Espaces vectoriels normés MP

Espaces vectoriels norm´es ∗
MP
27 d´ecembre 2012
Faites des dessins
Table des mati`eres
1 Espaces vectoriels norm´es 3
1.1 Normes,espacesnorm´es ................................. 3
1.2 Normes dans les espaces pr´e-hilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Notion de limite dans les ev norm´es, normes ´equivalentes . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Topologie dans un espace norm´e 10
2.1 Notion d’ouvert, de ferm´e, de point adh´erent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Adh´erence d’une partie de E, notion de partie dense . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Limites des fonctions dans les evn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Fonctionscontinues.................................... 15
2.5 Le jeu de lego c
des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Continuit´euniforme ................................... 18
3 Suites de Cauchy dans les evn, espaces complets 20
3.1 SuitesdeCauchy..................................... 20
3.2 Espaces complets ou espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Th´eor`emedupointfixe ................................. 22
4 Espaces vectoriels norm´es en dimension finie 24
4.1 Suites des composantes dans une base, ´equivalence des normes . . . . . . . . . . . 24
4.2 Th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Suites de Cauchy en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4 Continuit´e en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Connexit´e par arcs 28
6 Notion de compact 30
6.1 Endimensionquelconque ................................ 30
6.2 Compacit´e en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.3 Compacit´e,exercices................................... 31
7 Exercices divers et vari´es 34
∗Document disponible sur mpcezanne.fr ou univenligne.fr sous le nom EspacesNormes.pdf
1

8 Continuit´e des applications lin´eaires 41
8.1 Caract´erisation des applications lin´eaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.2 Casdeladimensionfinie................................. 42
8.3 Continuit´e des applications bilin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8.4 Normessubordonn´ees .................................. 43
8.5 Normes subordonn´ees aux normes usuelles de Kn:.................. 44
8.6 Recettespratiques .................................... 44
8.7 Alg`ebrenorm´ee(HP)................................... 46
8.8 Exercices : continuit´e des applications lin´eaires, topologie et matrices . . . . . . . . 46
9 Questions rapides admettant r´eponses rapides ; le flash-´eclair 51
10 R´esumons nous 53
10.1Endimensionquelconque ................................ 53
10.1.1 G´en´eralit´es : limites, normes ´equivalents, topologie . . . . . . . . . . . . . . 53
10.1.2 Fonctionscontinues ............................... 54
10.1.3 SuitesdeCauchy................................. 55
10.2 Espaces vectoriels norm´es en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
10.3Lescompacts ....................................... 57
10.4 Applications lin´eaires dans les evn et continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
11 Quelques corrig´es 58
2

1 Espaces vectoriels norm´es
Nous introduisons ici la notion de norme g´en´eralisant par l`a les normes || − ||∞,|| − ||1,|| −
||2d´efinies en sup sur les espaces Rnainsi que les normes euclidiennes d´efinies `a partir d’un
produit scalaire. Ces normes nous permettront de d´efinir les limites de suites dans des espaces
divers : suites de vecteurs (solutions approch´ee de syst`emes d’´equations), suites de fonctions (calculs
d’int´egrales, ´etude des s´eries de Fourier, solutions approch´ees des ´equations diff´erentielles,...), suites
de matrices (recherche de solutions approch´ees de syst`emes lin´eaires, recherche de valeurs propres
de matrices...).
1.1 Normes, espaces norm´es
D´efinition 1 norme dans un espace vectoriel sur Rou C;
Une norme sur un K−ev Eest une application N:E7→ R+telle que :
1. N(x)=0⇒x= 0
2. N(x+y)≤ N(x) + N(y)
3. N(λx) = |λ|N(x).
Un espace norm´e est un couple (E, N),form´e d’un ev et d’une norme sur E.
Remarque les normes g´en´eralisent les notions de valeurs absolues et de module. Elles v´erifient
par exemple la propri´et´e fondamentale (in´egalit´es triangulaires) :
| N(x)− N(y)| ≤ N(x−y)|≤N(x) + N(y).
| ||x|| − ||y|| | ≤ ||x−y|| ≤ ||x|| +||y||.
Exemples
1. Dans Rnou Cn,les normes
||x||1=
n
X
k=1 |xk|||x||2= n
X
k=1 |xk|2!1/2||x||∞= sup
k|xk|
On commencera par les exercices 5, 7 pour une premi`ere approche de ces normes...
2. Dans B(A, K),fonctions born´ees de Adans K,la norme
||f||∞= sup
x∈A|f(x)|
(norme infinie ou norme de la convergence uniforme qui interviendra de fa¸con fondamentale
en analyse).
3. Dans C([a, b],K),ensemble des fonctions continues sur [a, b],les normes
3

