Leçon n°5 – La trigonométrie – Les fonctions trigonométriques

Leçon n°5 – La trigonométrie – Les fonctions trigonométriques
Faisons en premier lieu une petite mise au point. Au lycée, nous faisons la différence entre un
secteur angulaire, l’angle qu’il représente et la mesure de cet angle.
Explications :
y
I
x
Nous avons ici dessiné un secteur angulaire x Î y (portion du plan (P) comprise entre deux
demi-droites issues d’un même point)
Par contre, un angle est l’ensemble des secteurs angulaires ayant la même ouverture c’est-àdire superposables, nous avons déjà vu cela avec bi-points et vecteur, enfin, la mesure de
l’angle est un nombre caractéristique de l’ouverture du secteur. Au collège, la mesure d’un
angle se fait en degrés. Au lycée, en premier lieu, nous orientons le plan et nous avons donc
des mesures d’angles positives et négatives et d’autre part, nous mesurerons l’ouverture des
angles en radians.
Définition 1
Dans le plan (P), il a été choisi un sens trigonométrique direct(sens inverse des aiguilles
d’une montre) donnant des mesures positives et le sens contraire dit indirect donnant des
mesures négatives.
Définition 2
Pour mesurer les angles, nous utiliserons le cercle trigonométrique : cercle de rayon 1. La
mesure se fera en amenant l’angle au centre O du cercle et en prenant la longueur de l’arc
intercepté par le secteur angulaire. L’unité de longueur utilisée s’appelle le radian.
(Rayon R = 1)
Un angle correspondant à un demi cercle (angle plat) mesurera la moitié du périmètre du
cercle trigonométrique donc :
180° équivalent à π radians
(Périmètre du cercle trigonométrique : 2πR = 2π(1) = 2π)
Exercice 1
Compléter le tableau suivant :
Degrés (°)
0°
30°
Radians (rd)
0
π
6
45°
60°
90° 120° −30° 360°
Ces mesures se trouvent avec une règle de trois :
180°
180° équivalent à π radians, 30° =
6
π
π × 30 π
donc 30° équivalent à
radians ou si on veut 30° équivalent à
= .
180
6
6
Pour la petite histoire, en 1791, les révolutionnaires de la Convention créèrent une unité
nouvelle de mesure d’angles pour remplacer le degré qui n’était pas une mesure décimale en
effet 1° = 60 minutes d’angles. Ils l’appelèrent le grade. Ils décrétèrent que le grade
remplacerait le degré mais les utilisateurs du degré, les géomètres, les navigateurs etc.
n’appliquèrent jamais ce décret !
π
 330 π 
Si on place sur le cercle trigonométrique, l’angle de 30°   et −330°  −
 , nous
6
 180 
voyons que ces deux angles aboutissent au même point. En effet, un angle possède une
infinité de mesures : 30°, −330°, 390° = 30° + 360° (on ajoute un tour de cercle) etc. donnent
le même point sur le cercle.
Définition 3
On appelle mesure principale d’un angle, la mesure comprise entre −π et π .
Donc :
α k = αP + 2kπ
αP ∈ ]−π ; π] (k ∈ Z, le nombre de tours dans un sens ou)
αP est la mesure principale
dans l’autre sur le cercle)
π
(30°) est une mesure principale.
6
π
Les autres mesures sont données par : α k =
+ 2kπ, k ∈ Z
6
π
si k = 0 on trouve αP =
(30°)
6
π
13 π
si k = 1 on trouve α1 = + 2π =
(390°)
6
6
π
11π
si k = −1 on trouve α −1 = − 2π = −
(−330°)
6
6
π
25 π
si k = 2 on trouve α 2 = + 4π =
(750°)
6
6
etc.
Exemple :
Exercice 2
Donner en degrés la mesure qui correspond à 1 radian.
Sur le cercle trigonométrique, on a placé deux axes qui permettent de trouver le cosinus et le
sinus de n’importe quel angle.
Axe des sinus (axe orienté)
M
K
α
π
Ici, sin   = 0,5 = OK
6
3
π
cos   =
≈ 0,86 = OH
2
6
H
Axe des cosinus (axe orienté)
Par définition :
cos α =
sin α =
OH
OM
= OH car OM = 1
OK
= OK
OM
sin σ
π
. Attention, cos α ≠ 0 c’est-à-dire α ≠ + kπ, k ∈ Z
tan α =
cos σ
2
Propriétés : Pour tout α
− 1 ≤ sin α ≤ 1
− 1 ≤ cos α ≤ 1
mais tan α appartient à R (Exemple tan 89° ≈ 57,2)
On a : sin 2 α + cos 2 α = 1
(C’est Pythagore, en effet OM 2 = OH 2 + OK 2 et OM = 1 )
Les fonctions
y = sin x
On place sur l’axe des x, les mesures d’angles en radians :
π
0, ≈ 1,5 ; π ≈ 3,14 etc.
2
La courbe obtenue est une sinusoïde.
Nous observons que cette courbe possède O comme centre de symétrie en effet : Pour tout x,
sin (− x) = − sin x.
D’autre part, la courbe se reproduit égale à elle même tous les 2π, on dit qu’il y a une période
p = 2π.
y = cos x
Nous obtenons aussi une sinusoïde, c’est la même courbe que le sinus mais décalée de
π

nous verrons en première que : cos x = sin  x + 
2

Nous voyons ici un axe de symétrie (l’axe des y) en effet :
Pour tout réel x, cos (− x) = cos x
La période est aussi 2π.
π
,
2
En bonus :
π

y = tan x, attention, D tan = R \  + kπ  k∈Z (Elle n’est pas au programme cette année)
2

Nous voyons des asymptotes chaque fois que tan n’existe pas, la courbe se présente en
plusieurs morceaux.
O est centre de symétrie. La période est π, en effet, chaque fois que tan est définie :
tan (x + π) = tan x
Exercice 3
On donne sin x = 0,8 ; chercher cos x, tan x et donner une valeur approchée en radians de x
sachant que x ∈ [0 ; 2π].
Correction
Exercice 1
cos
Degrés (°)
0°
Radians (rd)
0
30°
π
6
Exercice 2
1 radian vaut environ 57° (en effet 1 rd ≈
45°
π
4
60°
π
3
90° 120° -30° 360°
π
2π
π
−
2π
2
3
3
180°
≈ 57°)
3,14
Exercice 3
Nous savons que sin x = 0,8 alors sin 2 x + cos 2 x = 1 donc :
(0,8)2 + cos 2 x = 1
⇔ cos 2 x = 1 − 0,64 = 0,36 , il y a deux solutions pour cos x :
cos x = 0,6 ou cos x = − 0,6
Observons le cercle trigonométrique (en effet tout exercice de trigonométrie l’utilise).
cos
On a deux réponses effectivement : on aura deux angles dans l’intervalle [0 ; 2π] qui ont pour
sinus 0,8. La touche sin–1 nous donne un de ces angles, α1 ≈ 53° soit presque 1 radian.
(en fait ≈ 0,92 rd) et α2 ≈ 180°− 53° ≈ 112° soit environ 2,21 radians.
tan α1 ≈ 1,327 et tan α2 ≈ − 1,327
La trigonométrie est une des plus anciennes branches des mathématiques, l’étude commencée
ici se poursuivra surtout pour ceux qui font 1re S ou option math.