SUR LES TYPES D`HOMOTOPIE MODÉLISÉS PAR LES

∞
∞
∞
d≥2
∞
3
∞
∞
d≥2
∞
3
Π1:Top → Gpd
Π1:Hot1→Ho(Gpd) 1
∞ ∞
Hot
∞
∞
∞

∞
∞
∞
∞
1∞1
∞
∞
d≥2∞
1D≥2(Ab)
d≥2
∞1
∞ ∞
∞1
∞
∞
D≥2(Ab)
∞
∞
∞
∞
3
3 3
3

3 2
3
∞
∞
∞
∞
∞
n
∞
D≥2(Ab)∞
∞
∞
∞
n≥2∞
∞
3
3 3
3
∞
G
D0
σ1//
τ1
//D1
σ2//
τ2
//· · ·
σi−1//
τi−1
//Di−1
σi//
τi
//Di
σi+1 //
τi+1
//. . .
σi+1σi=τi+1σiσi+1τi=τi+1τi, i ≥1.
∞
GX∞XnX(Dn)siti

∞
X(σi)X(τi)X
· · ·
sn+1 //
tn+1
//Xn
sn//
tn
//Xn−1
sn−1//
tn−1
//· · · s2//
t2
//X1
s1//
t1
//X0
sisi+1 =siti+1 tisi+1 =titi+1, i ≥1.
X∞i, j i ≥j≥0
si
j, ti j:Xi→Xj
si
j=sj+1 · · · si−1siti j=tj+1 · · · ti−1ti.
X∞n Xnn
X n = 0 X0X u n
n≥1u(n−1) sn(u)tn(u)
u x y u :x→y
n u v n = 0 n≥1u, v
X∞k i1, . . . , ikj1, . . . , jk−1
jl< iljl< il+1,1≤l≤k−1
Xi1×Xj1Xi2×Xj2· · · ×Xjk−1Xik
Xi1
si1
j1
""
Xi2
ti2
j1
||si2
j2
""
· · · Xik
tik
jk−1
{{
Xj1Xj2· · · Xjk−1.
∞ ∞ X
∗i
j:Xi×XjXi→Xi, i > j ≥0,
ki:Xi→Xi+1, i ≥0,
(v, u)Xi×XjXii>j≥0
si(v∗i
ju) = (si(u), j =i−1
si(v)∗i−1
jsi(u), j < i −1;

(v, u)Xi×XjXii>j≥0
ti(v∗i
ju) = (ti(v), j =i−1
ti(v)∗i−1
jti(u), j < i −1;
u Xii≥0
si+1ki(u) = u=ti+1ki(u).
i j i ≥j≥0
kj
i=ki−1· · · kj+1kj.
∞ ∞
∗j
iki
∞X∞
(w, v, u)Xi×XjXi×XjXii>j≥0
(w∗i
jv)∗i ju=w∗i j(v∗i ju)
(δ, γ, β, α)
Xi×XjXi×XkXi×XjXi,
i > j > k ≥0
(δ∗i
jγ)∗i k(β∗i jα)=(δ∗i kβ)∗i j(γ∗i kα)
u Xii≥1j i > j ≥0
u∗i
jkj
isi
j(u) = u=kj
iti
j(u)∗i ju
(v, u)Xi×XjXii>j≥0
ki(v∗i
ju) = ki(v)∗i+1
jki(u).
∞-Cat ∞
∞