FICHE 7 d`EXERCICES d`ALG`EBRE 5 Groupe quotient. I

FICHE 7 d’EXERCICES d’ALG` EBRE 5
Groupe quotient.
I. Propri´et´es g´en´erales. Soient Gun groupe et NG.
(1) Montrer que G/N est trivial (cad., r´eduit au singleton neutre) si et seulement
si N=G.
(2) D´eterminer les ´el´ements du groupe quotient G/{1G}. Montrer qu’il est iso-
morphe, mais non ´egal `a G.
(3) Soit x∈G. Montrer que pour tout k∈ZZ ,xk= ¯xkdans le groupe quotient
G/N . Montrer que si (G:N) est fini, x(G:N)∈N.
(3a) En d´eduire que pour tout nombre naturel nnon divisible par 11, n5est
congru `a ±1 modulo 11 (indication : prendre G= (ZZ/11ZZ, ·)×).
(4) On rappelle que le sous-groupe d´eriv´e G0de Gest d´efini par G0=hG0io`u
G0={[x, y]|x, y ∈G}. Montrer que le quotient Gab def =G/G0est un groupe
commutatif ; il est dit l’ab´elianis´e de G(“Grendu ab´elien”).
(5) Montrer que G/N est commutatif si et seulement si G0⊂N. En d´eduire que
si Gest commutatif alors G/N l’est aussi.
Soient H≤Get Aune partie de G. Notons ¯ A={¯a|a∈A}, o`u ¯a=aH .
(6) Montrer que pour x∈G, ¯x∈¯ Asi et seulement si x∈AH .
(7) Prenons `a pr´esent H=N.
(a) Montrer que si Xest une partie g´en´eratrice de G,¯ Xest une partie
g´en´eratrice de G/N .
(b) R´eciproquement, soit X⊂Gtelle que ¯ Xengendre G/N , et soit Yune
partie g´en´eratrice de N. Montrer que X∪Yengendre G(indication : pour
x∈G, utiliser le (6) pour montrer que x∈[X]gr[Y]gr ⊂[X∪Y]gr ).
(8) (a) Montrer que le groupe quotient ZZ2/h(1,5)iest engendr´e par l’´el´ement
(0,1).
(b) Montrer que le groupe quotient ZZ2/h(2,5)in’est pas engendr´e par l’´el´ement
(0,1).
(9) Supposons que Gest engendr´e par deux ´el´ements xet y, et que Ncontient
les ´el´ements x5,y12 ,x2y3, et x12y16 .
(a) Montrer successivement que dans G/N , ¯x2= ¯y3, ¯x8=¯ 1, ¯x=¯ 1, ¯y3=¯ 1,
¯y16 =¯ 1, ¯y=¯ 1.
(b) En d´eduire que le groupe G/N est trivial, et que N=G.
(c) En d´eduire que si Gest commutatif, Gest engendr´e par les ´el´ements x5,
y12 ,x2y3, et x12y16 .

(10) Une application du groupe quotient : Supposons que Gest fini et
que l’ordre de Nest premier avec son indice dans G. Montrer que Nest car-
act´eristique dans G, cad., ∀f∈Aut(G), f(N) = N(indication : montrer d’abord
que f(N)⊂N, en montrant que le morphisme compos´e qN◦f|Nest trivial). Cet
exercice g´en´eralise le VI.(10b) de la fiche 6 .
II. Propri´et´e universelle d’un groupe quotient.
(1) Soient Gun groupe, Aun groupe commutatif. Montrer que tout morphisme
de Gdans Ase factorise, de mani`ere unique, `a travers le groupe quotient G/G 0.
(2) Dans cet exercice, on ´etudiera les endomorphismes et automorphismes du
groupe ZZ/nZZ .
(a) Montrer que l’application φ: (End(ZZ/nZZ),◦)→(ZZ/nZZ, ·), φ(f) = f(¯ 1),
est un morphisme de mono¨ıdes.
(b) Montrer que φest bijectif (pour la surjectivit´e, utiliser la PU de ZZ/nZZ ).