||f||1=Zb
a|f(x)|dx ||f||2= Zb
a|f(x)|2dx!1/2||f||∞= sup
x∈[a,b]|f(x)|
4. On peut encore d´efinir sur C1([a, b],K),ensemble des fonctions de classe C1sur [a, b],les
normes
N1(f) = ||f||1+||f0||1N2(f) = ||f||2+||f0||2N∞(f) = ||f||∞+||f0||∞
5. De fa¸con analogue, on consid`ere les sous-espaces vectoriels de suites
–`1espace des suites `a valeurs complexes telles que P|ui|converge ;
–`2espace des suites `a valeurs complexes telles que P|ui|2converge ;
–`∞espace des suites born´ees `a valeurs complexes
on d´efinit sur ces espaces les trois normes
||u||1=
∞
X
i=0 |ui|||u||2= ∞
X
i=0 |ui|2!1/2||u||∞= sup
i∈N|ui|
6. Sur les espaces de matrices voir le tableau du paragraphe (8.5) et la norme de Schur
d´efinie par
||A|| =qT r(A¯tA).
Exercice 1 normes
1. Au kilom`etre : d´emontrer que dans le tableau qui pr´ec`ede nous avons bien d´efini des normes
(pour ce qui est de la colonne centrale et de la norme de Schur, attendez d’avoir ´etudi´e le
paragraphe (1.2) sur les espaces pr´ehilbertiens).
2. D´emontrer que
N(f) = |f(0)|+Zb
a|f0(t)|dt
d´efinit une norme sur l’espace des fonctions de classe C1sur [a, b].
3. Soit El’espace vectoriel des fonctions de classe C1sur R.D´efinit on une norme sur Een
posant pour f∈E,
N(f) = |f(a)|+||f0||∞?
4. Soient a0, a1, ..., apdes complexes. La fonction Nd´efinie par
N(P) =
p
X
k=0 |P(ak)|
d´efinit elle une norme sur Cp[X]?
4

1.2 Normes dans les espaces pr´e-hilbertiens
Les espaces pr´ehilbertiens sont les espaces munis d’un produit scalaire r´eel ou complexe, norm´es
par N2(x) =< x|x >1/2.
L’in´egalit´e triangulaire est alors une cons´equence de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz.
Ils interviendront, pour ce qui est de notre programme, en g´eom´etrie, en alg`ebre lin´eaire (diago-
nalisation des matrices sym´etriques...), pour l’´etude des s´eries de Fourier... Ils jouent par ailleurs
un rˆole fondamental dans l’´etude des ´equations diff´erentielles ; en physique, ils donnent le cadre
mod´elisant la m´ecanique quantique, etc...
D´efinition 2 Soit Eun K−espace vectoriel (K=Rou C).On appelle produit scalaire (r´eel ou
complexe) sur E, une application :
φ:E×E→K
telle que :
–φest lin´eaire `a gauche : ∀(x, y, z)∈E3,∀λ∈K, φ(x+λy, z) = φ(x, z)++λφ(y, z);
–φest hermitique :∀(x, y)∈E2, φ(y, x) = φ(x, y);
–φest positive : ∀x∈E, φ(x, x)≥0;
–φest d´efinie positive : ∀x∈E, φ(x, x)=0⇒x= 0.
On dit alors que (E, φ) est un espace pr´ehilbertien (r´eel ou complexe) ; lorsque Eest de dimen-
sion finie on parle d’espace euclidien pour le cas r´eel, d’espace hermitien pour le cas complexe.
On aura remarqu´e que si K=R,on retrouve la d´efinition usuelle du produit scalaire r´eel : forme
bilin´eaire, sym´etrique et d´efinie positive.
Th´eor`eme 1 Si Eest un espace pr´ehilbertien de produit scalaire φ(x, y)=(x|y),alors :
– Pour tout (x, y)∈E2,|< x|y > | ≤ p< x|x >p< y|y >.
– L’´egalit´e a lieu ssi xet ysont li´es.
– L’application x∈E→p< x|x > ∈R+est une norme sur E; on dit qu’elle d´erive du produit
scalaire (on note souvent ||x||2=p< x|x >).
Questions pr´ealables
– l’application λ∈K→(< x +λy|x+λy >∈Kest elle un polynˆome en λ?
– l’application λ∈R→< x +λy|x+λy >∈? est elle un polynˆome en λ?
– Exprimer < λx|y >, < x|λy >, < x|eiθy > ...
D´emonstration
1. Remarquons que l’in´egalit´e est ´evidente si ypar exemple est nul.
2. Supposons alors y6= 0 et consid´erons le polynˆome de la variable r´eelle
F(λ) =< x +λy |x+λy >=λ2< y |y > +2 λRe(< x|y >)+ < x|x>.
C’est un polynˆome du second degr´e (le coefficient de λ2est strictement positif) qui est positif
sur R.Nous avons donc
∆=4Re2(< x|y >)−4< y|y > < x|x >≤0
soit
|Re < x|y > | ≤ p< x|x >p< y|y >.
5