Formulaire de mathématiques, par C. Blais, édition de août 2012

MAT144
INTRODUCTION AUX MATHÉMATIQUES DU GÉNIE
FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES
Par Claude Blais
Maître d’enseignement, Service des enseignements généraux
École de technologie supérieure
Révisé en août 2012

Claude Blais 2012-08-31 Page
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F ORMULAIRE DE M ATHÉMATIQUES
1- Propriétés des nombres réels
Associativité de l’addition
+ + = + +
( ) ( )
x y z x y z
[1.1]
Associativité de la multiplication
=
( ) ( )
x yz xy z
[1.2]
Commutativité de l’addition
+=+
x y y x
[1.3]
Commutativité de la multiplication
=
xy yx
[1.4]
Éléments neutres pour l’addition et la multiplication
+ = ⋅ =
0 et 1
x x x x
[1.5]
Élément inverse additif : opposé
0
x x
− + =
[1.6]
Élément inverse multiplicatif : inverse
⋅ = ≠
1
1 ; si 0
x x
x
[1.7]
Distributivité de la multiplication sur l’addition
+ = +
( )
x y z xy xz
[1.8]
Définition de la soustraction
− = + −
( )
a b a b
[1.9]
Définition de la division
= ⋅ ≠
1
; si 0
x
x y
y y
[1.10]
Propriétés supplémentaires concernant les négatifs
− − =
( )
x x
[1.11]
− = − = − = −
( ) ( ) ( )
x y xy x y x y
[1.12]
− − =
( )( )
x y xy
[1.13]
− = −
( 1)
x x
[1.14]
−
= = − ≠
−
; si 0
x x x
y
y y y
[1.15]
− −
= − = − = ≠
− −
; si 0
x x x x
y
y y y y
[1.16]
Zéro est un élément absorbant
⋅ =
0 0
x
[1.17]
Intégrité des réels
⋅ = ⇔ = =
0 0 ou 0
x y x y
[1.18]
2- Propriétés des fractions
La division par 0 est exclue
= ⇔ =
a c
ad bc
b d
[2.1]
=
ka a
kb b
[2.2] ⋅ =
a c ac
b d bd
[2.3]
= ⋅ =
a
a d ad
b
c b c bc
d
[2.4]
+
+ =
a c a c
b b b
[2.5]
−
− =
a c a c
b b b
[2.6]
+
+ =
a c ad bc
b d bd
[2.7]
−
− =
a c ad bc
b d bd
[2.8]

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3- Les exposants entiers
= ⋅ ⋅ ⋅
...
n
n fois
a a a a
[3.1]
= ≠
0
1 ; pour 0
a a
[3.2]
−
= ≠
1
pour 0
n
n
a a
a
[3.3]
+
=
m n m n
a a a
[3.4]
(
)
⋅
=
n
m m n
a a
[3.5]
=
( )
m m m
ab a b
[3.6]
=
m
m
m
a a
b b
[3.7]
−
−
= =
1
m
m n
n n m
a
a
a a
[3.8]
(
)
=
m p n p
p
m n
a b a b
[3.9]
  =
m p
p
m
n p
n
a a
b b
[3.10]
−
−
=
n m
m n
a b
b a
[3.11]
−
=
n
n
a b
b a
[3.12]
4- Les exposants rationnels
=
1
nn
a a
[4.1]
=
n
n
x x
si n est pair [4.2]
=
n
n
x x
si n est impair [4.3]
= ⋅
n
n n
xy x y
[4.4] =
n
n
n
x x
y y
[4.5]
5- La factorisation
Carré parfait
+ = + +
2 2 2
( ) 2
a b a ab b
[5.1]
Carré parfait
(
)
− + = −
2
2 2
2
a ab b a b
[5.2]
Différence de carrés
(
)
− = + −
2 2
( )
a b a b a b
[5.3]
Différence de cubes − = − + +
3 3 2 2
( )( )
a b a b a ab b
[5.4]
Somme de cubes + = + − +
3 3 2 2
( )( )
a b a b a ab b
[5.5]
Complétion du carré + + = +
2 2
2
2 2
a a
x ax x [5.6]

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6- Les équations
Propriété de l’addition
=⇒+ = +
a b a c b c
[6.1]
Propriété de la soustraction
=⇒− = −
a b a c b c
[6.2]
Propriété de la multiplication
=⇒= ≠
si 0
a b ca cb c
[6.3]
Propriété de la division
=⇒= ≠
si 0
a b
a b c
c c
[6.4]
Propriété de la substitution Si
=
a b
, alors on peut substituer [6.5]
l’un à l’autre dans toute équation.
Soit f une fonction
=⇒=
( ) ( )
a b f a f b
[6.6]
Soit f une fonction injective
= ⇔ =
( ) ( )
a b f a f b
[6.7]
7- Les inéquations
Propriété de transitivité
< < ⇒<
et
a b b c a c
[7.1]
Propriété de l’addition
<⇒+ < +
a b a c b c
[7.2]
Propriété de la soustraction
<⇒− < −
a b a c b c
[7.3]
Multiplication par un positif
< > ⇒<
et 0
a b c ac bc
[7.4]
Multiplication par un négatif
< < ⇒>
et 0
a b c ac bc
[7.5]
Division par un positif
< > ⇒<
et 0
a b
a b c
c c
[7.6]
Division par un négatif
< < ⇒>
et 0
a b
a b c
c c
[7.7]
8- Les équations quadratiques
Équation quadratique de base
2
ou , 0
x a x a x a x a a
= ⇔ = ⇔ = = − ≥
[8.1]
Différence de carrés
− = ⇔ − + = ⇔ = = −
2 2
0 ( )( ) 0 ou
x a x a x a x a x a
[8.2]
Formule quadratique
−
+ + = ⇔ = − ± ≠
2
2
4
0 , 0
2 2
b b ac
ax bx c x a
a a
[8.3]