Matrices et déterminant, espaces vectoriels et applications linéaires

Université de Poitiers - 2015-2016
A. Moreau
Algèbre - Géométrie
M1 MEEF
Matrices et déterminant, espaces vectoriels
et applications linéaires
Dans ce qui suit, K=Q,Rou C.
Pour n, p ∈N∗, on désigne par Matn,p(K)l’ensemble des matrices d’ordre n×p.
Matrices et déterminants
Exercice 1 (une équation matricelle).Combien y a-t-il de matrices diagonales Dde Matn(R)
vérifiant D3= 2In? Et dans Matn(C)?
Exercice 2 (centre de Matn(K)).On se propose dans cet exercice de déterminer l’ensemble
C={A∈Matn(K)| ∀ M∈Matn(K), AM =MA}des matrices de Matn(K)qui commutent
avec toutes les autres.
1. Vérifier que λIn∈Cpour tout λ∈K.
2. Soit A∈C.
(a) Pour (i, j)∈ {1, . . . , n}2, on note Ei,j la matrice élémentaire associée au coefficient
(i, j), c’est-à-dire la matrice qui a un unique coefficient non nul, égal à 1.
Calculer AEi,j et Ei,j Apour tout (i, j)∈ {1, . . . , n}2.
(b) En déduire que Aest de la forme A=λInavec λ∈K.
3. Conclure.
Exercice 3 (calculs de puissances et binôme de Newton).Posons A=
111
011
001
.
1. Calculer A2,A3et A4.
2. On dit qu’une matrice carrée Mest nilpotente s’il existe un entier ktel que Mk= 0.
Vérifier que N=A−I3est une matrice nilpotente de Mat3(K).
3. À l’aide de la question 2), calculer pour tout entier positif n, la puissance nième de A.
4. FMontrer que si M∈Matp(K),p∈N∗, est une matrice inversible, alors pour entier
positif n, on a (M−1)n= (Mn)−1.
Donner une expression de (A−1)npour tout entier relatif n∈Z. Par convention, A0=I3.
Remarque : On peut aussi déterminer Anpour tout entier npar récurrence sur n.

Exercice 4. Calculer le déterminant d’ordre n∈N∗suivant :
∆n=
α+a1−1 0 · · · 0
a2α−1.
.
.
a30α...0
.
.
..
.
....−1
an0· · · 0α
,
où α, a1, . . . , an∈K. Par convention, ∆1=α+a1.
Exercice 5 (déterminant de Vandermonde).
Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796) est un mathématicien français. Il fut aussi écono-
miste, musicien et chimiste, travaillant notamment avec Étienne Bézout et Antoine Lavoisier. Son nom
est maintenant surtout associé à une matrice et son déterminant.
Soit (x1, . . . , xn)∈Kn. On appelle déterminant de Vandermonde le déterminant ∆(x1, . . . , xn)
de la matrice suivante :
V(x1, . . . , xn) = 
1x1x2
1· · · xn−1
1
1x2x2
2· · · xn−1
2
.
.
..
.
..
.
..
.
.
1xnx2
n· · · xn−1 n
∈Matn(K)
1. Calculer ∆(x1),∆(x1, x2),∆(x1, x2, x3).
2. FMontrer par récurrence sur n∈N∗:
∆(x1, . . . , xn) = Y
16i<j6n
(xj−xi).
En déduire que ∆(x1, . . . , xn)est non nul si et seulement si x1, . . . , xnsont deux à deux
distincts.
Espaces vectoriels
Exercice 6. Soit Ele R-espace vectoriel des fonctions de Rdans R. On définit les fonctions
f, g, h et kde Epar :
∀x∈R, f(x) = sin x, g(x) = cos x, h(x) = sin 2x, k(x) = sin x+ cos x.
Déterminer une base de Vect(f, g, h, k).
Exercice 7. FSoient Ele R-espace vectoriel des fonctions de ]0,1[ dans C,nun entier naturel
non nul, et a1, . . . , andes nombres réels deux à deux distincts de ]0,1[. Pour tout k∈ {1, . . . , n},
on pose :
fk: ]0,1[ −→ R, x 7−→ 1
1−akx.
Montrer que la famille (f1, . . . , fn)est libre dans E.

Exercice 8. Soient
F={(x1, x2, x3, x4)∈R4|x1−x2+x3−x4= 0}
et G={(x1, x2, x3, x4)∈R4|x1−x2= 0 et x3−x4= 0}
1. Montrer que Fest un sous-espace vectoriel de R4et en donner une base. Donner un
supplémentaire de F.
2. Mêmes questions pour G.
Exercice 9. Dans R4, soient
u= (1,0,1,0), v = (0,1,−1,0), w = (1,1,1,1), x = (0,0,1,0), y = (1,1,0,−1),
F= Vect(u, v, w)et G= Vect(x, y). Déterminer la dimension et une base de chacun des sous-
espaces vectoriels F,G,F+G,F∩G. Donner un supplémentaire de chacun de ces sous-espaces.
Exercice 10. Soit Dla droite vectorielle engendrée par le vecteur (1,1,...,1) de Kn, et soit
H={(x1, x2, . . . , xn)∈Kn|x1+x2+· · · +xn= 0}.
Vérifier : D⊕H=Kn.
Exercice 11. Soient n>2et Hl’ensemble des polynômes Pde Kn[X]tels que P(1) = 0.
Montrer que Hest un sous-espace vectoriel de Kn[X], donner sa dimension et en donner un
supplémentaire.
Exercice 12. FOn se place dans le R-espace vectoriel R2[X]. Montrer qu’il existe une unique
base Bde R2[X]telle que, pour tout P∈R2[X], la matrice de Pdans la base Bsoit :
C=
P(−1)
P(0)
P(1) 
.
Indication : on pourra penser aux polynômes de Lagrange : voir l’exercice 19.
Applications linéaires
Exercice 13. Soient Eun K-espace vectoriel et fun endomorphisme de Etel que pour tout
vecteur xde E, les vecteurs xet f(x)soient colinéaires. Montrer que fest une homothétie,
c’est-à-dire qu’il existe un scalaire λtel que pour tout vecteur x∈E, on ait f(x) = λx.
Indication : on pourra calculer f(x+y), pour x, y ∈E, de deux façons différentes.
Exercice 14. Soient B= (e1, e2, e3)une base de R3,C= (u1, u2)une base de R2,fl’application
linéaire de R3dans R2dont la matrice dans les bases Bet Cest
A= 123
456!.
Déterminer le noyau et l’image de l’application linéaire f.

