NOMBRES PREMIERS I) Généralités. 1°) Définition

NOMBRES PREMIERS
I) Généralités.
1°) Définition.
Un entier naturel 
Autrement dit : s’il est divisible par 1 et lui-même.
Exemples :
 Un nombre qui n’est pas premier est aussi appelé nombre composé.
  admet une infinité de diviseurs et n’est donc pas premier.
  admet un seul diviseur et n’est donc pas premier.
  est le plus petit des nombres premiers. C’est le seul nombre premier pair.
 Liste des 10 premiers nombres premiers :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.
2°) Propriétés fondamentale.
Tout entier naturel autre que  admet au moins un diviseur premier.
Preuve :
On pose  un entier naturel autre que .
 Si  est premier, comme  divise , la propriété est démontrée.
 Si  n’est pas premier. Alors il admet au moins un diviseur strictement supérieur à 1.
Notons  le plus petit des diviseurs de  distincts de .
Alors  est premier.
En effet, s’il ne l’était pas, il existerait un diviseur  de  tel que     .
Et  serait un diviseur de  différent de  et strictement inférieur à  (qui est le
plus petit d’entre eux), ce qui est impossible.
La propriété est donc également démontrée.
Conséquence :
Tout entier naturel , autre que  et , et non premier admet au moins un diviseur premier  tel
que :     .
Preuve :
On sait que  admet un diviseur premier , son plus petit diviseur autre que .
On a donc    avec  un entier naturel.
Ainsi  est un diviseur de , on a donc    ( est le plus petit des diviseurs de ).
On a donc :    !   .
D’où :     .
Test de primalité :
Si un entier naturel  n’est divisible par aucun nombre premier dont le carré lui est inférieur ou
égal, alors  est premier.
Exemple :
"# est premier. En effet :
"#   $ %& ' , donc "# n’est pas divisible par 2 ;
"#   $ (" ' , donc "# n’est pas divisible par 3 ;
"#  ( $ #) ' #, donc "# n’est pas divisible par 5 ;
"#  " $ ) ' (, donc "# n’est pas divisible par 7 ;
"#   $ ( ' %, donc "# n’est pas divisible par 11 ;
"#  # $ # ' ), donc "# n’est pas divisible par 13.
Ensuite " * "#, donc "# est bien premier.

On remarque que dans la liste des divisions euclidiennes successives le quotient devient
supérieur ou égal au diviseur. Cela signifie que s’il existait un diviseur à "# il aurait déjà été
trouvé.
3°) Infinité de nombres premiers
Il existe une infinité de nombres premiers.
Preuve :
Afin de prouver ce résultat il suffit de démontrer que pour tout nombre premier  il existe un
nombre premier plus grand que .
On considère donc un nombre premier .
On pose alors : +   $ # $ ( $ ,$  ' .
 $ # $ ( $ ,$  est le produit de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à .
 Si + est premier, comme + * , on a trouvé un nombre premier strictement supérieur
à .
 Si + n’est pas premier.
Alors on sait qu’il admet au moins un diviseur premier .
Or aucun nombre premier inférieur ou égal à  ne divise +.
En effet le reste de la division euclidienne de + par l’un quelconque des nombres :
2, 3, 5, …,  est .
On a donc trouvé est un nombre premier  strictement supérieur à .
II) Théorème de décomposition.
Tout entier naturel strictement supérieur à  s’écrit de manière unique (à l’ordre près) sous la forme
d’un produit de facteurs premiers.
Preuve :
Admis
Exemple :
Décomposition en facteurs premiers de &&.
Disposition pratique :
616 2
On obtient : &&  
-
$ " $ .
308 2
154 2
77 7
11 11
1
Remarques :
 On considère qu’un nombre premier est déjà écrit sous la forme d’un produit de facteurs
de nombres premiers.
 Si . est un entier naturel supérieur ou égal à 2, . peut s’écrire sous la forme :
.  
/
$  $ 0$ 
1
, ou 
/
,  , …, 
1
sont des nombres premiers. Certains de
ces facteurs pouvant être égaux.
Par « regroupement » on peut obtenir une écriture du type : .  
/23
$ 
24
$ 0$ 
526
,
dans laquelle tous les 
/
,  , …, 
5
sont des nombres premiers distincts deux à deux et
7
/
, 7 , …, 7
5
sont des entiers naturels.
 Ecrire un entier . sous la forme .  
/23
$ 
24
$ 0$ 
526
, c’est effectuer la
décomposition en facteurs premiers de ..
Liste des
quotients
successifs.
Liste des diviseurs
premiers dans
l’ordre croissant.

III) Les diviseurs d’un entier naturel.
Soient . et  deux entiers strictement supérieur à 1.
 est un diviseur de . si, et seulement si tous les facteurs de la décomposition de  figurent dans celle
de . avec des exposants au moins égaux.
Preuve :
On note .  
/23
$ 
24
$ 0$ 
526
la décomposition en facteurs premiers de ..
 On considère un entier , tel que   
/83
$ 
84
$ 0$ 
586
,
avec pour tout 9 :   :
;
 7
;
.
On peut alors écrire : .  <
/83
$ 
/23=83
> $ <
84
$ 
24=84
> $ 0$ <
586
$ 
526=86
>
 ?
/83
$ 
84
$ 0$ 
586
@<
/23=83
$ 
24=84
$ 0$ 
526=86
>
 <
/23=83
$ 
24=84
$ 0$ 
526=86
> .
Et comme toutes les puissances 7
;
A :
;
sont positives, 
/23=83
$ 
24=84
$ 0$ 
526=86
est un
entier et donc . est divisible par .
 On considère maintenant un entier  diviseur de ..
Dans ce cas il existe un entier naturel B tel que .  B.
Le produit des décompositions en facteurs premiers de  et de B est alors une décomposition
en produit de facteurs premiers de .. Cette dernière étant unique, il s’agit donc de la
décomposition en produit de facteurs premiers de .. Ainsi les seuls diviseurs premiers de 
sont les 
;
et ils ne peuvent intervenir qu’avec un exposant inférieur ou égal à 7
;
. Par
conséquent  ne peut être que de la forme :   
/83
$ 
84
$ 0$ 
586
avec   :
;
 7
;
.
Application :
Comment déterminer la liste des diviseurs d’un entier naturel . ?
Si la décomposition en facteurs premiers de . est .  
/23
$ 
24
$ 0$ 
526
.
On considère alors les listes :
1, 
/
, 
/
, …
/23
;
1,  ,  , …
24
;
. . . .
. . . .
. . . .
1, 
5
, 
5
, …
526
.
puis on multiplie tous les nombres de la première liste, par tous ceux de la deuxième liste,
ensuite on multiplie tous les nombres de la nouvelle liste obtenue par ceux de la troisième liste,
ainsi de suite …
Conséquence :
Si la décomposition en produit de facteurs premiers de . est : .  
/23
$ 
24
$ 0$ 
526
alors
le nombre de diviseurs de . est : C7
/
' D$C7 ' D$ 0$ C7
5
' D.