(c) En d´eduire que le groupe Aut(ZZ/nZZ) des automorphismes de ZZ/nZZ est
isomorphe au groupe (ZZ/nZZ)×des ´el´ements inversibles du mono¨ıde multiplicatif
ZZ/nZZ . On a vu en TD (fiche 1) que (ZZ/nZZ)×={¯ k|k∈[1, n −1] et kest
premier `a n}. En d´eduire que Aut(ZZ/10ZZ) est d’ordre 4, et exhiber ses ´el´ements
explicitement.
(3) Soient Get Hdes groupes, NG.
(a) Montrer que l’application
q∗
N: Hom(G/N , H)→ {f∈Hom(G, H)|N⊂Ker(f)}, q∗ N(g) = g◦qN,
est bien d´efinie et bijective. D´ecrire son application inverse.
(b) Montrer que si Hest commutatif, q∗
G0: Hom(G/G 0, H)→Hom(G, H) est
un isomorphisme de groupes (cf. l’exercice VIII.(1) de la fiche 4).
(c) Montrer que Hom(G/N , H) = {¯ f|f∈Hom(G, H) et N⊂Ker(f)}.
(d) Montrer que Hom(ZZ/nZZ , H) = {fx|x∈Het xn= 1H}, o`u pour x∈H
et k∈ZZ ,fx(¯ k) = xk(utiliser le calcul des morphismes de ZZ dans Heffectu´e
dans l’exercice VIII.(3) de la fiche 4).
III. Applications du premier th´eor`eme d’isomorphismes.
(1) Montrer que Sn/An∼
={−1,1}et que ZZ2/h(0,1)i∼ =ZZ .
(2) Soient Get Hdeux groupes. Montrer que G× {1H}est un sous-groupe
normal de G×H, et que G×H/G × {1H}∼
=H.
(3) Soient G1, G2deux groupes et NiGi,i= 1,2. Montrer que (G1/N1)×
(G2/N2)∼
=(G1×G2).(N1×N2).
(5) Soient f:G→Hun morphisme de groupes et π:G→Qun morphisme
de groupes surjectif. Montrer que fse factorise `a travers Q(cad., il existe un
morphisme ˆ f:Q→Htel que ˆ f◦π=f) si et seulement si Ker(π)⊂Ker(f) .

(6) Soient f:G→Hun isomorphisme de groupes et NG. Montrer qu’il
existe un isomorphisme de groupes ˜ f:G/N →H/f(N) tel que pour tout x∈G,
˜
f(xN) = f(x)f(N).
IV. Applications du deuxi`eme th´eor`eme d’isomorphismes. Soient Gun
groupe et Het Kdeux sous-groupes de Gtel que tous les ´el´ements de Kcom-
mutent avec H.
(1) (a) Montrer que Hest normal dans HK .
(b) Supposons que Het Ksont finis. Justifier que HK est fini. Exprimer
l’ordre de HK en fonction des ordres de H,Ket H∩K(consid´erer le quotient
HK/H ).
(2) Soient m, n ∈IN . On rappelle que Un={z∈CI |zn= 1}.
(a) Montrer que si mdivise n,Um⊂Un.
(b) Montrer que Um∩Un=Upgcd(m,n).
(c) Utiliser le (1b) pour montrer que UmUn=Uppcm(m,n).
Consid´erons l’application µ:Um×Un→UmUn,µ(z, z 0) = zz 0.
(d) Montrer que µest un morphisme de noyau Ker(µ) = {(z, z−1)|z∈Um∩
Un}. Montrer que Ker(µ)∼
=Um∩Un.
(e) D´eduire des exercices pr´ec´edents que mn =pgcd(m, n)ppcm(m, n).
(3) Soient Gun groupe et Mun sous-groupe normal de Gtels que Met G/M
sont commutatifs. Montrer que tout sous-groupe Kde Gposs`ede un sous-groupe
normal ˜ Mtel que ˜ Met K/ ˜ Msont commutatifs.
D´efinition : Soit pun nombre premier. On dit qu’un groupe est un p-groupe
si son ordre est une puissance de p. Un p-sous-groupe d’un groupe Gest un
sous-groupe de Gqui est un p-groupe.
(4) Montrer que si Gposs`ede un p-sous-groupe non trivial, l’ordre de Gest
divisible par p.
