TD no 8 : Variables aléatoires réelles discrètes II

Université de Caen L1
TD no8 : Variables aléatoires réelles discrètes II
Exercice 1. On considère les grilles :
Grille A
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
Grille B
a b c d e
Un jeu consiste à cocher 8cases dans la grille Aet une case dans la grille B. Un tirage détermine 8
bons numéros dans la grille Aet une bonne lettre dans la grille B. Soit Xla var égale au nombre
de croix gagnantes.
1. Déterminer un espace probabilisé adapté à cette expérience aléatoire.
2. Déterminer la loi de X.
Exercice 2. Une urne contient 10 boules numérotées de 1à10. On tire au hasard et simultané-
ment 6boules de l’urne. Soit Xla var égale au plus grand numéro tiré.
1. Déterminer un espace probabilisé adapté à cette expérience aléatoire.
2. Déterminer la loi de X.
Exercice 3. On lance nfois une pièce de monnaie équilibrée. À chaque lancer, on s’intéresse
à la nature du côté affiché (Pile ou Face). On dit qu’un lancer est un changement s’il donne un
résultat différent du lancer précédent. Soit Xla var égale au nombre de changements obtenus.
1. Déterminer un espace probabilisé adapté à cette expérience aléatoire.
2. Déterminer la loi de X.
Exercice 4. Une urne contient n2boules numérotées de 1àn2. On tire au hasard et simultané-
ment mboules de l’urne. Soit Xla var égale au nombre de carrés obtenus (on dit qu’un numéro
xest un carré si √xest un entier, par exemples, 1 = 12est un carré, 4 = 22est carré . . . ).
1. Déterminer un espace probabilisé adapté à cette expérience aléatoire.
2. Déterminer la loi de X.
Exercice 5. Des recherches récentes indiquent qu’environ 0,5% des enfants français sont déficients
en vitamine D. Approcher la probabilité qu’au moins 2enfants soient déficients en vitamine D
parmi 400 enfants français choisis au hasard.
Exercice 6. Une urne contient 5boules numérotées de 1à5.
C. Chesneau 1TD no8

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1. On tire au hasard et simultanément 3boules de l’urne. Soit Xla var égale à la somme des
trois numéros inscrits sur ces 3boules.
(a) Déterminer un espace probabilisé adapté à cette expérience aléatoire. On décrira dans
le détail l’univers considéré.
(b) Déterminer la loi de X.
2. On tire au hasard et simultanément 3boules de l’urne 5fois de suite avec remise des 3boules
après chaque tirage. Soit Yla var égale au nombre de fois que la somme des 3numéros
obtenus vaut 8.
Exercice 7. Soient p∈]0,1[ et n∈N∗. Un standardiste donne nappels téléphoniques différents.
À chaque appel, la probabilité qu’il parvienne à joindre son correspondant est p. Après cette
première série d’essais, il tente le lendemain de rappeler les correspondants qu’il n’avait pas réussi
à joindre. Les hypothèses sur ses chances de réussite sont les mêmes. Soit Xla var égale au
nombre de personnes jointes l’un ou l’autre jour.
1. Calculer la probabilité qu’un correspondant soit joint l’un ou l’autre jour.
2. Déterminer la loi de X.
Exercice 8. Un manuscrit de 100 pages comporte 200 fautes de frappe. Celles-ci sont réparties
aléatoirement et indépendamment les unes des autres. On choisit au hasard une page de ce
manuscrit. Soit Xla var égale au nombre de fautes de frappe sur cette page.
1. Déterminer la loi de X. Quelle autre loi peut-on utiliser pour approcher la loi de X?
2. Calculer la probabilité approchée que la page choisie ne contienne aucune faute de frappe.
Exercice 9. Une entreprise fabrique, en grande quantité, des tiges métalliques cylindriques pour
l’industrie. Leur longueur et leur diamètre sont exprimés en millimètres. Dans un lot, 3% des tiges
ne sont pas conformes pour la longueur. On prélève au hasard 50 tiges de ce lot pour vérification.
Le lot est suffisamment important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à des tirages avec
remise. Soit la var Xqui, à tout prélèvement de 50 tiges, associe le nombre de tiges non conformes
pour la longueur.
1. Justifier que Xsuit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
2. Calculer la probabilité qu’au plus 2tiges ne soient pas conformes pour la longueur.
3. Montrer que la loi de Xpeut être approchée par une loi de Poisson dont on déterminera le
paramètre.
4. Calculer la probabilité approchée que le nombre de tiges non conformes soit égale à 2, puis
la probabilité approchée que le nombre de tiges non conformes soit au plus égale à 2.
C. Chesneau 2TD no8