egorie, not´ee Desc.(X), telle que :
4

a) un objet est le syst`eme ({iα}α∈Λ,{xα}α∈Λ},{ψα,β }α,β∈Λ}) o`u
{Xα
iα//X}α∈Λest une famille couvrante de X
chaque xαest un objet de F(Xα)
chaque ψα,β est un isomorphisme de F(Xα,β )i∗
α,β(xβ), i∗ α,β(xα)qui v´erifie
la condition de cocycle ψα,β|Xα,β,γ ◦ψβ,γ |Xα,β,γ =ψα,γ |Xα,β,γ
b) une fl`eche ({iα}α∈Λ,{xα}α∈Λ},{ψα,β}α,β∈Λ})//({iα}α∈Λ,{yα}α∈Λ},{ϕα,β }α,β∈Λ})est
une famille de fl`eches φα∈ F(Xα)(xα, yα) telle que chaque diagramme commute :
(iβ
α,β)∗(xβ)
ψα,β
(iβ
α,β )∗(φβ)//(iβ
α,β)∗(yβ)
ϕα,β
(iα
α,β)∗(xα)(iα
α,β )∗(φα)//(iα
α,β)∗yα)
3.4 Champs sur un site
Un pr´echamp (resp. un champ) sur un site (C, J) est une cat´egorie fibr´ee ˆ Cop F →Grpo¨ıde telle
que pour chaque objet Xde Cle foncteur
DX:F(X)→Desc.(X),
DX(x) = {i∗
α}α∈Λ, i∗ α(x)}α∈Λ,{((iα
α,β)∗(iα))−1◦(iβ
α,β)∗(iβ)}α∈Λ
DX(xf//y) = {i∗
α(x)i∗
α(f)//i∗
α(x)}α∈Λ!
est un foncteur plein et fid`ele (resp. une ´equivalence de cat´egories).
Rappelons qu’un foncteur F:C→Dest :
a) plein (resp. fid`ele ) si ´etant donn´e deux objets cet c0de Cet une fl`eche g∈D(F(c), F (c0))
il existe au moins une (resp. au plus une) fl`eche f∈C(c, c)0telle que F(f) = g.
b) une ´equivalence de cat´egories s’il existe un foncteur G:D→Ctel que GF ⇒IdCet
F G ⇒IdD.
La notion de pr´echamp sur un site est “plus rigide” que celle de champ. Le lemme 3 de
l’expos´e 4 se g´en´eralise ais´ement.
Les champs au-dessus d’un site (C, J) forment une bicat´egorie, not´ee Champ(C,J), qui est
une sous-bicat´egorie pleine de FibcatC.
Exemples.
1) Les exemples 1, 2, 3, 4 et de l’expos´e 4 §5.2 sont des champs sur le site O(X).
2)Champ associ´e `a un espace topologique. Soit Mun objet fix´e de T. Le champ associ´e `a
Mest : ˆ Top M →Grpo¨ıde
X7→ M(X) :=<T(X, M )>
Yf
→X7→ 
<T(X, M )>Mf=(uf∗
7→u◦f)
→<T(Y, M)>
Zg
→Yf →X7→ (f◦g)∗Mf,g g∗f∗!
Le foncteur T→ChampT(M7→ M
(Mu →N)7→ (Mu →N)o`u ud´esigne le morphisme de
champs 
M(X)uX →N(X)(f7→ uX(f) = u◦f
idf7→ uX(idf) = idu◦f
(Yg →X)7→ uYg∗ugg∗uX, est un plongement fid`ele de cat´egories.
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