(5) Supposons que Hest un p-sous-groupe maximal de G, cad., Hn’est contenu
strictement dans aucun p-sous-groupe de G, ou encore, pour tout p-sous-groupe
Lde G,L⊃Himplique L=H. Supposons que Kest un p-sous-groupe de G
contenu dans le normalisateur de H,K⊂NG(H). D´eduire du (1b) que K⊂H.
V. Applications du troisi`eme th´eor`eme d’isomorphismes.
(1) Soit n∈IN sup´erieur `a 1 et dun diviseur de n. Soient ¯ Hle sous-groupe de
ZZ/nZZ engendr´e par ¯ d. Montrer que ZZ/nZZ.¯ H∼
=ZZ/dZZ .
(2) Montrer que ZZ2/h(2,5),(0,1)i∼
=ZZ/2ZZ (utiliser le III.(1)).
(3) Soient Gun groupe et Nun sous-groupe normal de G.
(a) Supposons que G/N poss`ede un sous-groupe normal ¯ Htel que ¯ Het
(G/N)/¯ Hsont commutatifs. Montrer que Gposs`ede un sous-groupe normal H

contenant Ntel que H/N et G/H sont commutatifs.
(b) Supposons que Gposs`ede un sous-groupe normal tel que Met G/M sont
commutatifs. Montrer que G/N poss`ede un sous-groupe normal ¯ Mtel que ¯ Met
(G/N)/¯ Msont commutatifs (utiliser le I.(5)).
D´efinition : Un groupe Gest dit r´esoluble s’il existe une chaˆıne de sous-groupes
{1G}=N0N1...Nn=Gtel que pour tout i∈[1, n], le groupe quotient
Ni/Ni−1est commutatif.
(4)∗Soit Gun groupe et NG. Utiliser les exercices (3) et IV.(3) pour montrer
que Gest r´esoluble si et seulement si Net G/N sont r´esolubles.
VI. Sous-groupe normal engendr´e. Soit Gun groupe.
(1) Montrer que l’intersection d’une famille de sous-groupes normaux de Gest
normal dans G.
(2) Soit Xune partie de G. Montrer qu’il existe un et un seul sous-groupe
normal Nde Gtel que X⊂Net tout sous-groupe normal de Gqui contient X,
contient N. Ce sous-groupe Nest not´e Xet s’appelle le sous-groupe normal
de Gengendr´e par X(indication : imiter la d´emarche du cours dans le cas des
sous-groupes engendr´es).
Cette notion est d’une importance fondamentale car elle permet de “trivialiser”
(on dit aussi “annuler”, ou “tuer”) des ´el´ements d’un groupe qui “g`enent” dans
un contexte donn´e. En effet, on a les propri´et´es suivantes :
(3) Montrer que dans le groupe quotient G/ X, la classe d’´equivalence de tout
´el´ement de Xest triviale, plus explicitement, que ∀x∈X, ¯x= 1G/X.
(4) Soit f:G→Hun morphisme de groupes annulant X, cad., tel que pour tout
x∈X,f(x) = 1H. Montrer que fse factorise `a travers G/ X, cad., qu’il
existe un unique morphisme ¯ f:G/ X→Htel que ∀x∈G,¯ f(¯x) = f(x).
VII. Espace vectoriel quotient. Soit Eun espace vectoriel sur un corps K, et
soit Fun sous-espace vectoriel de E.
(1) Justifier que le quotient E/F est d´efini et est un groupe ab´elien.
(2) Montrer qu’il existe une unique application ¯µ:K×(E/F )→E/F telle que
pour tout (λ, x)∈K×E, ¯µ(λ, ¯x) = λx.
(3) Montrer que E/F muni de la multiplication par un scalaire d´efinie par ¯µ, est
un espace vectoriel sur K, appel´e l’espace quotient de Esur F.
(4) Montrer que la projection canonique q:E→E/F est une application lin´eaire.
(5) Supposons que x1,...,xn∈Esont tels que pour un certain k∈[1, n],
(x1,...,xk) est une base de Fet (xk+1, . . . , xn) est une base de E/F . Montrer
que (x1,...,xn) est une base de E.
(6) D´eduire du (5) que tout espace vectoriel finiment engendr´e poss`ede une base.