Groupes d`homotopie des groupes de Lie, II

Séminaire Henri Cartan
A. B OREL
Groupes d’homotopie des groupes de Lie, II
Séminaire Henri Cartan, tome 2 (1949-1950), exp. no 13, p. 1-3.
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13-01
Séminaire H. CARTAN, E.NoS.,
1949/50.
LIE, II.
7.3.1950)
GROUPES D’HOMOTOPIE DES GROUPES DE
(Exposé
le
BOREL,
de À.
A.
l’emploi de la théorie des groupes de Lie compacts que nous
sur leurs groupes
avons obtenu dans le premier exposé quelques renseignements
d’homotopie. Ici au contraire la théorie des groupes jouera un rôle très effacé
et nous utiliserons des moyens topologiques ~ la suite exacte d’homotopie et
C’est par
les groupes d’homotopie des sphères. Cela donne des résultats grâce à l’existence de fibrationsdes groupes compacts dont les bases sont des sphères.
Notation.
mé
G’ ,
a
W
Nous écrirons
comme
W
=
G/G’
par le sous-groupe fer-
G 9 fibre
si
base.
1. - Relations entre groupes d’homotopie des groupes classiques.
Proposition 1.-
Pour la
démonstration?
cfo
Exposé
5 A l’aide de la suite exacte,
0
on en
déduit le :
’
Thé orème 10 -
Corollaire
s
U
~(G)
=
0
si
G
un
groupe classique.
classiques.
~ ~r
2.-
est
°
.
D’après le théorème 1, il suffit
j usqu ’ à S0(7) , SU(3) et Sp(l) .
de connaître les groupes
~~~)
~
T~
S0(3)
S0(4)
S0(5)
’2
~
~2~
Z,.~
~2
~
.
H~
(~~3)
SU ( n )
S0(6)
S0(n)
~
"
’
Z
0
Z
(i~ 5)
(~~i)
Sp(n)
’2
Z,
(Z désigne
le groupe additif des
dans l’édition
sous
Z2
=
été établi
a
de
originale
03C05(S3) =
l’hypothèse
entiers,
0
en
Séminaire~
ce
2).
celui des entiers modulo
Z?
la liste donnée était établie
annoncée par Pontrjagin en 1938. Le fait que
1950 par Pontrjagin et G. Whitehead. Le tableau
ci-dessus tient compte de cette correction; mais nous n’en donnons pas de
démonstration, celle de A. Borel étant devenue inadéquate).
Applications.
1’) Pour n >:3 ~ l’espace
ces
n’est pas du type
S
x
M
puisque
même 4eme groupe d’homotopie. Rappelons que
même polynôme de Poincaré qu’un produit topologique de
deux espaces n’ont pas le
l’espace
sphères
est
6U(n)
de
SU(n)
de
de
a
dimensions impaires,
S.
dont
o
2) S 5 n’est pas parallélisable.
parallélisable si et seulement si
(Exposé 5)
En
effet,
on
a, pour les variétés de
on a vu
que
S~
S0(5)
et
S0(6) ~
S0(6)
Cela est
nul,
=
S0(5)
impossible puisque
le
x
S~
4ème groupe d’homotopie
tandis que celui du terme de droite est
C’est par l’étude approfondie de la
de dimensions de
l’application
que
du terme de
gauche
est
Z~ .
0
généralisation
nous avons
à
un
nombre
quelconque
utilisée à propos de
étudié les groupes d’homotopie des groupes orthogonaux et
généralisé le résultat précédent en montrant que sur
il n’y a jamais
2 champs continus de vecteurs tangents linéairement indépendants en tous les
points? résultat également obtenu par Eckmann (Loco cit.).
que Whitehead
3.- Les premiers
Nous
ne
a
groupes d’homotopie de G2
et
F..
o
donnerons que de brèves indications
sur
la
démonstration de la :
Proposition 2.-
SO(7)/G2 P7
=
F4/SO(9)
est le
d’homotopie sont
(espace projectif réel à
plan projectif
nuls.
Pour démontrer la 1ère
des octaves de
égalité,
établit
7
dim.) (Blanchard)
Cayley, ses 7 premiers
groupes
isomorphisme entre
SU(4)/SU(3) et le quotient du groupe de revêtement simplement connexe
S0(7) par G~ ~ à l’aide des structures presque complexes de
on
un
S.
F./SO(9)
de
Pour montrer que les 7 premiers groupes d’homotopie de
sont
nuls, il n’est pas nécessaire de passer par l’intermédiaire du plan projectif
13-03
(défini
des octaves
Hirsch~ Coll.
par Go
de
Top. alg., Paris 1947,
35-42).
p.
propriétés de cet espace indiquées par E. Cartan
Sup. 44, 345-467, 1927) et qui sontt par 2 points de cet
en général qu’une géodésique~ dans une métrique riemannienne
Il suffit d’utiliser des
(Ann.
Ec. Norm.
espace
ne
passe
points qui peuvent être joints à un point p donné
plus d’une géodésique remplissent une variété à 8 dimensions? qui est
invariante par
par
d’ailleurs
d’autre
une
part,
F. ~
et les
S.
Le
on
complémentaire
peut supposer
(i ~ 7)
élément de
complémentaire
de cette
est
de
S
est alors contractile
l’homotopie relative à
représenté par une application de
(9)
la dimension de
p ;
p , tout
que dans
S ~ Jcar
en
S
est
dans le
16)
donc est
homotope à zéro. Cependant on peut de plus définir dans cet espace des "droites" homéomorphes à S vérifiant les axiomes d’incidence de sorte que
F.
soit
les
un
groupe
de"projectivités"
est transitif
points, les droites~ qui
Par la suite exacte
Théorème 3.-
SÔ(n)
par
dans l’ espace
Rp
.
de la forme
irréductible fidèle de
points et
degré
sur
les droites.
(2 ~ k S 5)
(2~ k ~6)
le groupe, revêtement universel de
8
S0(n) .
0
On
peut
représentation linéaire de S0(7)
1 + ,~B y où ZB est une représentation
(la représentation spinorielle). Avec ce
iSÛ(9) grâce
dans
les
"
7~(F~ =
Désignons
plonger §6(7)
sur
alors s
on a
~J~
c’est-à-dire de transformations conservant
à
une
plongemont :
Théorème~.- SO(9)/SO(7) =
k ~ 13 .
S~~ ~
donc
=
T~~(SO(9))
E2~
.
e
Enfin,
S0(8)
servant de
montre pour
=
’
en se
par
(l
+
S0(7))
alors le quotient de
être que
G~ .
~B
peut facilement montrer que
cela que ~ agit transitivement sur le quotient de
cette dernière sphère est
qui est précisément
S0(7) par un sous-groupe à 14 paramètres qui ne peut
on
S;
On voit aussi que
SO(7)/G~ == P ’7
(proposition 2).
BIBLIOGRAPHIE
[1] L. PONTRJAGIN,
[2] G.W. WHITEHEAD,
[3] B. ECKMANN,
[4] B. ECKMANN,
Commentarii Math. Helvetici
13, 1940-41, p. 277-292.
Annals of Math. (2) 43, 1942, p. 132-146.
Commentarii Math. Helvetici 14, 1941-42, p. 141-192.
Commentarii Math. Helvetici 14, 1941-42, p. 236-252.