Exercices de l`ancien temps Recueil d`Exercices de - Tyrex

Exercices de l’ancien temps
Recueil d’Exercices de Khˆolles de Math´ematiques
Damien Graux, Inria
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 mars 

Premi`ere partie
Analyse
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Chapitre 1
Espaces Vectoriels Norm´es
1.1 Notions abord´ees dans ce chapitre
1. Normes : d´efinition, ´equivalence entre normes...
2. Distances
3. Fonctions Lipschitziennes
4. Compl´etude
5. Th´eor`eme du point fixe (pour des fonctions k-contractantes)
6. Bases de topologie : ouverts, ferm´es, compacts
1.2 Questions de cours
— Les normes 1, 2 et infinie sur Kn, K[X] et C([a ;b],K) sont des normes.
— Une norme euclidienne est une norme.
— Lin´earit´e des limites, unicit´e des limites pour les suites et les fonctions.
— Toute suite convergente est born´ee.
— Convergence d’une suite et de ses suites coordonn´ees dans un evn de
dimension finie. Version fonctionnelle.
— R´eunion et intersection des ouverts et des ferm´es.
— Les boules ouvertes sont ouvertes et les boules ferm´ees sont ferm´ees.
— Caract´erisation s´equentielle de la limite.
— Caract´erisation s´equentielle d’un point adh´erent.
— Composition des limites.
— Lipschitzienne implique continue (+savoir ´ecrire lipschitzienne).
— Fonction continue sur un compact non vide et `a valeurs dans R.
— Images r´eciproques des ouverts et des ferm´es par une fonction continue.
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