Bases de la Théorie des Probabilités Presses Universitaires de

Pr Gane Samb LO
Bases de la Théorie des Probabilités
Presses Universitaires de Saint-Louis
1ère Edition 2007
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ABSTRACT
Ce cours est la suite du texte Mesure et Intégration. Il en constitue un cas particlulier avec des
mesures de poids unité. Selon Mark Kac, la théorie des probabilités est l’âme de la théorie de la
mesure.Les notions qui sont abordées ici sont indispensables à tout scientifique et futur chercheur.
Elles préparent d’importantes appications à l’économie, à la physique, à la psychologie, à la géné-
tique, à la finance, etc.
Ce cours prépare immédiatement à l’étude des processus stochastiques : chaînes de Markov, mar-
tingales, mouvements browniens, etc. Il aborde déjà l’étude asymptotique des échantillons indé-
pendants et préparent à l’études des processus dépendants.
Dans un proche avenir, une série d’exercices théoriques et appliqués seront inclus dans le texte.
Saint-Louis (Sénégal), Bamako (Mali), Mars 2008.
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Table des matières
Chapitre 1. INTRODUCTION : ESPACE PROBABILISE 5
1. Introduction 5
2. Terminologie probabiliste 5
3. Indépendance 8
Chapitre 2. VARIABLES ALEATOIRES REELLES 15
1. Inégalités remarquables 15
2. Moments 18
3. Variables aléatoires discrètes et absolûment continues. 20
4. Fonctions de répartition 23
5. Fonctions caractéristiques 25
6. Changement de variables. 30
Chapitre 3. LOIS DE PROBABILITE USUELLES 33
1. Lois discrètes 33
2. Lois absolument continues. 36
Chapitre 4. CONVERGENCE DE VARIABLES ALEATOIRES 43
1. Convergence en probabilité. 43
2. Convergence dans Lp44
3. Equi-intégrabilité. 45
4. Comparaison des types de convergence 48
Chapitre 5. CONVERGE EN LOIS DANS RK51
1. Rappels de résultats élémentaires. 52
2. Apperçu de la théorie de la convergence vague 52
3. Tansformations continues. 54
4. Applications 59
Chapitre 6. LES GRANDS THEOREMES DE L’ECHANTILLON 65
1. Loi faible des grands nombres. 65
2. Loi forte des grands nombres 65
3. Théorème central limite sur Rk68
4. Convergence de la loi multimoniale 70
Chapitre 7. ANNEXES 75
1. Preuve du Théorème Portmanteau 75
3

2. La convergence des f.r entraine la convergence en loi 79
3. La f.c caractérise la loi dans Rk.81
4. La convergence des f.c entraîne la convergence en loi 84
5. Théorème de Scheffé 85
6. Fonctions semi-continues 86
7. Un principe utile 87
8. Divers 88
9. Mesurabilité de l’ensemble des points de discontinuité. 88
10. Théorème de Stone-Weieirstrass. 90
Bibliographie 91
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CHAPITRE 1
INTRODUCTION : ESPACE PROBABILISE
1. Introduction
Ce cours de probabilité est la suite du cours de mesure et d’intégration. Il consti-
tue la base minimale pour aborder un cours fondamental de probabilités, comme les
processus stochastiques, le calcul stochastique ou, un cours fondamental de statis-
tiques mathématiques dignes de ce nom.
Notre ouvrage Probabilités Elémentaires était consacré aux probabilités discrètes
en mettant l’accent sur les éxpériences aléatoires, telles que les modèles de l’urne,
sur la génération des variables aléatoire et les calculs associés. Le lecteur ne trouvera
pas dans le présent exposé, les résultats de cette nature. Nous lui recommandons de
retourner à cette référence ou à des documents semblables pour se mettre à jour,
au besoin, en ce qui concerne les probabilités discrètes directement obtenues des
expériences aléatoires.
Ce cours commence par une nouvelle expression des résultats de la mesure et de
l’intégration, au niveau de la terminologie et de l’orientation. Ensuite, des besoins
spécifiques à la théorie des probabilités sont abordés et développés.
2. Terminologie probabiliste
2.1. Probabilité. Un espace probabilisé est un espace mesurable (Ω,A, m)où
la mesure affecte l’unité à l’espace Ω, c’est-à-dire
m(Ω) = 1.
Une mesure vérifiant cette propriété s’appelle une probabilité. Les probabilités sont
notées en général par les lettres capitales creuses : P,Q, etc. Nous avons donc cette
définition :
Définition 1.Soit (Ω,A)un espace mesurable. L’application
P:A → R
A →P(A)
est une probabilité ssi Pest une mesure avec P(Ω) = 1,c’est-à-dire
–0≤P≤P(Ω) = 1
–Pour toute suite de parties {An, n ≥0} ⊂ A, deux-à-deux disjointes, alors
P(X
n≥0
An) = X
n≥0
P(An)
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