ENPC 2016 - Théorie des Jeux - Contrôle de connaissances
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Pour chaque question, cocher la bonne réponse sans justifier.
Bonne réponse = 2 points. Mauvaise réponse = -1 point. Absence de réponse= 0 points.
1. Dans un jeu, un joueur peut avoir deux stratégies strictement dominantes distinctes.
Faux
Si le joueur ia deux stratégies strictement dominantes distinctes siet ti, alors pour tout s−i∈S−i,g(si, s−i)> g(ti, s−i)
et g(si, s−i)< g(ti, s−i), absurde.
2. Dans un jeu, un profil de stratégies qui donne à chaque joueur son paiement maximal dans le jeu est toujours un
équilibre de Nash.
Vrai
Dans un tel profil, chaque joueur est en meilleure réponse, c’est donc un équilibre de Nash.
3. Dans un jeu, une stratégie pure qui n’est dominée par aucune stratégie mixte est nécessairement une stratégie dominante.
Faux
Contre-exemple : n’importe quelle stratégie pure du jeu de la Rencontre.
4. Considérons le jeu sous forme normale suivant :
A B C
A(1,1) (0,0) (4,0)
B(0,0) (2,2) (0,0)
C(0,4) (0,0) (3,3)
4.(a) Ce jeu admet 3 équilibres de Nash en stratégies pures, (A, A),(B, B)et (C, C).
Faux
(C, C)n’est pas un Nash, car le Joueur 1 préfère strictement jouer Acontre C.
4.(b) Le Joueur 1 a une stratégie strictement dominée par une stratégie mixte.
Vrai
Cest strictement dominée par (4/5) ·A+ (1/5) ·B.
4.(c) Le jeu est résoluble par élimination itérée des stratégies strictement dominées.
Faux
(A, A)et (B, B)sont des équilibres de Nash, donc le jeu n’est pas résoluble par élimination itérée des stratégies strictement
dominées (sinon il n’y aurait qu’un seul Nash).
4.(d) Cocher la ou les bonnes réponses parmi les trois propositions suivantes : ce jeu
a un équilibre de Nash en stratégies mixtes dans lequel les deux joueurs jouent Aavec probabilité 2/3et Bavec
probabilité 1/3.
On élimine d’abord Cpour les deux joueurs, puis un calcul standard donne ce résultat. Sans faire aucun calcul, on savait
déjà que la réponse ne pouvait être "aucun équilibre de Nash en stratégies mixtes" : d’après le théorème de Nash, tout jeu
fini admet un équilibre de Nash en stratégies mixtes !
5. Supposons que dans un jeu, le Joueur 1 garantit un paiement 1. Alors dans tout équilibre de Nash en stratégies mixtes,
son paiement est plus grand que 1.
Vrai
Soit σun équilibre de Nash en stratégies mixtes. Comme le Joueur 1 garantit 1, il existe τi∈Σitel que pour tout
τ−i∈Σ−i,gi(τi, τ−i)≥1. On a donc gi(σi, σ−i)≥gi(τi, σ−i)≥1, d’où le résultat.
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