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Algèbre et géométries
Boyer Pascal
12 septembre 2012

Algèbre et géométries
Boyer Pascal
12 septembre 2012 [8:55] Fichier:cours chapitre:0

Algèbre et géométries
Boyer Pascal
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Table des matières
I. Géométrie Affine
1.Généralités.............................. 2
1.1. Définition d’un espace affine . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.Legroupeaffine ........................ 7
1.4. Rapport de proportionnalité et théorème de Thalès . . . . 8
1.5. Théorème de Ménélaüs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. Coordonnées barycentriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1. Barycentre d’une famille de points pondérés . . . . . . . . 13
2.2. relativement à un repère affine . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3. Cas de la dimension 1et 2.................. 18
2.4. Calculs matriciels dans un repère affine . . . . . . . . . . . 20
3. Barycentres dans le plan affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1. Équations barycentriques de droites . . . . . . . . . . . . . 22
3.2. Autour du triangle pédal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3. Théorème de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4. Théorème de Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
II. Géométrie affine euclidienne
1. Le groupe des isométries affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.1. Le groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.2.Isométriesaffines........................ 38
1.3. Groupe des similitudes affines . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.Généralités.............................. 40
2.1.Sphères............................. 40
2.2.Orthogonalité ......................... 41
2.3. Angles d’un plan vectoriel orienté . . . . . . . . . . . . . . 44
3. En dimension 2........................... 49
3.1. Théorème de l’angle au centre . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2. Théorème de Pascal et de Brianchon : version euclidienne . 51
3.3. Axe radical et autres lignes de niveau . . . . . . . . . . . . 56
– iii –

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iv Table des matières
3.4. Relations trigonométriques dans le triangle . . . . . . . . . 61
3.5. Triangles semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4. Quelques classiques de la géométrie euclidienne . . . . . . . . . . 68
4.1. Points de concours et leurs coordonnées barycentriques . . 68
4.2. Cercle d’Euler et droites de Steiner . . . . . . . . . . . . . 79
4.3. Constructions du pentagone régulier . . . . . . . . . . . . . 84
III. Géométrie projective
1.Généralités.............................. 91
1.1. Espaces et sous-espaces projectifs . . . . . . . . . . . . . . 91
1.2. Repères projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
1.3.Groupeprojectif........................ 94
1.4. Liaison affine-projectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1.5.Dualité ............................. 97
1.6. Incidences, perspectives et réfractions du plan projectif . . 99
1.7. Desargues, Pappus : preuves projectives . . . . . . . . . . . 102
2.Exemples............................... 109
2.1. Espaces projectifs d’hyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.2. L’espace projectif des cercles : faisceaux de cercles . . . . . 109
2.3. L’espace projectif des coniques . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3. Géométrie projective de dimension 1................ 116
3.1.Birapport............................ 116
3.2. Homographies involutives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.3. Division harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.4. Preuves projectives de Ménélaüs et Céva . . . . . . . . . . 126
IV. Étude transverse des coniques
1.Pointdevueaffine.......................... 129
1.1. Equations barycentriques d’une conique . . . . . . . . . . . 129
1.2. Tangentes en un point et directions asymptotiques . . . . . 131
1.3.Diamètres ........................... 132
1.4.Centre ............................. 132
1.5. Régionnement lié à la conique . . . . . . . . . . . . . . . . 133
1.6. Théorème de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
1.7.Loisdegroupe......................... 136
2. Point de vue euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.1. comme lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.2. Propriétés angulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.3. Ellipses inscrites dans un triangle . . . . . . . . . . . . . . 153
2.4. Théorème de Habets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3. Point de vue projectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.1.Généralités........................... 161
3.2. Comme ligne de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

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Table des matières v
3.3. Intersection d’une conique et d’une droite . . . . . . . . . . 163
3.4. Classification projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.5. Pôles et polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.6. La conique vue comme une droite projective . . . . . . . . 171
3.7. Groupe d’une conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.8. Retour sur les homographies d’une droite sur une autre . . 178
3.9. Le théorème de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.10. Sur les coniques passant par 5points ............ 183
3.11. Perspective et photographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Bibliographie 191
Notations 193