Licence Sciences Mathématiques Algèbre 4

Licence Sciences Mathématiques
Algèbre 4
Pr. Fayçal LAMRINI
Université Sidi Mohammed Benabdallah, Faculté des sciences Dhar El Mehraz
Automne 2015
Contents
1 La stabilité des sous-espaces vectoriels
1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 En dimension …nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
2 Polynômes d’endomorphismes
2.1 Rappels sur les algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Action de K [X] sur les K-algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Décomposition des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
8
3 Diagonalisation
3.1 Cas des endomorphismes . . . . . . .
3.2 Cas des matrices . . . . . . . . . . .
3.3 Le polynôme caractéristique . . . . .
3.4 La matrice compagon d’un polynôme
4 Trigonalisation
4.1 Généralités . . . . . . . . . .
4.2 Endomorphismes Nilpotents .
4.2.1 Les noyaux itérés d’un
4.2.2 Matrices de Jordan . .
4.3 Théorème de Jordan . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
unitaire
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
endomorphisme
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
11
12
13
. . . . . .
. . . . . .
nilpotent
. . . . . .
. . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
15
18
18
19
20
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
du premier ordre
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
22
22
23
24
25
25
25
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Applications
5.1 Les puissances d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . .
5.2 L’exponentielle d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . .
5.3 Résolution d’un système homogène d’équations di¤érentielle
5.4 Les suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Cas de plusieurs suites . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Cas d’une suite récurrente d’ordre supérieur . . . . .
1
Préface
Les notes qui suivent sont celles du cours du module Algèbre 4, de la licence Sciences Mathématiques, nouvelle version, que je dispense à la faculté des Sciences Dhar El Mehraz, durant le
semestre d’automne. Le module Algèbre 4 vient remplacer le module Algèbre 3 de l’ancienne version de ladite licence qui était beaucoup plus éto¤é car s’e¤ectuait en plus de temps qu’Algèbre
4. L’ancien cours débordait le théorème de Jordan, pour traiter la décomposition de Dunford
et la réduction de Frobenius.
L’objet de ce cours est de présenter les techniques calculatoires qui permettent de représenter
matriciellement, de la plus simple des manières, les endomorphismes des espaces vectoriels de
dimension …nie. Ou encore de trouver les élements les plus simples, ceux comportant le maximum
de composantes nulles, dans les classes de similitude des matrices carrées. Ce travail permet
de simpli…er le calcul des puissances des matrices carrées, de leur exponentielle, de résoudre
des systèmes di¤érentiels du premier ordre, de déterminer les suites, scalaires ou vetorielles,
récurrentes d’ordre supérieur.
2
Chapter 1
La stabilité des sous-espaces
vectoriels
1.1
Généralités
Dé…nition 1 Soient E un ensemble non vide et f : E ! E une application. Une partie A de
E est dite stable par f (ou f -stable) si f (A) A
Exmple 1 .
1. Pour la fonction sinus, sin : R ! R; f0g est sin-stable, f g n’est pas sin-stable, l’intervalle
[0; 3] n’est pas sin-stable.
2. Pour toute application f : E ! E, ? et E sont toujours des parties f -stables de E:
Proposition 1 Si E est un espace vectoriel et f est un endomorphisme de E; alors pour toute
partie A de E; vect (A) est f -stable si et seulement si f (A) vect (A)
Exmple 2 Pour l’application f : (x; y) ! (y; x) de R2 ! R2 ; le sous espace vectoriel F =
vect (!
e 1 = (1; 0)) n’est pas f -stable
Proposition 2 Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E: Si f et g commutent
alors Im f et ker f sont g-stables, et vice versa.
fm
Conséquence: si f est un endomorphisme d’un espace vcetoriel E, alors 8n; m 2 N; f n et
commutent, donc Im f n et ker f n sont f m -stables
1.2
En dimension …nie
Dé…nition 2 Soient E un espace vectoriel de dimension …nie n 2 N et B = (e1 ; :::; en ) une
base de E
1. Si F est un sous espace de E de dimension p 2 N ; on dit que B est adaptée à F si
(e1 ; :::; ep ) est une base de F:
3
2. Si E =
m
M
i=1
Fi : On dit que B est adaptée à la somme directe des Fi si B =
Bi est une base de Fi :
m
[
i=1
Bi où chaque
Exemples 1 .
1. Si E = R2 ; F = f(x; 0) ; x 2 Rg est un sous espace vectoriel de E: La base canonique de
E est adaptée à F: Cependant, la base (u; v) où u = (1; 1) et v = (1; 1) n’est pas adaptée
à F:
2. Si E = R3 ; F = f(x; y; 0) ; x; y 2 Rg est un sous espace vectoriel de E: La base canonique
de E est adaptée à F: Cependant, la base (u; v; w) où u = (1; 0; 0) et v = (0; 1; 1) et
w = (0; 1; 1) n’est pas adaptée à F:
Proposition 3 Soient E un K-espace vectoriel de dimension …nie n 2 N :
1. Si F est un sous espace de E de dimension p 2 N f -stable, alors dans toute base B de
E adaptée à F; la matrice de f est triangulaire par blocs, i.e. elle est de la forme:
MB (f ) =
où A = Mp (K) ; B 2 Mp;n
2. Si E =
m
M
i=1
p (K)
A B
0 C
et C 2 Mn
2 Mn (K)
p (K) :
Fi ; tel que pour tout i Fi est f -stable, alors dans toute base B =
adaptée à la somme directe, la matrice de f
0
M1
B
B 0
MB (f ) = B
B ..
