1. Equation horaire du mouvement plan.

Lycée J-B Schwilgué - SELESTAT
GROSSHENY L.
Terminale S
Chapitre 11
Etude des mouvements plans.
I. Etude du mouvement d’un projectile dans un champ de pesanteur.
 Appliquer la deuxième loi de Newton à un projectile dans un champ de pesanteur uniforme.
 Montrer que le mouvement est plan.
 Établir l'équation de la trajectoire à partir des équations horaires paramétriques.
 Savoir exploiter un document expérimental reproduisant la trajectoire d'un projectile: tracer des vecteurs
vitesse et accélération, déterminer les caractéristiques du vecteur accélération, trouver les conditions initiales.
1. Equation horaire du mouvement plan.
Utilisons la relation vectorielle : a = g à projeter dans un repère (O,i,j,k) du référentiel terrestre.
Les coordonnées du vecteur accélération sont donc :
Cherchons les primitives de ces trois fonctions.
C
1
, C
2
et C
3
sont des constantes déterminées en se plaçant à l'instant initial. Elles sont égales aux
coordonnées du vecteur vitesse , à l'instant 0.
D’où :
V
x
= dx / dt = V
0
cosα
V
y
= dy / dt = - g t + V
0
sin α
V
z
= dz / dt = 0
- Cherchons de nouveau les primitives de ces trois fonctions :
Les 3 constantes C
4
, C
5
et C
6
sont déterminées en se plaçant à l'instant initial. Elles sont égales aux
coordonnées du vecteur position initiale , à l'instant 0. Par conséquent :
x = V
0
cosα .t
y = - ½ .g t² + V
0
sin α . t + y0
z = 0
On a obtenu les équations horaires paramétriques du mouvement.
Comme z = 0, la trajectoire est plane. Le mouvement a lieu dans le plan vertical (xoy).
Le mouvement suivant Ox est uniforme.
Le mouvement suivant Oy est uniformément varié.
a
x
= dV
x
/ dt = 0
a
y
= dV
y
/ dt = -
g
a
z
= dV
z
/ dt = 0
V
x
= C
1
V
y
= - g t + C
2
V
z
= C
3
x = V
0
cosα .t + C
4
y = - g t² + V
0
sin α . t + C
5
z = C
6
α
x
Vo
α
Vo
y
x
Voy = Vo.sinα Vox = Vo.cosα

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Remarque : dans le cas ou la vitesse est dirigée vers le bas :
C
1
, C
2
et C
3
sont des constantes déterminées en se plaçant à l'instant initial. Elles sont égales aux
coordonnées du vecteur vitesse , à l'instant 0.
Attention : Voy est négatif.
D’où :
V
x
= dx / dt = V
0
sinα
V
y
= dy / dt = - g t - V
0
cos α
V
z
= dz / dt = 0
- Cherchons de nouveau les primitives de ces trois fonctions :
x = V
0
sinα .t
y = - ½ .g t² - V
0
cos α . t + y0
z = 0
2. Comment déterminer l’équation de la trajectoire ?
On obtient l’équation de la trajectoire (y en fonction de x) en éliminant le temps dans l’équation
horaire.
D’après l’équation de x on a : t =
α
cos
.
Vo
x
Que l’on remplace dans l’équation en y :
y = - ½ .g {
α
cos
.
Vo
x
}² + V
0
sin α .
cos
.
s
Vo
x + y0
y =
α
²
cos
².
.
2
².
Vo
xg
−
+ x.tan α + yo
Attention : cette équation n’est pas générale, elle dépend du choix de l’angle (entre Vo et l’axe Oy
ou entre Vo et l’axe Ox). Dans tous les cas, elle est à retrouver.
II. Etude du mouvement des planètes.
1. Comment décrire le mouvement d’une planète : lois de Kepler.
 Enoncer les lois de Kepler et les appliquer à une trajectoire circulaire ou elliptique.
x = V
0
sin α .t + C
4
y = - g t² - V
0
cos α . t + C
5
z = C
6
α
y
x α
Vo
y
x
Voy = -Vo.cos α
Vox = Vo.sin α
Vo

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2. Quelle est l’accélération d’une planète dans le référentiel
héliocentrique ?
 Énoncer la loi de gravitation universelle sous sa forme vectorielle pour des corps dont la répartition des masses est à
symétrie sphérique et la distance grande devant leur taille.
 Appliquer la deuxième loi de Newton à un satellite ou à une planète.
Une planète est soumise dans le référentiel héliocentrique à la force gravitationnelle exercée par le Soleil :
F
= - G .
²
.
r
mMs
. u
Appliquons la deuxième loi de Newton :
F
= m. a soit a = - G .
²
.
r
Ms
. u
Le vecteur accélération d’une planète est indépendant de sa masse.
Il est toujours suivant la direction Soleil-planète et il est dit radial ; il est toujours dirigé vers le centre du
Soleil, il est dit centripète.
3. Comment étudier un mouvement circulaire ?
 Définir un mouvement circulaire uniforme et donner les caractéristiques de son vecteur accélération.
 Connaître les conditions nécessaires pour observer un mouvement circulaire uniforme: vitesse initiale non nulle et force
radiale.
 Démontrer que le mouvement circulaire et uniforme est une solution des équations obtenues en appliquant la deuxième loi
de Newton aux satellites ou aux planètes.
 Définir la période de révolution et la distinguer de la période de rotation propre.
 Exploiter les relations liant la vitesse, la période de révolution et le rayon de la trajectoire.
 Retrouver la troisième loi de Kepler pour un satellite ou une planète en mouvement circulaire uniforme.
 Exploiter des informations concernant le mouvement de satellites ou de planètes.
Le vecteur accélération n’est pas dirigé suivant une direction fixe comme pour l’étude d’un projectile dans
un champ de pesanteur, il varie avec le mouvement en direction.
a. Comment étudier un tel mouvement circulaire ?
On utilise un repère dit repère de Frenet qui permet d’étudier le vecteur accélération
suivant deux axe : un axe normal et un axe tangentiel.
Le vecteur unitaire est tangent à la trajectoire plane, au point M où se trouve le
mobile. Ce vecteur est orienté arbitrairement (pas nécessairement dans le sens du mouvement).
Le vecteur unitaire est normal à la trajectoire. Il est orienté vers l'intérieur de la courbe.
Par définition :
L’accélération tangentielle fait varier la vitesse alors que l’accélération normale modifie la direction.
b. Comment déterminer la nature du mouvement ?
Il faut déterminer le signe du produit scalaire : Va
r
r
.
Si Va
r
r
. > 0 alors le mouvement est accéléré ; s’il est négatif il est décéléré.
Si a est perpendiculaire à V, alors le mouvement est circulaire uniforme.
c. Retrouvons la 3
éme
loi de Kepler:
On a a = - G .
²
.
r
Ms
. u = G .
²
.
r
Ms Un
et a =
dt
dV Ut
+
r
V²Un
= G .
²
.
r
Ms Un
En identifiant on a sur Ut :
dt
dV
= 0 : la vitesse est constante
Un :
r
V²
= G.
²
.
r
Ms
d’où V =
r
MsG.
Par définition, la période est T =
V
π .2
= 2.
π
.
MsGr .3
Elevons au carré : T² = 4. ²
π
.
MsGr .3
et T²/r
3
= cste