Nombres premiers

Nombres premiers
Dans cette partie, on appelle nombre tout entier naturel non nul.
1 Dé…nition
Dé…nition 1 Soit pun nombre. On dit que pest un nombre premier si p2et si les seuls diviseurs
de psont 1;1; p et p.
On note Pl’ensemble des nombres premiers.
Exemple 2 Les entiers 2;3;5;7et 11 sont des nombres premiers. Les entiers 1et 4ne le sont pas.
Remarque 3 Si pest un nombre premier alors pour la plupart des nombres q:pest premier avec
q, mais attention 4est premier avec 15 mais 4n’est pas un nombre premier (15 non plus).
2 Crible d’Eratosthène
Recherchons tous les nombres premiers plus petits que 100 par exemple.
Le nombre 1 n’est pas un nombre premier. On l’enlève.
Le nombre 2est premier. Tous les multiples de 2autres que 2ne sont pas premiers et sont donc
otés.
Le nombre 3est premier. On enlève ensuite tous les multiples de 3strictement supérieurs à 3(ils
ne sont pas premiers).
Le plus petit nombre restant est 5, qui est donc premier. On enlève tous les multiples de 5
strictement supérieurs à 5.
Cette méthode permet donc de proche en proche d’obtenir les nombres premiers plus petits que
100.
12 3 45678 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 6 0
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
3 Nombres premiers et divisibilité
Proposition 4 Soit pun nombre, p2. Il y a équivalence entre :
1. l’entier pest un nombre premier.
2. les seuls entiers non premiers avec psont les multiples de p.
3. le nombre pest premier avec 1;2; : : : ; p 1.
1

Démonstration. On va montrer 1 =)2 =)3 =)1
Supposons que pest un nombre premier. Soit aun entier non premier avec p. Soit d=pgcd(a; p),
on a d6= 1, or ddivise pet dest positif donc d=p. Comme ddivise aussi a, on en déduit que p
divise a.
Soit pun nombre tel que les seuls entiers non premiers avec psont les multiples de p. Soit
k2 f1;2; : : : ; p 1get d=pgcd(k; p). Comme ddivise p, on a d= 1 ou d=p. Si détait égal à p
alors pdiviserait ket on aurait pkce qui est exclu. Donc d= 1 donc pet ksont premiers entre
eux.
Supposons que le nombre pest premier avec 1;2; : : : ; p 1. Soit dun diviseur positif de p. Alors
dpet pgcd(d; p) = d. Si 1<d<palors pgcd(d; p)=1par hypothèse et l’on aurait d= 1. Donc
d= 1 ou d=p. Donc pest un nombre premier.
Corollaire 5 Soit pun nombre premier. Pour tout a2Z, les entiers aet psont premiers entre eux
si et seulement si pne divise pas a.
Corollaire 6 Soit pet p0deux nombres premiers. Alors pet p0sont premiers entre eux si et seule-
ment si p6=p0.
Démonstration. Si pgcd(p; p0) = 1 alors p6=p0.
Si p6=p0alors p0ne divise pas p(sinon pne serait pas un nombre premier) et par conséquent
pgcd(p; p0) = 1.
Lemme 7 Lemme d’Euclide. Soit aet bdeux entiers relatifs et soit pun nombre premier. Si p
divise ab alors pdivise aou pdivise b.
Démonstration. Il existe q2Ztel que ab =p. Si pne divise pas aalors alors pest premier
avec a. Donc pdivise b(théorème de Gauss).
4 Décomposition en facteurs premiers
Dé…nition 8 Soit a2N. Un nombre premier pqui divise as’appelle un facteur premier de a.
Exemple 9 L’entier 3est un facteur premier de 12.
Les entiers 1et 1n’admettent pas de facteur premier.
Exemple 10 Soit a= 491. On veut savoir si aest premier ou pas. On teste si aest divisible par
2, par 3, par 5, par 7, par 11, par 13, par 17, par 19. Le nombre premier suivant est 23. Comme
232= 529 >491,491 est un nombre premier.
Proposition 11 L’ensemble Pdes nombres premiers est in…ni.
Démonstration. On sait que Pest non vide (il contient les entiers 2,3,5, etc). Supposons qu’il
est …ni, de cardinal N, c’est à dire que P=fp1; : : : ; pNg. Posons alors a= 1 + p1   pN. Comme
a2, il admet un facteur premier pdonc p2 P donc il existe mtel que p=pm. Mais alors pm
divise ap1   pN= 1, ce qui est impossible.
Dé…nition 12 Soit a2Z. Soit pun nombre premier. L’ensemble fm2N;tels que pmjagadmet
un plus grand élément, noté vp(a)et appelé pvaluation de aou indice de multiplicité de pdans a
ou exposant de pdans a.
Exemple 13 12 = 223donc v2(12) = 2 et v3(12) = 1.
Si x= 35alors v3(x) = et v5(x) = .
2