@ .
0
est diagonale par blocs:
1
0
0
.. C
..
..
.
.
. C
C
C
..
..
.
.
0 A
0 Mm
m
[
i=1
Bi de E
où pour tout i; Mi = MBi fjFi est la matrice dans Bi de la restriction de f à Fi :
Conséquence: sous les hypothèses de la proposition ci-dessus, det (f ) =
m
Y
i=1
4
det fjFi :
Chapter 2
Polynômes d’endomorphismes
2.1
Rappels sur les algèbres
Dé…nition 3 Soit K un corps commutatif. Un ensemble non vide A est une K-algèbre (commutative) si
1. A est un K-espace vectoriel
2. A est un anneau (commutatif )
3. 8x; y 2 A; 8 2 K; : (xy) = ( :x) y = x ( :y)
Exemples 2 .
1. L’ensemble K [X] des polynômes à une indéterminée et à cœ¢ cients dans K; est une Kalgèbre commutative
2. Si E est un K-espace vectoriel, l’ensemble L (E) des endomorphismes de E est une Kalgèbre, non commutative pour n 2
3. Si n 2 N ; l’ensemble Mn (K) des matrices carrées d’ordre n est une K-algèbre, non
commutative pour n 2
4. R3 muni du produit vectoriel, est une R-algèbre, non commutative
Dé…nition 4 Les idéaux d’une algèbre sont ses idéaux en tant qu’anneau. Une algèbre A est
dite principale si l’anneau A est principal
Proposition 4 .
1. Z est un anneau principal
2. K [X] est une algèbre principale
Conséquence:
1. Si I est un idéal non nul de Z; il existe un entier naturel non nul unique n tel que I = nZ;
l’ensemble des multiples de n:
5
2. Si I est un idéal non nul de K [X] ; il existe un polynôme unitaire unique m tel que
I = hmi ; l’ensemble des multiples de m:
3. Si P 2 K [X] n f0g ; alors K [X] = hP i est un K-espace vectoriel de dimension égale au degré
de P
2.2
Action de K [X] sur les K-algèbres
Proposition 5 Si A est une K-algèbre, alors K [X] opère à gauche sur A de la manière suivante:
K [X] A !
A
(P; a)
! P (a)
de telle sorte que si a 2 A et P =
n
X
k
k X ; alors P (a) =
k=0
n
X
k
ka
k=0
2 A car c’est une combi-
naison linéaire de puissances de a qui sont aussi des éléments de A; avec la convention a0 = 1;
l’élément neutre de la multiplication de l’algèbre A:
Propriétés: 8P; Q 2 K [X] ; 8a 2 A; 8 2 K
1. (P + Q) (a) = P (a) + Q (a)
2. (P:Q) (a) = P (a) :Q (a)
3. (P
Q) (a) = P (Q (a))
Exemples 3 L’action de K [X] s’e¤ ectue sur
1. K [X] ; via la composition des polynômes
K [X] K [X] ! K [X]
(P; Q)
! P Q
2. L (E) ; de la façon suivante si P =
n
X
kf
k
où f k = f
n
X
kX
k=0
k
2 K [X] et f 2 L (E) ; alors P:f = P (f ) =
::: f , k fois avec la convention f = idE :
k=0
K [X] L (E) ! !
L (E)
n
n
X
X
P =
ak X k ; f
! P (f ) =
ak f k
k=0
3. Mn (K) par: si P =
n
X
k=0
kX
k
k=0
2 K [X] et M 2 Mn (K) ; alors P:M = P (M ) =
, avec la convention M 0 = In :
K [X] M (K) ! !
M (K)
n
n
X
X
k
P =
ak X ; M
! P (f ) =
ak M k
k=0
k=0
6
n
X
k=0
kM
k
Dé…nition 5 Si f et g sont deux endomorphismes d’un K-espace vectoriel E; on dit que g est
un polynôme en f si 9P 2 K [X] tel que g = P (f ) :
Remarque 1 8P; Q 2 K [X] ; 8f 2 L (E) ; P (f ) et Q (f ) sont deux endomorphismes de E qui
commutent; donc Im P (f ) et ker P (f ) sont Q (f )-stables. en particulier, ker P (f ) et Im P (f )
sont f -stables.
Proposition 6 Soient A une K-algèbre et a 2 A:
1. L’application 'a : K [X] ! A; P ! P (a) est un homomorphisme de K-algèbre
2. Im 'a est une sous algèbre commutative de A; notée K [a]
3. ker 'a est un idéal de K [X] ; appelé l’idéal des polynômes annulateurs de a
Dé…nition 6 Si a 2 A où A est une K-algèbre, tel que ker 'a 6= 0; alors le générateur unitaire
ma de ker 'a est appelé le polynôme minimal de a:
Conséquence: Si ma est le polynôme minimal de a 2 A; alors
1. ma est un polynôme unitaire
2. ma (a) = 0
3. 8P 2 K [X] ; si P (a) = 0 alors ma divise P
Proposition 7 Soient A une K-algèbe et a 2 A; alors
a admet un polynôme minimal , K [a] est une K-algèbre de dimension …nie.
En particulier, si A est de dimension …nie, alors tout élément de A admet un polynôme minimal.
Par conséquent on a
Théorème 1 Si E est un K-espace vectoriel de dimension …nie, alors tout endomorphisme de
E admet un polynôme minimal
Exemples 4 .
