NOMBRES PREMIERS
I) Généralités.
1°) Définition.
Un entier naturel
Autrement dit : s’il est divisible par 1 et lui-même.
Exemples :
Un nombre qui n’est pas premier est aussi appelé nombre composé.
admet une infinité de diviseurs et n’est donc pas premier.
admet un seul diviseur et n’est donc pas premier.
est le plus petit des nombres premiers. C’est le seul nombre premier pair.
Liste des 10 premiers nombres premiers :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.
2°) Propriétés fondamentale.
Tout entier naturel autre que admet au moins un diviseur premier.
Preuve :
On pose un entier naturel autre que .
Si est premier, comme divise , la propriété est démontrée.
Si n’est pas premier. Alors il admet au moins un diviseur strictement supérieur à 1.
Notons le plus petit des diviseurs de distincts de .
Alors est premier.
En effet, s’il ne l’était pas, il existerait un diviseur de tel que .
Et serait un diviseur de différent de et strictement inférieur à (qui est le
plus petit d’entre eux), ce qui est impossible.
La propriété est donc également démontrée.
Conséquence :
Tout entier naturel , autre que et , et non premier admet au moins un diviseur premier tel
que : .
Preuve :
On sait que admet un diviseur premier , son plus petit diviseur autre que .
On a donc avec un entier naturel.
Ainsi est un diviseur de , on a donc ( est le plus petit des diviseurs de ).
On a donc :
!
.
D’où : .
Test de primalité :
Si un entier naturel n’est divisible par aucun nombre premier dont le carré lui est inférieur ou
égal, alors est premier.
Exemple :
"# est premier. En effet :
"# $ %& ' , donc "# n’est pas divisible par 2 ;
"# $ (" ' , donc "# n’est pas divisible par 3 ;
"# ( $ #) ' #, donc "# n’est pas divisible par 5 ;
"# " $ ) ' (, donc "# n’est pas divisible par 7 ;
"# $ ( ' %, donc "# n’est pas divisible par 11 ;
"# # $ # ' ), donc "# n’est pas divisible par 13.
Ensuite "
* "#, donc "# est bien premier.