L2, Théorie des jeux, Questions à choix multiples, Sujet 2, solutions.

L2, Théorie des jeux, Questions à choix multiples,
Sujet 2, solutions.
Le 10 novembre 2014
Question 1. On considère le jeu sous forme normale à trois joueurs suivant (le joueur 1 choisit
une ligne, le joueur 2 choisit une colonne et le joueur 3 choisit une matrice)
gauche droite
gauche droite
gauche droite
1,2,0
2,1,2
haut
1,b,2
2,3,4
haut
1,0,1
5,1,3
q
0,1,a
3,0,1
bas
0,0,0
3,2,1
bas
0,1,0
8,4,2
A
B
C
Pour quelles valeurs des nombres a et b ce jeu est-il résolvable par élimination itérative de
stratégies stictement dominées à chaque étape de l’itération?
haut
bas
(a) a < 0 et b 3.
(b) a 0 et b < 3
(c) a < 0 et b < 3
(d) a 0 et b 3
(e) Aucune des précédentes.
Question 2. Dans le jeu de la question précédente, et quelles que soient les valeurs de a et b,
nous pouvons dire que:
(a) Le joueur 3 ne choisira jamais le tableau C.
(b) le joueur 2 ne choisira jamais la colonne "gauche".
(c) Si le joueur 1 savait qu’il était dans le tableau A, il ne jouerait jamais "haut".
(d) Si le joueur 3 savait que le joueur 1 joue "haut", il devrait toujours jouer le tableau A.
(e) Aucune des précédentes.
Question 3. Laquelle des a¢ rmations suivantes est vraie concernant le jeu sous forme normale
suivant ?
joueur
1
haut
centre
bas
joueur
gauche
-1,0
4,-2
1,0
2
milieu
2,1
5,1
1,2
droite
-2,3
0,2
1,1
(a) Ce jeu n’admet aucun équilibre de Nash en stratégies pures.
(b) La combinaison de stratégies "centre-milieu" est un équilibre de Nash de ce jeu.
(c) La combinaison de stratégies "bas-gauche" est l’unique équilibre de Nash de ce jeu.
(d) La combinaison de stratégies "bas-gauche" est l’un des équilibres de Nash de ce jeu.
(e) Aucune des précédentes.
Question 4. Laquelle des a¢ rmations suivantes est vraie concernant le jeu sous forme normale
suivant ?
joueur
1
haut
centre
bas
joueur
gauche
1,1
4,5
3,7
2
milieu
10,2
7,-1
3,4
droite
0,4
-4,-2
2,3
(a) La combinaison "centre gauche" est un équilibre de Nash mais n’est pas l’unique survivante
d’une procédure itérative d’élimination de stratégies dominées.
(b) La combinaison "centre gauche" est un équilibre de Nash et est l’unique survivante d’une procédure itérative d’élimination de stratégies dominées.
(c) La stratégie "centre" est dominante pour le joueur 1.
(d) La stratégie "droite" est dominante pour le joueur 2.
(e) Aucune des précédentes.
Question 5. Laquelle des a¢ rmations suivante est vraie ?
(a) Dans un équilibre de Nash, aucun joueur ne choisit une stratégie faiblement dominée.
(b) Dans l’exemple donné en classe des deux propriétaires d’appartement devant décider d’un
e¤ort de nettoyage d’une cage d’escalier, l’unique combinaison d’e¤orts de nettoyage qui survivait
à une procédure itérative (in…nie mais convergente) de stratégies dominées est Pareto-e¢ cace.
(c) Si un jeu sous forme normale admet un équilibre de Nash, il est résolvable par une procédure
itérative d’élimination des stratégies dominées.
(d) Un équilibre en stratégies dominante est un équilibre de Nash.
(e) Aucune des précédentes.
Question 6. On considère le jeu sous forme normale suivant:
joueur
1
haut
bas
joueur
gauche
a,b
4,5
2
droite
10,2
7,-1
Quelles inégalités devraient véri…er les nombres a et b pour que la combinaison "haut-gauche" soit
l’unique équilibre de Nash du jeu en stratégies pures ?
(a) a 4 et b 2.
(b) a > 4 et b 2.
(c) a 4 et b > 2.
(d) a > 4 et b > 2.
(e) Aucune des précédentes.
Question 7. Laquelle des a¢ rmations suivantes est vraie ?
(a) Dans un équilibre de Nash en stratégies mixtes, les joueurs sont indi¤érents
entre leurs stratégies pures.
(b) Un équilibre de Nash en stratégies mixtes conduit toujours à une situation ine¢ cace au sens
de Pareto.
(c) Le jeu "Roche-Papiers-Ciseaux" n’admet aucun équilibre de Nash en stratégies mixtes.
(d) Dans un équilibre de Nash en stratégies mixtes, les joueurs doivent jouer chacune de leur
stratégie pure avec une probabilité strictement positive.
(e) Aucune des précédentes.
Question 8 On considère la …gure suivante qui représente la situation vue en classe du problème
de nettoyage d’une cage d’escalier commune à deux propriétaires d’appartement. Laquelle des
a¢ rmations suivantes est vraie concernant cette …gure ?
x2
6
5
4
A
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
x1
(a) Chaque courbe en trait plein décrit les combinaisons de temps passé à nettoyer la cage
d’escalier des deux joueurs qui procurent un même niveau de satisfaction au joueur 1.
(b) La combinaison de stratégies où chaque joueur consacre deux heures par mois au nettoyage
de la cage d’escalier est un équilibre en stratégie dominante de ce jeu.
(c) Les points de tangence des courbes en trait plein et des courbes en traits discontinus correspondent aux équilibres de Nash du jeu.
(d) La zone A de la …gure montre des combinaisons de temps passé à nettoyer la
cage d’escalier que les deux joueurs préfèrent à la combinaison de temps (2,2).Chaque
courbe en trait plein décrit les combinaisons de temps passé à nettoyer la cage d’escalier
des deux joueurs qui procurent un même niveau de satisfaction au joueur 2.
(e) Aucune des précédentes.
Question 9. On considère le jeu sous forme normale suivant:
joueur
1
haut
milieu
bas
joueur
gauche
4; 1
2; 2
1; 1
2
droite
1; 2
3; 0
4; 2
Nous pouvons dire que:
(a) Ce jeu n’admet pas d’équilibre de Nash en stratégies pures mais en admet un en stratégies
mixtes.
(b) Ce jeu admet un équilibre de Nash en stratégies pures et un équilibre de Nash
en stratégies mixtes.
(c) Ce jeu admet deux équilibres de Nash en stratégies pures et un équilibre de Nash en stratégies
mixtes.
(d) Ce jeu admet un équilibre de Nash en stratégies pures mais n’admet aucun équilibre de
Nash en stratégies mixtes.
(e) Aucune des précédentes.
Question 10. Laquelle des a¢ rmations suivantes est vraie ?
(a) Un équilibre de Nash est toujours un équilibre en stratégies dominantes.
(b) Si un jeu sous forme normale admet plusieurs équilibre de Nash, il est résolvable par une
procédure itérative d’élimination de stratégies dominées.
(c) Il n’existe aucun mécanisme d’adjudication de marchés publics dans lequel chaque entreprise
a comme stratégie faiblement dominante de faire de proposer un prix correspondant à son coût de
production augmenté d’une unité.
(d) Il est possible que dans un équilibre de Nash, un joueur choisisse une stratégie strictement
dominée.
(e) Aucune des précédentes.