1. Si f = 0; alors mf = X
2. Si f = idE ; midE = X
1
7
2.3
Décomposition des noyaux
Nous avons déjà vu que si E est un K-espace vectoriel de dimension …nie qui se décompose en
une somme directe de sous espaces vectoriels de E; tous f -stables où f est un endomorphisme
de E, alors la représentation matricielle de f dans une base de E adaptée à cette somme directe
est assez simple car diagonale par blocs. Nous allons voir dans ce qui suit comment parvenir à
cette situation.
Lemme 1 Soient E un K-espace vectoriel, f 2 L (E) ; P et Q 2 K [X] ; deux polyômes et
D = P ^ Q leur PGCD, alors : ker D (f ) = ker P (f ) \ ker Q (f ) :
On en déduit
Proposition 8 Soient E un K-espace
vectoriel, f 2 L (E) ; P et Q 2 K [X] premiers entre eux,
M
ker Q (f ) :
alors ker (P Q) (f ) = ker P (f )
Généralisation
Proposition 9 Soient E un K-espace vectoriel, !f 2 L (E) ; P1 :::; Pn 2 K [X] n polynômes,
n
n
Y
M
premiers entre eux deux à deux, alors ker
Pk (f ) =
ker Pk (f ) :
k=1
k=1
Commentaire: cette dernière formule montre que l’espace de gauche se décompose en
somme directe de sous espaces f -stables. Notre objectif est de montrer!qu’on peut trouver
n
Y
des polynômes tels que dans la proposition de telle sorte que ker
Pk (f ) couvre E tout
k=1
!
n
Y
Pk (f ) = 0: Or en dimension …nie nous avons déjà vu que tout
entier. Autrement dit
k=1
endomorphisme admet un polynôme annulateur. Ainsi on a
Théorème 2 Si E est un K-espace vectoriel de dimension …nie et f 2 L (E) ; alors E se
décompose en somme directe de sous espaces vectoriels de E; f -stables.
En e¤et, E est de dimension …nie, Ann (f ) 6= f0g ; donc 9P 2 K [X] n f0g tel que P (f ) = 0:
D’autre part, puisque l’anneau K [X] est factoriel, le polynôme P se factorise de la façon suivante,
n
Y
P =
Qnk k où les Qk sont des polynômes irréductibles unitaires distincts deux à deux. Donc
k=1
E = ker P (f ) =
n
M
ker Qnk k (f ) :
k=1
8
Chapter 3
Diagonalisation
3.1
Cas des endomorphismes
Dans toute la suite K est un corps commutatif, R ou C et E est un K-espace vectoriel de
dimension …nie.
Objet du travail: étant donné un endomorphisme f de E; on se propose de trouver une base
B de E telle que la représentation matricielle de f dans B soit la plus simple possible. Or mise
à part les matrices scalaires, qui représentent les homothéties de E; y compris l’endomorphisme
nul, dans n’importe quelle base de E, les matrice carrées les plus simples sont les matrices
diagonales.
Ainsi
0
1si B = (e1 ; :::; en ) est une base de E telle que MB (f ) est diagonale de la forme
B
@
1
..
.
n
C
A, alors pour tout k, f (ek ) =
k ek ;
c’est-à-dire les vecteurs ek et f (ek ) sont
proportionnels. Etudions alors de tels vecteurs!
Vecteurs et valeurs propres
Dé…nition 7 Soit f un endomorphisme de E: On appelle
1. vecteur propre de E pour f; tout vecteur x non nul de E tel que le système fx; f (x)g
soit lié
2. valeur propre de f; tout scalaire
tel que 9x 2 En f0g véri…ant f (x) = x
3. le spectre de f est l’ensemble des valeurs propres de f . Il est noté sp (f ) :
Exemples 5 :
1. Si f = idE ; alors 8x 2 E; f (x) = x; ainsi tout vecteur non nul de E est propre pour f et
sp (f ) = f1g
2. Si f = 0; alors alors 8x 2 E; f (x) = 0; ainsi tout vecteur non nul de E est propre pour f
et sp (f ) = f0g
3. Si f : R2 ! R2 ; (x; y) ! (x; 0) ; alors sp (f ) = f0; 1g ; de plus 8t 2 R ; (0; t) est un vecteur
propre pour f de valeur propre 0 et (t; 0) est un vecteur propre pour f de valeur propre 1.
9
4. Soit
2 R: La rotation de R2 de centre 0 et d’angle
est l’endomorphisme du plan
2
r : R ! R2 ; (x; y) ! (x cos
y sin ; x sin + y cos ) ; qu’on pourrait représenter plus
simplement en utilisant la représentation complexe, r : C ! C; z ! ei z: Un calcul
simple montre
n queo si est un multiple entier de ; i.e. 9k 2 Z tel que = k ; alors
sp (rk ) = ( 1)k ; sinon sp (r ) = ?:
Remarques 1 Soit f 2 L (E) ;
n!o
1. ker f 6= 0 , 0 2 sp (f )
2. Si x est un vecteur propre de f; alors 8t 2 K ; tx est l’aussi, c’est-à-dire que tous les
éléments non nuls de vect (x) sont aussi des vecteurs propre de f; on dira alors que
vect (x) est une direction propre de f:
n!o
3. Soit 2 K; alors 2 sp (f ) , ker (f
:idE ) 6= 0 ; c’est-à-dire, est une valeur
propre de f si et seulement si l’application f
:idE n’est pas injective.
