Matrices et déterminant, espaces vectoriels et applications linéaires

Université de Poitiers - 2015-2016
A. Moreau
Algèbre - Géométrie
M1 MEEF
Matrices et déterminant, espaces vectoriels
et applications linéaires
Dans ce qui suit, K = Q, R ou C.
Pour n, p ∈ N∗ , on désigne par Matn,p (K) l’ensemble des matrices d’ordre n × p.
Matrices et déterminants
Exercice 1 (une équation matricelle). Combien y a-t-il de matrices diagonales D de Matn (R)
vérifiant D3 = 2In ? Et dans Matn (C) ?
Exercice 2 (centre de Matn (K)). On se propose dans cet exercice de déterminer l’ensemble
C = {A ∈ Matn (K) | ∀ M ∈ Matn (K), AM = M A} des matrices de Matn (K) qui commutent
avec toutes les autres.
1. Vérifier que λIn ∈ C pour tout λ ∈ K.
2. Soit A ∈ C .
(a) Pour (i, j) ∈ {1, . . . , n}2 , on note Ei,j la matrice élémentaire associée au coefficient
(i, j), c’est-à-dire la matrice qui a un unique coefficient non nul, égal à 1.
Calculer AEi,j et Ei,j A pour tout (i, j) ∈ {1, . . . , n}2 .
(b) En déduire que A est de la forme A = λIn avec λ ∈ K.
3. Conclure.


1 1 1


Exercice 3 (calculs de puissances et binôme de Newton). Posons A = 0 1 1.
0 0 1
1. Calculer A2 , A3 et A4 .
2. On dit qu’une matrice carrée M est nilpotente s’il existe un entier k tel que M k = 0.
Vérifier que N = A − I3 est une matrice nilpotente de Mat3 (K).
3. À l’aide de la question 2), calculer pour tout entier positif n, la puissance nième de A.
4. F Montrer que si M ∈ Matp (K), p ∈ N∗ , est une matrice inversible, alors pour entier
positif n, on a (M −1 )n = (M n )−1 .
Donner une expression de (A−1 )n pour tout entier relatif n ∈ Z. Par convention, A0 = I3 .
Remarque : On peut aussi déterminer An pour tout entier n par récurrence sur n.
Exercice 4. Calculer le déterminant d’ordre n ∈ N∗ suivant :
α + a1
a2
∆n = a3
..
.
a
−1
0
α
−1
0
..
.
α
0
···
n
···
..
.
..
.
0
0 ,
−1 α 0
..
.
où α, a1 , . . . , an ∈ K. Par convention, ∆1 = α + a1 .
Exercice 5 (déterminant de Vandermonde).
Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796) est un mathématicien français. Il fut aussi économiste, musicien et chimiste, travaillant notamment avec Étienne Bézout et Antoine Lavoisier. Son nom
est maintenant surtout associé à une matrice et son déterminant.
Soit (x1 , . . . , xn ) ∈ Kn . On appelle déterminant de Vandermonde le déterminant ∆(x1 , . . . , xn )
de la matrice suivante :
1 x1 x21 · · ·

1 x2 x22 · · ·
V (x1 , . . . , xn ) = 
..
..
 ..
.
.
.
1 xn x2n · · ·

xn−1
1

xn−1

2
.. 
 ∈ Matn (K)
. 