Théorème 14 Décomposition en facteurs premiers. Soit a2Ztel que jaj  2. Il existe
"2 f1;1g,s2N, des nombres premiers 0< p1< p2<   < pset des entiers naturels non nuls
m1; : : : ; mstels que
a=" pm1
1   pms
s
De plus, cette décomposition est unique et m1=vp1(a); : : : ; ms=vps(a).
Démonstration. Unicité de la décomposition. Avec des notations évidentes, supposons que
a="pm1
1   pms
s="0qn1
1   qnr
r. Si a > 0alors "="0= 1 et si a < 0alors "="0=1.
Soit i,1is. Supposons que pisoit di¤érent de q1; : : : ; qr. Alors piest séparément premier
avec q1; : : : ; qrdonc séparément premier avec qn1
1; : : : ; qnr
rdonc premier avec qn1
1   qnr
r=p. Mais
ceci est en contradiction avec le fait que piest un facteur premier de p. On montre ainsi que
fp1; : : : ; psg=fq1; : : : ; qrg. On en déduit alors que s=rpuis que p1=q1; : : : ; ps=qs.
Existence de la décomposition. Soit a2. On pose "= 1. Considérons l’ensemble Pdes facteurs
premiers de a. On sait qu’il est non vide, et qu’il est …ni (tout facteur premier est inférieur à a).
Soit p1; : : : ; psses éléments, avec p1< p2   < ps. Pour chacun de ces facteurs, soit Mi=fm2
N;pm
ijag. Ce sont des ensembles non vides (par dé…nition des pi) et …nis (pm ija=)pm ia=)
mln(a)=ln(pi)). Soit mile plus grand élément de Mi. Comme aest séparément divisible par
pm1
1; : : : ; pms
spremiers entre eux deux à deux, aest divisible par leur produit. Il existe q2Ntel
que a=pm1
1   pms
sq. Si q2,qadmet un facteur premier qui serait aussi un facteur premier de
a. Il existe alors iavec 1istel que q=pi. Mais alors pmi+1
idivise a, ce qui est impossible par
dé…nition de mi. Donc q= 1.
Si a 2, on pose "=1et on décompose jaj.
Exemple 15 L’entier a= 84 admet pour décomposition en facteurs premiers a= 2237.
Proposition 16 Soit aet bdeux entiers relatifs non nuls. Alors pour tout nombre premier p,
vp(ab) = vp(a) + vp(b)
L’entier adivise bsi et seulement si pour tout nombre premier p,vp(a)vp(b)
Proposition 17 Soit a1; : : : ; andes entiers relatifs non nuls. On a :
pgcd (a1; : : : ; an) = Y
p2P
ppet ppcm (a1; : : : ; an) = Y
p2P
pp
où p= min(vp(a1); : : : ; vp(an)) et p= max(vp(a1); : : : ; vp(an)) pour tout p2 P.
Proposition 18 Soit a2N. Alors aest un carré parfait si et seulement si pour tout p2 P,vp(a)
est pair.
3