Dé…nition 8 Soit f 2 L (E),
1. Si
2 sp (f ) ; alors E = fx 2 E; tq f (x) = xg = ker (f
espace de E propre pour f associé à :
:idE ) est appelé le sous
2. f est dite diagonalisable si E admet une base formée de vecteurs propres pour f; on dira
aussi base de E propre pour f:
Remarque 2 Si E est dimension …nie et f 2 L (E) est diagonalisable, alors f se représente
dans une base propore par une matrice diagonale
Proposition 10 Soient f 2 L (E) et P 2 K [X]
1. 8 2 sp (f ) ; P ( ) 2 sp (P (f ))
2. Si P 2 Ann (f ) ; alors sp (f )
V (P ) = fracines de P g
Applications: Soit f 2 L (E) ;
1. Si f est un projecteur de E; i.e. f 2 = f; alors sp (f )
2. Si f est une symétrie de E; i.e. f 2 = idE ; alors sp (f )
f0; 1g
f 1; 1g
Proposition 11 Soit f 2 L (E) ;
1. 8 2 sp (f ) ; dim E
2. Soient
;
2 sp (f ) ; si
1
6=
alors E \ E =
n!o
0
3. Si F est une famille de vecteurs propres pour f associés à des valeurs propres distinctes
deux à deux alors F est libre.
10
Conséquences en dimension …nie. Soit f 2 L (E) ;
1. sp (f ) = f 2 K; det (f
idE ) = 0g
2. Le cardinal de sp (f ) ; #sp (f )
dim E; c’est-à-dire que dans un espace vectoriel de dimension n; les endomorphismes de E ont au plus n valeurs propres.
3. Si sp (f ) = f
1 ; :::;
pg
alors
(a) la somme E1 + ::: + Ep est directe
p
M
(b) f est diagonalisable , E =
Ek
k=1
Question: Etant donnés deux endomorhismes de E diagonalisables f et g; peut-on trouver
une base de E propre pour f et pour g simultanément? La réponse est non en général,
exemple: f la symétrie orthogonale de R2 d’axe la première bissectrice de R2 et g la symétrie
orthogonale de R2 d’axe horizontal. Cependant, on a le résultat suivant
Proposition 12 Soient E un espace vectoriel de dimension …nie, f et g deux endomorphismes
diagonalisables de E: Si f et g commutent alors f et g admettent une base propre commune.
Conséquence: Soient E un espace vectoriel de dimension …nie, f et g deux endomorphismes
diagonalisables qui commutent, alors f + g est diagonalisable.
3.2
Cas des matrices
Soient E un K-espace vectoriel de dimension n 2 N ; f 2 L (E) et B une base de E: Alors
si M = MB (f ) 2 Mn (K) est la matrice de f relativement à B et X = MB (x) 2 Mn;1 (K)
est celle de x; MB (f (x)) = MB (f ) :MB (x) = M:X: Donc l’équation f (x) = x se traduit
matriciellement par M:X = X:
Dé…nition 9 Soit M 2 Mn (K) : On dit que
1.
2 K est une valeur propre de M si 9X 2 Mn;1 (K) n f0g telle que M X = X
2. X 2 Mn;1 (K) est un vecteur propre de M si X 6= 0 et 9 2 K tel que M X = X:
3. Le spectre de M est l’ensemble sp (M ) des valeurs propres de M
4. M est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.
Exemples 6 .
1. Soit
2 K; sp ( In ) = f g
1 2
; un calcul simple montre qu’en tant qu’élément de M2 (R) ; spR (M ) =
1 3
? et en tant qu’élément de M2 (C), spC (M ) = f2 + i; 2 ig :
2. Soit M =
11
Conséquence: le spectre d’une matrice dépend du corps de base.
Proposition 13 .
1. Soit M 2 Mn (K) ; sp (M ) = f 2 K tels que det (M
In ) = 0g
2. Deux matrices semblables ont le même spectre
3. 8M 2 Mn (K) ; sp t M = sp (M )
4. Si E est un K-espace vectoriel de dimension …nie, B est une base de E et f 2 L (E) ;
sp (f ) = sp (MB (f ))
3.3
Le polynôme caractéristique
Proposition 14 .
1. Soit M 2 Mn (K) : det (M XIn ) est un polyôme en X à cœ¢ cients dans K et de degré
n; appelé le polynôme caractéristique de M et est noté XM :
2. XM = ( 1)n X n + ( 1)n
1
tr (M ) X n
1
+ ::: + det M; ainsi sp (M ) = fracines de XM g
Exmple 3 .
1 2
1 3
1. Pour M =
0
6 0
2. Pour M = @ 2 1
0 0
; XM = X 2
1
1
4 A, X M =
3
4X + 5
X 3 + 10X 2
27X + 18
3. Pour M = 0 2 Mn (K) ; X0 = ( 1)n X n et pour M = In ; XIn = (1
X)n
Proposition 15 Le polynôme caractéristique est un invariant de similitude, i.e. deux matrices
semblables ont le même polynôme caractéristique,
Remarque 3 La réciproque est fausse.