Exercice 15. Soient Eun K-espace vectoriel, pun entier naturel non nul et fun endomorphisme
de E.
1. On suppose que l’endomorphisme fest nilpotent, c’est-à-dire qu’il existe un entier p>1
tel que l’endomorphisme fpsoit nul. Calculer
(IdE−f)◦(IdE+f+f2+· · · +fp−1).
En déduire que l’endomorphisme IdE−fest un automorphisme et expliciter sa bijection
réciproque.
2. Application. L’espace Eest maintenant le K-espace vectoriel Kn[X]. On note Dl’applica-
tion «dérivation» de Edans E, qui à tout polynôme Pde Eassocie son polynôme dérivé
P0. On pose également
ϕ:E−→ E
P7−→ P−P0.
(a) Montrer que ϕest un automorphisme de E.
(b) En déduire que l’équation différentielle
y0−y=x3−3x2+ 7x−2
admet une unique solution ypolynomiale de degré 3.
Exercice 16. Pour tout k∈N, on note Xkl’application de Rdans Rqui à xassocie xk. Soient
n∈Net
ϕ:C∞(R,R)−→ C∞(R,R)
f7−→ f−
n
X
k=0
f(k)(0)
k!Xk.
Montrer que l’application ϕest un endomorphisme de l’espace vectoriel C∞(R,R)et déterminer
son noyau.
Exercice 17. On considère l’application
f:K[X]−→ K[X]
P7−→ P(X+ 1) −P(X).
1. Montrer que fest un endomorphisme de K[X].
2. (a) Déterminer le degré du polynôme f(Xk), pour tout k∈N.
(b) En déduire que, pour tout p∈N, le sous-espace Imfcontient au moins un polynôme
de degré p.
(c) En déduire l’image de l’endomorphisme f.
3. Déterminer le noyau de f.
Exercice 18. Soient Eun K-espace vectoriel, fet gdeux endomorphismes de E. On suppose
que les endomorphismes fet gcommutent. Montrer que les sous-espaces ker fet Imfsont
stables par g.

Exercice 19 (polynômes de Lagrange).F
Joseph Louis, comte de Lagrange (1736-1813) est un mathématicien, méca-
nicien et astronome. Élève brillant issu d’un milieu aisé, il étudie au collège
de Turin. Il prend goût pour les mathématiques par hasard à l’âge de 17 ans
après la lecture d’un mémoire de Edmund Halley portant sur les applications
de l’algèbre en optique. Il devient rapidement un mathématicien confirmé. Dans
une lettre adressée à Leonhard Euler, sans doute le plus grand mathématicien
de l’époque, il jette les bases du calcul variationnel. Fondateur du calcul des
variations avec Euler et de la théorie des formes quadratiques, il démontre le
théorème de Wilson sur les nombres premiers et la conjecture de Bachet sur la
décomposition d’un entier en quatre carrés. On lui doit un cas particulier du
théorème auquel on donnera son nom en théorie des groupes, un autre sur les
fractions continues, l’équation différentielle de Lagrange.
Soient α0, . . . , αnn+ 1 réels deux à deux distincts.
1. Montrer que pour tout k∈ {0, . . . , n}, il existe un unique polynôme Lkde Rn[X]tel que
pour tout i∈ {0, . . . , n}, on ait :
(Lk(αi)=0 si i6=k;
Lk(αk)=1.
2. Donner l’allure des courbes représentatives des polynômes L0, L1, L2, L3lorsque n= 3.
3. Montrer que (L0, L1, . . . , Ln)est une base de Rn[X].
4. Soit Pun polynôme de Rn[X]; donner sa décomposition dans la base (L0, L1, . . . , Ln).
Exercice 20 (recherche d’une base dans laquelle la matrice de fa une allure préalablement
fixée).Soit fun endomorphisme de K2vérifiant f2= 0 et f6= 0. Justifier qu’il existe une base
B= (e1, e2)de K2dans laquelle la matrice de fest
0 1
0 0!.
Exercice 21. Soit fl’application qui à tout polynôme Pde Rn[X]associe
3XP 0+ (X2−1)P00.
1. Vérifier que fest un endomorphisme de Rn[X], et écrire sa matrice dans la base canonique.
2. L’endomorphisme fest-il un automorphisme ?
3. Déterminer une base de chacun des sous-espaces vectoriels Kerfet Imf.
Exercice 22. Soit pl’endomorphisme de R3dont la matrice dans la base canonique est
A=
1/2 1/2−1
1/2 1/2 1
0 0 1 
.
1. Montrer que pest une projection de R3.
2. Déterminer une base dans laquelle la matrice de pest diagonale.