Epreuve Ecrite TSAN 16-17

Université Kasdi Merbah - Ouargla
Faculté Des Nouvelles Technologies de l’Information et de
la Communication
Département de l’électronique et de télécommunications
T. S. A. N. – S1 - M1 : Automatique et Systèmes 2016/2017
Mercredi 18 janvier 2017
14h.00 – 15h.30
EPREUVE ECRITE
Exercice 01 (04 pts)
Trouver les expressions discrètes xn des signaux continus suivants :
1) xt   sin2000t  avec une fréquence d’échantillonnage Fe  1.5 kHz .
2) xt  
sin2000t 
avec une fréquence d’échantillonnage Fe  5 kHz .
t
Exercice 02 (06 pts)
Déterminer les transformées de Fourier des fonctions suivantes :
1) x(t )  t ²
2) x(t ) 
1
t²
Exercice 03 (10 pts)
Trouver la fonction de transfert d’un filtre passe-bande de Butterworth vérifiant les
caractéristiques suivantes :
Gˆ s  20dB , Gˆ p  2.4dB , ˆ p1  1000 rad / s , ˆ p  2000 rad / s , et ˆ s  450 rad / s ,
2
1
ˆ s  4000 rad / s ,
2
N.B : * On calcule c en utilisant la formule en fonction de  s
(deuxième formule).
* Documentation non autorisée
Dr. D. SAMAI
I) Filtre passe-bande de Butterworth
II) Transformées de Fourier des fonctions usuelles
x (t )
X(f )
1
a  j 2f
e  at  (t )
rectt 



sin c f 
trit 
1) Détermination d’un filtre passe-bas prototype :
ˆ p1 ˆ p 2  ˆ s1 2
ˆ s 2 2  ˆ p1 ˆ p 2
s 
ou s 
ˆ s1 ˆ p 2  ˆ p1
ˆ s 2 ˆ p 2  ˆ p1
On choisit la plus petite des deux.

e
a0
sin c 2 ( f )
2a
a  4 2 f 2
1
j f
a t
2
sign(t )
a0
1.a) Détermination de l’ordre du filtre n
 (t )
1
 10Gs dB 10  1 
log10  G p dB 10 
 1
10
n
 
2 log10  s 
 
 p
 t 
1
1
  f 
2
j 2f
cos2f 0t 
1
  f  f 0     f  f 0 
2
1
  f  f 0     f  f 0 
2j
sin2f 0t 
1.b) Détermination de ωc
c 
10
s
 G s dB 10
III) Propriétés de la Transformée de Fourier

1
1 2n
TF
*) ax(t )  by(t ) 
aX ( f )  bY ( f ) (Linéarité)
1.c) Recherche du filtre de Butterworth normalisé
H  p 
1
1
 n
n 1
D  p  p  a n 1 p  ...  a1 p  1
1 f
X 
a a
(similitude)
TF
*) x(t  t0 ) 
X  f e j 2ft0 (Décalage temporel)
TF
*) x(t )e j 2f0t 
X  f  f 0  (Décalage fréquentiel)
n D(p)
1 (p+1)
dx(t ) TF
( j 2f ) X  f  (Dérivée temporelle)
dt
d n x(t ) TF
( j 2f ) n X  f 
n
dt
*)
2
2 (p +1.414p+1)
3 (p+1)(p2+p+1)
4 (p2+0.7654p+1)(p2+1.8478p+1)
5 (p+1)(p2+0.6810p+1)(p2+1.6810p+1)
1.d) Détermination de la fonction de transfert
prototype Hp(p)
On remplace " p " par "
TF
*) x(at) 
p
c
" dans H   p  .
2) Détermination de la fonction de transfert
passe-bande :
p 2   p1  p2
On remplace " p " par "
" dans H p  p  .
 p2   p1 p


TF
*) ( j 2t ) xt  
dX ( f )
(Dérivée fréquentielle)
df
TF
( j 2t ) n xt  
dnX( f )
df n
TF
X  f .Y ( f )
*) x(t ) * y (t ) 
TF
x(t ).y(t )  X  f * Y ( f )
(Convolution)

x(t ) * y (t ) 
 x( ) y(t   )d

TF
Xf 
*) x(t ) 
TF
X t  x f 
(Dualité)