Par conséquent on a
Dé…nition 10 Si E est un K-espace vectoriel de dimension …nie, B est une base de E et f 2
L (E) ;
1. le polynôme caractéristique de f est celui de sa matrice dans une base quelconque de
E
2. Pour tout 2 sp (f ) ; la multiplicité de la valeur propre
Elle est notée mult ( ; f ) 2 N:
de M est celle de
3. Si M 2 Mn (K) ; pour tout 2 sp (M ) ; la multiplicité de la valeur propre
de dans XM : Elle est notée mult ( ; M ) 2 N:
12
dans XM :
de M est celle
Par extension Si M 2 Mn (K) et 2 K; on posera mult ( ; M ) := mult ( ; XM ) : Ainsi si
2 K;
2 sp (M ) , mult ( ; M ) 6= 0
Proposition 16 Soient M 2 Mn (K) et
1. 1
mult ( ; M )
2 sp (M ) ; tels que m = mult ( ; M ) : Alors
n
2. 9!Q 2 K [X] tel que XM = (X
)m Q et Q ( ) 6= 0:
Théorème 3 Soit E un K-espace vectoriel de dimension …nie et f 2 L (E) ; alors
1. 8 2 sp (f ) ; 1
dim E
2. f est diagonalisable ,
m = mult ( ; f )
Xf est scindé
8 2 sp (f ) ; dim E = m
Remarques 2 .
1. Si le corps K est algébriquement clôs, (exp. C); tout polynôme à cœ¢ cients dans K étant
scindé, le théorème ci-dessus se simpli…e de la manière suivante:
f est diagonalisable , 8 2 sp (f ) ; dim E = m
2. Si Xf est séparable (i.e. scindé n’ayant que des racines simples) alors f est automatiquement diagonalisable
3.4
La matrice compagon d’un polynôme unitaire
On a vu que pour tout M 2 Mn (K) ; ( 1)n XM est un polynôme unitaire de degré n. Question:
Si P 2 Kn [X] est un polynôme unitaire de degré n, existe-t-il une matrice carrée d’ordre n dont
le polynôme caractéristique est ( 1)n P ? La réponse est oui, d’après le résultat suivant:
Dé…nition 11 Si P = X n +
n
X1
ak X k est un polynôme unitaire de degré n
2 et à cœ¢ cients
k=0
dans K; on appelle
1. endomorphisme
compagnon de P; l’endomorphisme de Kn dé…ni dans la base canonique
8
>
< fP (ek ) = ek+1 pour 1 k n 1
n
n
X1
de K par
ak ek+1
>
: fP (en ) =
k=0
2. la matrice compagnon de P est la matrice représentant fP dans la base canonique, elle est
alors de la forme
0
1
0 0
0
a0
B
C
..
B 1 0 . . . ...
C
.
B
C
B
C
..
B 0 1 ... 0
C
.
B
C
B .. . .
C
..
..
@ .
A
.
. 0
.
0
0 1
an 1
13
Proposition 17 Si P = X n +
n
X1
ak X k est un polynôme unitaire de degré n, le polynôme
k=0
caractéristique de la matrice compagnon de P est ( 1)n P
Par ailleurs l’appliaction ' : Mn (K) ! Kn [X] ; M ! ( 1)n XM n’est ni ijective ni surjective, de plus Im ' est l’ensemble des polynômes unitaires
14
Chapter 4
Trigonalisation
4.1
Généralités
Dé…nition 12 .
1. Un endomorphisme f 2 L (E) est dit trigonalisable si l’espace vectoriel E contient une
base B telle la matrice MB (f ) soit triangulaire
2. Une matrice carrée M 2 Mn (K) est dite trigonalisable si elle est semblable à une matrice
triangulaire
1
1
est triangulaire donc trigonalisable, mais n’est pas diagonalisable,
0 1
car XM = (X 1)2 ; 1 est une valeur propre unique de multiplicité 2, et E1 = vect (e1 ) où
e1 = (1; 0) ; donc dim E1 = 1 < mult (1) :
Exmple 4 M =
Théorème 4 .
1. Soit f 2 L (E) ; f est trigonalisable , Xf est scindé
2. M 2 Mn (K) ; M est trigonalisable , XM est scindé
Remarques 3 .
1. Si K est algébriquement clôs, tout endomorphisme d’un K-espace vectoriel est trigonalisable. De même, toute matrice de Mn (K) est trigonalisable
2. En particulier, toute matrice carrée à cœ¢ cients complexes est trigonalisable
3. L’objet de la suite de ce cours est de simpli…er le plus possible la partie signi…cative des
matrices triangulaires. Pour celà faisons l’observation suivante:
Si f 2 L (E) et E =
p
M
k=1
Fk tel que les Fk sont tous f -stables, alors dans une base B = [Bk
adaptée à la somme directe, l’endomorphisme f se représente par une matrice diagonale par
15
0
1
0
B
.. C
..
B 0
.
. C
B
C où pour tout k; Mk = MB fjF est la matrice
blocs, MB (f ) = B .
k
k
C
.
.
.
@ .
.
0 A
0
0 Mp
dans Bk de la restriction de f à Fk : Ainsi la simpli…cation de la représentation de f passe par la
simpli…cation des Mk ; d’où la nécessité de chercher la meilleure décomposition de E en somme
directe de sous espaces f -stables, c’est-à-dire celle qui donne les plus simples Mk :
M1
0
..
.
..
.
Proposition 18 Soit f 2 L (E) et E =
on pose fk = fjFk : Alors
p
M
Fk tels que les Fk sont tous f -stables. Pour tout k;
k=1
1. 8k; fk 2 L (Fk ) :
2. f se représente dans toute base de E adaptée à la somme directe par une matrice diagonalisable par blocs
3. Xf =
4.
f
=
p
Y
Xfk
p
_
fk ;
k=1
le ppcm des
fk
k=1
Problème: Trouver une bonne décomposition de E en somme directe de sous
espaces f -stables
On a déjà vu que si P = Q1 :::Qp 2 K [X] tels que les Qk sont premiers entre eux deux à
p
M
deux, alors d’après le théorème des noyaux, ker P (f ) =
ker Qk (f ) où les ker Qk (f ) sont
k=1
f -stables. D’autre part E étant de dimension …nie, donc Ann (f ) 6= f0g : Déjà la décomposition
du polynôme minimal de f nous donne une décomposition de E: cependant on a le théorème
suivant:
Théorème 5 Cayley-Hamilton.