xn−1
n
1. Calculer ∆(x1 ), ∆(x1 , x2 ), ∆(x1 , x2 , x3 ).
2. F Montrer par récurrence sur n ∈ N∗ :
Y
∆(x1 , . . . , xn ) =
(xj − xi ).
16i<j6n
En déduire que ∆(x1 , . . . , xn ) est non nul si et seulement si x1 , . . . , xn sont deux à deux
distincts.
Espaces vectoriels
Exercice 6. Soit E le R-espace vectoriel des fonctions de R dans R. On définit les fonctions
f, g, h et k de E par :
∀ x ∈ R,
f (x) = sin x,
g(x) = cos x,
h(x) = sin 2x,
k(x) = sin x + cos x.
Déterminer une base de Vect(f, g, h, k).
Exercice 7. F Soient E le R-espace vectoriel des fonctions de ]0, 1[ dans C, n un entier naturel
non nul, et a1 , . . . , an des nombres réels deux à deux distincts de ]0, 1[. Pour tout k ∈ {1, . . . , n},
on pose :
1
fk : ]0, 1[ −→ R, x 7−→
.
1 − ak x
Montrer que la famille (f1 , . . . , fn ) est libre dans E.
Exercice 8. Soient
F = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | x1 − x2 + x3 − x4 = 0}
et
G = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | x1 − x2 = 0 et x3 − x4 = 0}
1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R4 et en donner une base. Donner un
supplémentaire de F .
2. Mêmes questions pour G.
Exercice 9. Dans R4 , soient
u = (1, 0, 1, 0),
v = (0, 1, −1, 0),
w = (1, 1, 1, 1),
x = (0, 0, 1, 0),
y = (1, 1, 0, −1),
F = Vect(u, v, w) et G = Vect(x, y). Déterminer la dimension et une base de chacun des sousespaces vectoriels F , G, F + G, F ∩ G. Donner un supplémentaire de chacun de ces sous-espaces.
Exercice 10. Soit D la droite vectorielle engendrée par le vecteur (1, 1, . . . , 1) de Kn , et soit
H = {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Kn | x1 + x2 + · · · + xn = 0}.
Vérifier : D ⊕ H = Kn .
Exercice 11. Soient n > 2 et H l’ensemble des polynômes P de Kn [X] tels que P (1) = 0.
Montrer que H est un sous-espace vectoriel de Kn [X], donner sa dimension et en donner un
supplémentaire.
Exercice 12. F On se place dans le R-espace vectoriel R2 [X]. Montrer qu’il existe une unique
base B de R2 [X] telle que, pour tout P ∈ R2 [X], la matrice de P dans la base B soit :


P (−1)


C =  P (0)  .
P (1)
Indication : on pourra penser aux polynômes de Lagrange : voir l’exercice 19.
Applications linéaires
Exercice 13. Soient E un K-espace vectoriel et f un endomorphisme de E tel que pour tout
vecteur x de E, les vecteurs x et f (x) soient colinéaires. Montrer que f est une homothétie,
c’est-à-dire qu’il existe un scalaire λ tel que pour tout vecteur x ∈ E, on ait f (x) = λx.
Indication : on pourra calculer f (x + y), pour x, y ∈ E, de deux façons différentes.
Exercice 14. Soient B = (e1 , e2 , e3 ) une base de R3 , C = (u1 , u2 ) une base de R2 , f l’application
linéaire de R3 dans R2 dont la matrice dans les bases B et C est
A=
1 2 3
4 5 6
!
.
Déterminer le noyau et l’image de l’application linéaire f .
Exercice 15. Soient E un K-espace vectoriel, p un entier naturel non nul et f un endomorphisme
de E.
1. On suppose que l’endomorphisme f est nilpotent, c’est-à-dire qu’il existe un entier p > 1
tel que l’endomorphisme f p soit nul. Calculer
(IdE − f ) ◦ (IdE + f + f 2 + · · · + f p−1 ).
En déduire que l’endomorphisme IdE − f est un automorphisme et expliciter sa bijection
réciproque.
2. Application. L’espace E est maintenant le K-espace vectoriel Kn [X]. On note D l’application «dérivation» de E dans E, qui à tout polynôme P de E associe son polynôme dérivé
P 0 . On pose également
ϕ : E −→ E
P 7−→ P − P 0 .
(a) Montrer que ϕ est un automorphisme de E.
(b) En déduire que l’équation différentielle
y 0 − y = x3 − 3x2 + 7x − 2
admet une unique solution y polynomiale de degré 3.
Exercice 16. Pour tout k ∈ N, on note X k l’application de R dans R qui à x associe xk . Soient
n ∈ N et
ϕ : C ∞ (R, R) −→ C ∞ (R, R)
n
X
f (k) (0) k
X .
f 7−→ f −
k!
k=0
Montrer que l’application ϕ est un endomorphisme de l’espace vectoriel C ∞ (R, R) et déterminer
son noyau.
Exercice 17. On considère l’application
f : K[X] −→ K[X]
P 7−→ P (X + 1) − P (X).
1. Montrer que f est un endomorphisme de K[X].
2. (a) Déterminer le degré du polynôme f (X k ), pour tout k ∈ N.
(b) En déduire que, pour tout p ∈ N, le sous-espace Im f contient au moins un polynôme
de degré p.
(c) En déduire l’image de l’endomorphisme f .
3. Déterminer le noyau de f .
Exercice 18. Soient E un K-espace vectoriel, f et g deux endomorphismes de E. On suppose
que les endomorphismes f et g commutent. Montrer que les sous-espaces ker f et Im f sont
stables par g.
Exercice 19 (polynômes de Lagrange). F
Joseph Louis, comte de Lagrange (1736-1813) est un mathématicien, mécanicien et astronome. Élève brillant issu d’un milieu aisé, il étudie au collège
de Turin. Il prend goût pour les mathématiques par hasard à l’âge de 17 ans
après la lecture d’un mémoire de Edmund Halley portant sur les applications
de l’algèbre en optique. Il devient rapidement un mathématicien confirmé. Dans
une lettre adressée à Leonhard Euler, sans doute le plus grand mathématicien
de l’époque, il jette les bases du calcul variationnel. Fondateur du calcul des
variations avec Euler et de la théorie des formes quadratiques, il démontre le
théorème de Wilson sur les nombres premiers et la conjecture de Bachet sur la
décomposition d’un entier en quatre carrés. On lui doit un cas particulier du
théorème auquel on donnera son nom en théorie des groupes, un autre sur les
fractions continues, l’équation différentielle de Lagrange.
Soient α0 , . . . , αn n + 1 réels deux à deux distincts.
1. Montrer que pour tout k ∈ {0, . . . , n}, il existe un unique polynôme Lk de Rn [X] tel que
pour tout i ∈ {0, . . . , n}, on ait :
(
Lk (αi ) = 0 si i 6= k;
Lk (αk ) = 1.
2. Donner l’allure des courbes représentatives des polynômes L0 , L1 , L2 , L3 lorsque n = 3.
3. Montrer que (L0 , L1 , . . . , Ln ) est une base de Rn [X].
4. Soit P un polynôme de Rn [X] ; donner sa décomposition dans la base (L0 , L1 , . . . , Ln ).
Exercice 20 (recherche d’une base dans laquelle la matrice de f a une allure préalablement
fixée). Soit f un endomorphisme de K2 vérifiant f 2 = 0 et f 6= 0. Justifier qu’il existe une base
B = (e1 , e2 ) de K2 dans laquelle la matrice de f est
!
0 1
.
0 0
Exercice 21. Soit f l’application qui à tout polynôme P de Rn [X] associe
3XP 0 + (X 2 − 1)P 00 .
1. Vérifier que f est un endomorphisme de Rn [X], et écrire sa matrice dans la base canonique.
2. L’endomorphisme f est-il un automorphisme ?
3. Déterminer une base de chacun des sous-espaces vectoriels Ker f et Im f .
Exercice 22. Soit p l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est


