Licence Sciences Mathématiques Algèbre 4

Licence Sciences Mathématiques
Algèbre 4
Pr. Fayçal LAMRINI
Université Sidi Mohammed Benabdallah, Faculté des sciences Dhar El Mehraz
Automne 2015

Contents
1 La stabilité des sous-espaces vectoriels 3
1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 En dimension …nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Polynômes d’endomorphismes 5
2.1 Rappels sur les algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Action de K[X]sur les K-algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Décomposition des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Diagonalisation 9
3.1 Cas des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Cas des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Le polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4 La matrice compagon d’un polynôme unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Trigonalisation 15
4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 Endomorphismes Nilpotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2.1 Les noyaux itérés d’un endomorphisme nilpotent . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2.2 Matrices de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3 Théorème de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 Applications 22
5.1 Les puissances d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2 L’exponentielle d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3 Résolution d’un système homogène d’équations di¤érentielle du premier ordre . . 24
5.4 Les suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.4.1 Cas de plusieurs suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.4.2 Cas d’une suite récurrente d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1

Préface
Les notes qui suivent sont celles du cours du module Algèbre 4, de la licence Sciences Math-
ématiques, nouvelle version, que je dispense à la faculté des Sciences Dhar El Mehraz, durant le
semestre d’automne. Le module Algèbre 4 vient remplacer le module Algèbre 3 de l’ancienne ver-
sion de ladite licence qui était beaucoup plus éto¤é car s’e¤ectuait en plus de temps qu’Algèbre
4. L’ancien cours débordait le théorème de Jordan, pour traiter la décomposition de Dunford
et la réduction de Frobenius.
L’objet de ce cours est de présenter les techniques calculatoires qui permettent de représenter
matriciellement, de la plus simple des manières, les endomorphismes des espaces vectoriels de
dimension …nie. Ou encore de trouver les élements les plus simples, ceux comportant le maximum
de composantes nulles, dans les classes de similitude des matrices carrées. Ce travail permet
de simpli…er le calcul des puissances des matrices carrées, de leur exponentielle, de résoudre
des systèmes di¤érentiels du premier ordre, de déterminer les suites, scalaires ou vetorielles,
récurrentes d’ordre supérieur.
2

Chapter 1
La stabilité des sous-espaces
vectoriels
1.1 Généralités
Dé…nition 1 Soient Eun ensemble non vide et f:E!Eune application. Une partie Ade
Eest dite stable par f(ou f-stable) si f(A)A
Exmple 1 .
1. Pour la fonction sinus, sin : R!R;f0gest sin-stable, fgn’est pas sin-stable, l’intervalle
[0;3] n’est pas sin-stable.
2. Pour toute application f:E!E,?et Esont toujours des parties f-stables de E:
Proposition 1 Si Eest un espace vectoriel et fest un endomorphisme de E; alors pour toute
partie Ade E; vect (A)est f-stable si et seulement si f(A)vect (A)
Exmple 2 Pour l’application f: (x; y)!(y; x)de R2!R2;le sous espace vectoriel F=
vect (! e1= (1;0)) n’est pas f-stable
Proposition 2 Soient fet gdeux endomorphismes d’un espace vectoriel E: Si fet gcommutent
alors Im fet ker fsont g-stables, et vice versa.
Conséquence: si fest un endomorphisme d’un espace vcetoriel E, alors 8n; m 2N; fnet
fmcommutent, donc Im fnet ker fnsont fm-stables
1.2 En dimension …nie
Dé…nition 2 Soient Eun espace vectoriel de dimension …nie n2Net B= (e1; :::; en)une
base de E
1. Si Fest un sous espace de Ede dimension p2N;on dit que Best adaptée à Fsi
(e1; :::; ep)est une base de F:
3

2. Si E=
m
M
i=1
Fi:On dit que Best adaptée à la somme directe des Fisi B=
m
[
i=1
Bioù chaque
Biest une base de Fi:
Exemples 1 .
1. Si E=R2; F =f(x; 0) ; x 2Rgest un sous espace vectoriel de E: La base canonique de
Eest adaptée à F: Cependant, la base (u; v)où u= (1;1) et v= (1;1) n’est pas adaptée
àF:
2. Si E=R3; F =f(x; y; 0) ; x; y 2Rgest un sous espace vectoriel de E: La base canonique
de Eest adaptée à F: Cependant, la base (u; v; w)où u= (1;0;0) et v= (0;1;1) et
w= (0;1;1) n’est pas adaptée à F:
Proposition 3 Soient Eun K-espace vectoriel de dimension …nie n2N:
1. Si Fest un sous espace de Ede dimension p2Nf-stable, alors dans toute base Bde
Eadaptée àF; la matrice de fest triangulaire par blocs, i.e. elle est de la forme:
MB(f) = A B
0C2 Mn(K)
où A=Mp(K); B 2 Mp;np(K)et C2 Mnp(K):
2. Si E=
m
M
i=1
Fi;tel que pour tout i Fiest f-stable, alors dans toute base B=
m
[
i=1
Bide E
adaptée à la somme directe, la matrice de fest diagonale par blocs:
MB(f) = 0
B
B
B
B
@
M10   0
0.......
.
.
.
.
.......0
0   0Mm
1
C
C
C
C
A
où pour tout i; Mi=MBifjFiest la matrice dans Bide la restriction de fàFi:
Conséquence: sous les hypothèses de la proposition ci-dessus, det (f) =
m
Y
i=1
det fjFi:
4