1. Si E est un espace vectoriel de dimension …nie et f est un endomorphisme de E; alors le
polynôme caractéristique de f; Xf 2 Ann (f ) ; i.e Xf (f ) = 0
2. Si M 2 Mn (K) ; XM (M ) = 0; i.e. XM 2 Ann (M ) :
0
1
1 0
1
2 A, le polynôme caractéristique de M est XM = X 3 2X 2 9;
Exmple 5 Soit M = @ 2 3
5 0
2
alors XM (M ) = M 3 2M 2 9I3 = 0
16
Conséquence:
Proposition 19 Soit f 2 L (E) tel que Xf est scindé, i.e. Xf =
1. E =
p
M
ker (f
p
Y
(
k
X)nk ; alors
k=1
nk
k idE )
k=1
2. Le polynôme minimal de f est
f
=
p
Y
(X
k=1
mk
k)
où 8k; 1
mk
nk
nk
mk
est un sous espace vectoriel de E; f -stable,
= ker (f
3. 8k; ker (f
k idE )
k idE )
appelé le k-ième sous espace caractéristique de f et est noté Nk
4. 8k; dim Nk = nk
5. 8k; la restriction de f
k idE
à Nk est nilpotent d’indice nk
On en déduit
Théorème 6 Soit f 2 L (E) tel que Xf est scindé. L’endomorphisme f est diagonalisable si et
seulement si f est séparable.
Conséquences:
1. Si f 2 L (E) tel que #sp (f ) = dim E alors f est diagonalisable
2. Si 9P 2 K [X] ; séparable et tel que P (f ) = 0 alors f est diagonalisable
Commentaire: En partant du fait que Xf est scindé, i.e. Xf =
p
M
p
Y
(
k
X)nk ; donc
k=1
nk
ker (f
; alors dans une base de E adaptée à la somme directe, B = [Bk ;
k idE )
k=1 0
1
M1 0
0
B
.. C
..
..
B 0
.
.
. C
B
C où pour tout k; Mk = MB fjN est la matrice dans Bk
MB (f ) = B .
k
k
C
.
.
.
.
.
@ .
.
.
0 A
0
0 Mp
de la restriction de f à Nk : Or 8k; fk := fjNk = (f
k idE )jNk + k idEjNk = k + k idNk ; où
est
un
endomorphisme
de
N
nilpotent
d’
indice
n
.
Ainsi
le problème de la simpli…cation de
k
k
k
la représentation matricielle des endomorphismes revient à celui des endorphismes nilpotents.
E =
17
4.2
Endomorphismes Nilpotents
Dé…nition 13 .
1. Un endomorphisme de f d’un espace vectoriel E est dit nilpotent s’il existe k 2 N tel que
f k = 0; en particulier 8p k; f p = 0
2. Une matrice M 2 Mn (K) est dite nilpotente s’il existe k 2 N tel que M k = 0:
Remarques 4 :
1. Un endomorphisme nilpotent se représente dans n’importe quelle base par une matrice
nilpotente
2. Si f est nilpotent
(a) il existe k 2 N tel que X k 2 Ann (f ) : Puisque le polynôme minimal de f divise
X k ; donc 9!m 2 N tel que f = X m ; donc f m = 0 et f m 1 6= 0: m est l’indice de
nilpotence de f; i.e. m = min k 2 N tel que f k = 0
(b) Si f 6= 0; m
2
Lemme 2 Si f 2 L (E) n f0g est nilpotent d’indice m alors
1. 9x 2 E tel que la famille x; f (x) ; :::; f m
1 (x)
est libre
2. f dim E = 0
3. sp (f ) = f0g
4. Xf = ( X)dim E
4.2.1
Les noyaux itérés d’un endomorphisme nilpotent
Dé…nition 14 Si f 2 L (E) est nilpotent d’indice m alors on considère les noyaux itérés suivants
Ki = f0g ; si i
0
i
Ki = ker f ; si i
1
Proposition 20 Si f 2 L (E) est nilpotent d’indice m alors
1. f0g = K0
K1
:::
2. 8i 2 N; 8j 2 Z; f i (Kj )
3. En notant di = dim Ki
Km = E
Kj
i
dim Ki
1
= dim Ki =Ki
d1
1;
on a
::: dm 1 et
m
X
di = dim E
i=1
Dé…nition 15 La suite (d1 ; :::; dm ) est appelée la suite caractéristique de f
18
4.2.2
Matrices de Jordan
Dé…nition 16 Soient n 2 N et
2 K: La matrice triangulaire supérieure d’ordre n,
0
1
1
0
0
B
C
B 0 . . . . . . . . . ... C
B
C
B
C
Jn ( ) = B ... . . . . . . . . . 0 C
B
C
B .. . .
C
..
..
@ .
.
.