1/2 1/2 −1


A = 1/2 1/2 1  .
0
0
1
1. Montrer que p est une projection de R3 .
2. Déterminer une base dans laquelle la matrice de p est diagonale.
Exercice 23 (une caractérisation des matrices de rang inférieur ou égal à 1). F Soient n et p
deux entiers naturels non nuls.
1. Soit A ∈ Matn,p (K). Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) rg A 6 1,
(ii) il existe une matrice colonne X ∈ Matn,1 (K) et une matrice ligne Y ∈ Mat1,n (K) telle
que A = XY .
2. Soit A ∈ Matn (K). On suppose que la matrice A est de rang inférieur ou égal à 1. Montrer
en utilisant le résultat de la question 1) que
A2 = (trA)A,
où tr (A) désigne la trace de A, c’est-à-dire la somme de ses coefficients diagonaux.
Exercice 24. On considère l’ensemble
E = {f : R → R | ∃ (a, b, c, d) ∈ R4 , ∀ x ∈ R, f (x) = (ax + b)e2x + (cx + d)e−2x }.
1. Montrer que E est un R-espace vectoriel de dimension finie et en donner une base B.
2. Montrer que l’application D qui a toute fonction dérivable associe sa dérivée est un endomorphisme de E. Quelle est la matrice M de D dans la base B ? Montrer que M est
inversible et calculer son inverse.
3. Montrer que toute fonction de E admet une primitive appartenant à E, et expliciter cette
primitive.
Exercice 25 (recherche d’une solution particulière d’une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants dans le cas où le second membre est un polynôme). Soient a
et b deux réels, b non nul, et g une fonction continue sur R. Considérons l’équation différentielle
linéaire du second ordre à coefficients constants :
(E) :
y 00 + ay 0 + by = g.
On connaît l’ensemble des solutions de l’équation homogène (EH ) associée à l’équation différentielle (E). On sait également qu’il suffit de connaître une solution particulière de l’équation (E)
pour trouver toutes les solutions de (E).
On suppose dans cet exercice que la fonction g est polynomiale, de degré n ∈ N.
1. Justifier que l’application
ϕ:
Rn [X] −→ Rn [X]
y 7−→ y 00 + ay 0 + by
est bien définie, puis que c’est un isomorphisme.
2. En déduire qu’il existe une solution et une seule de l’équation différentielle (E) qui soit
polynomiale. Justifier que cette unique solution polynomiale est de degré exactement n.