. 1 A
0
0
est appelée la matrice de Jordan d’ordre n et de valeur propre
Exmple 6 J1 ( ) = ; J2 ( ) =
1
0
0
1
1
1 0 0
1 0
B 0
1 0 C
C
1 A ; J4 ( ) = B
; J3 ( ) = @ 0
@ 0 0
1 A
0 0
0 0 0
0
Remarques 5 :
1. Si Jn ( ) = (xi;j )i;j2Nn ; alors xi;j =
i;j
+
i+1;j
2. La matrice Jn (0) est nilpotente d’indice n
3. Jn ( ) = In + Jn (0)
Pour la démonstration du théorème ci-dessous on a besoin du lemme et de la dé…nition
suivants:
Lemme 3 Soient g une endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension n 2 N et x 2 E
tels que g k (x) = 0 et g k 1 (x) 6= 0; alors
1. F = vect x; g (x) ; :::; g k
k:
1 (x)
est un sous espace vectoriel de E; f -stable et de dimension
2. La restriction de g à F est représentée dans la base g k
Jordan Jk (0) :
Dé…nition 17 Soient F
1 (x) ; :::; x;
E deux espaces vectoriels, L = fu1 ; :::; up g
par la matrice de
E: On dit que
1. la famille L est libre (resp. génératrice de E) modulo F si la famille L = fu1 ; :::; up g
d’éléments de E=F des classes d’équivalence modulo F est libre (resp. génératrice de
E=F ):
2. L est une base de E modulo F si L est une base de E=F:
Théorème 7 Soient E un K-espace vectoriel de dimension n 2 N et f un endomorphisme de
E; nilpotent d’indice m et de suite caractéristique (d1 ; :::; dm ) : Il existe une base B de E telle
que
19
0
B
B 0
1. MB (f ) = B
B ..
@ .
0
2. 8k 2 Nm ;
dk
dk+1
k
1
0
.. C
. C
C ; est une matrice diagonale par blocs
C
0 A
0
m
m 1
..
.
..
.
..
.
0
0
B
= @
1
Jk (0)
..
1
C
A ; une matrice diagonale par blocs contenant
.
Jk (0)
blocs de Jordan identiques à Jk (0) :
Remarques 6 :
1. On convient que dm+1 = 0
2. Si pour un certain k, dk = dk+1 ; alors le bloc
de f donnée en (1) du théorème.
k
est absent de la représentation matricielle
Exemples 7 :
1. Si dim E = 5 et f est nilpotent d’indice 3 et de suite caractéristique (3; 1; 1) ; alors il existe
une base B de E telle que
3
MB (f ) =
où
3
= J3 (0) et
1
=
J1 (0)
0
1
0
B
B
= O2 : Donc MB (f ) = B
B
@
0
J1 (0)
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
C
C
C
C
A
2. Si dim E = 5 et f est nilpotent d’indice 3 et de suite caractéristique (2; 2; 1) ; alors il existe
une base B de E telle que
3
MB (f ) =
où
4.3
3
= J3 (0) et
2
2
0
B
B
= J2 (0) : Donc MB (f ) = B
B
@
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
C
C
C
C
1 A
0
Théorème de Jordan
Théorème 8 (Jrodan) Soit E un espace vectoriel de dimension n 2 N et f un endomorp
Y
phisme de E de polynôme caractéristique Xf =
( k X)nk et de polynôme minimal f =
p
Y
k=1
k=1
(X
mk
k)
; alors il existe une base B de E telle que:
20
0
B
1. MB (f ) = @
..
.
Mp
0
B
2. 8k 2 Np ; Mk = @
8i 2 Nmk ;
1
M1
i ( k)
mk
(
C
A est diagonale par blocs
..
0
B
=@
1
k)
.
1 ( k)
Ji (
k)
..
C
A est diagonale par blocs de telle sorte que
1
C
A comportant dk;i
.
dk;i+1 blocs de Jordan
Ji ( k )
où (dk;1 ; :::; dk ;mk ) est la suite caractéristique de l’endomorphisme nilpotent (f
d’indice mk :
21
k )jNk
Chapter 5
Applications
5.1
Les puissances d’une matrice carrée
Soient A 2 Mn (K) et k 2 N; calculons Ak pour k 6= 0: (On rappelle ici la convention classique
A0 = In pour A 6= 0):
1. Si A est diagonale, c’est facile,
0
B
A=@
1
1
..
.
n
0
k
1
C
B
k
A ; alors 8k 2 N; A = @
2. Si A est diagonalisable, 9P 2 GLn (K) ; A = P
alors 8k 2 N; Ak = P 1 k P
3. Si A est trigonalisable, i.e. XA est scindé. XA =
1
p
Y
..
k
n
P où
(
k
.
1
C
A
est une matrice diagonale,
X)nk et
k=1
f
=
p
Y
(X
mk
k)
:
k=1
Soit f l’endomorphisme de Kn représenté dans la base canonique par la matrice A: On va
calculer les puissances de f; donc de A; au moyens des projecteurs spectraux.
Dé…nition 18 L’espace E =
Kn
=
p
M
Ni la décomposition de E sur les sous-espaces caractéris-
i=1
tiques Ni . Le i-ième projecteur spectral de E est la projection
p
M
à
Nj
j=1
j6=i
Propriétés:
1.
p
X
i
= idE
i=1
2. 8i; j 2 Np ;
i
j
=
i;j i
22
i
de E sur Ni parallèlement
3. 8i 2 Np ;
li
X
i
li
X
est un polynôme en f (i:e: 9Pi =
k=0
ak X k 2 K [X] ; tel que
i
= Pi (f ) =
ak f k )
k=0
Remarque 4 En fait le polynôme Pi ci-dessus est de la forme Qi Ri où Ri =
p
X
Qk
1
Q1 ; :::; Qp sont les seuls polynômes véri…ant d Qi < mi et
=
m :
(X
k) k
f
(X
i)
mi
et
f
k=1
0
1
1
1 0
@
0 1 0 A : calculons Ak pour k 2 N; en appliquant la méthode
Exmple 7 Soit A =
0 0 2
des projecteurs spectraux. XA = (1 X)2 (2 X) ; donc A est soit (X 1) (X 2) soit
(X 1)2 (X 2) : Or (A I3 ) (A 2I3 ) 6= 0; donc A = (X 1)2 (X 2) et A n’est pas
1
X
1
1
diagonalisable.
=
: Alors 1 = A (A 2I3 ) et
=
2
2 + X
2
(X 1) (X 2)
(X 1)
A
I3 )2 ; donc 8k 2 N; Ak = A (2I3 A)
A (I3 A) +1
2k (I3 A)2 : Ce
2 = (A
0 + k (2I3 1 A)0
1 0 0
0
1 0
résultat peut être retrouvé en décomposant A = @ 0 1 0 A + @ 0 0 0 A ; sous la forme
0 0 2
0 0 0
de la somme d’une matrice diagonale et une matrice nilpotente.
Proposition 21 Avec les conventions ci-dessus on a, 8k 2 N;
k
f =
p min(kX
i ;mi
X
i=1
où les Ckj =
5.2
1)
Ckj
ki j
i
i
j
i idE )
(f
j=0
k!
sont les cϢ cients binomiaux.
j! (k j)!
L’exponentielle d’une matrice carrée
Puisque l’exponentielle d’un nombre complexe est une limite donnée par:
8z 2 C; exp (z) =
1
X
zk
k=0
k!
= lim
n!1
n
X
zk
k=0
k!
dont le calcul exige l’existence de la notion de voisinage donc d’une topologie dans C; la topologie
euclidienne en locurence. On doit donc disposer d’une topologie sur Mn (K) si on veut dé…nir la
notion de l’exponentielle d’une matrice carrée. Comme dans le cas de C; on dé…nira sur Mn (K)
une topologie associée à une norme.
Dé…nition 19 Soit A une K-algèbre, (K est ici R ou C). Une norme d’algèbre sur A est une
norme qui véri…e en plus l’inégalité suivante: 8x; y 2 A
kx:yk
kxk kyk
23
Cas particulier qui nous intéresse: l’algèbre Mn (K) possède des normes d’algèbre.
Exemples 8 Si A = (ai;j ) 2 Mn (K) ; kAk = max
1 j n
n
X
i=1
jai;j j est une norme sur Mn (K) :
De façon générale, nous considérons les normes de Mn (K) subordonnées aux normes de
i.e. celle dédinies par: 8A 2 Mn (K) ; kAk = max kA:xk
kxk = max kA:xk : Une fois …xée une
Kn ;
kxk6=0
kxk=1
1
norme, on voit facilement que la série de terme général Ak est normalement convergente, donc
k!
convergente. On peut alors poser
Dé…nition 20 8A 2 Mn (K) ; l’exponentielle de A est la matrice carrée
exp (A) =
1
X
1 k
A :
k!
k=0
Propriétés, 8A; B 2 Mn (K)
1. Si AB = BA alors exp A: exp B = exp B: exp A = exp (A + B)
2. exp t A = t exp (A)
3. exp A = exp (A); ici A est la matrice conjuguée de A si A 2 Mn (C) :
4. 8P 2 GLn (K) ; exp P
1 AP
=P
1 exp (A) P
5. det (exp (A)) = exp (tr (A))
5.3
Résolution d’un système homogène d’équations di¤érentielle
du premier ordre
Rappel, si f est une fonction di¤érentiable, alors l’équation di¤érentielle f 0 = f admet comme
ensemble des solutions fk exp ( t) ; k 2 Rg : Si f1 ; :::; fn sont n fonctions. Quel est l’ensemble des
solutions du système?
8 0
< f1 = a11 f1 + ::: + a1n fn
(S)
: 0
fn = an1 f1 + ::: + ann fn
0
1
f1
B
C
Solution: On considère le vecteur X = @ ... A : Le système di¤érentiel (S) est équivalent à
fn
1
a11
a1n
B
.. C :
..
X 0 = AX où A = @ ...
.
. A
an1
ann
L’ensemble des solutions est fexp (tA) B; B 2 Mn;1 (R)g
0
24
5.4
5.4.1
Les suites récurrentes
Cas de plusieurs suites
Soient (un )n et (vn )n deux suites numériques telles que 8n 2 N;
(Sn )
un+1 = aun + bvn
vn+1 = cun + dvn
Problème: Déterminer (un )n et (vn )n :
a b
un
; Xn =
c d
vn
8n 2 N; Xn = An X0 : Le problème revient ainsi à déterminer les puissances de A:
Le système (Sn ) est équivalent à Xn+1 = AXn où A =
: Alors
Remarque 5 . Ce qui a été fait pour deux suites est aussi valable pour plusieurs suites
5.4.2
Cas d’une suite récurrente d’ordre supérieur
Si on doit déterminer une seule suite donnée de façon récurrente par exemple par un+30= aun+21+
un+3
bun+1 +cun ; on transforme la dernière identité en posant Xn+3 = AXn+2 où Xn+3 = @ un+2 A ;
un+1
0
1
a b c
et A = @ 1 0 0 A : Ainsi 8n 2; Xn = An X2 : Le problème une fois encore revient au calcul
0 1 0
de An :
25