Pour chaque question, cocher la bonne réponse sans j

ENPC 2016 - Théorie des Jeux - Contrôle de connaissances
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Pour chaque question, cocher la bonne réponse sans justifier.
Bonne réponse = 2 points. Mauvaise réponse = -1 point. Absence de réponse= 0 points.
1. Dans un jeu, un joueur peut avoir deux stratégies strictement dominantes distinctes.
Faux
Si le joueur i a deux stratégies strictement dominantes distinctes si et ti , alors pour tout s−i ∈ S−i , g(si , s−i ) > g(ti , s−i )
et g(si , s−i ) < g(ti , s−i ), absurde.
2. Dans un jeu, un profil de stratégies qui donne à chaque joueur son paiement maximal dans le jeu est toujours un
équilibre de Nash.
Vrai
Dans un tel profil, chaque joueur est en meilleure réponse, c’est donc un équilibre de Nash.
3. Dans un jeu, une stratégie pure qui n’est dominée par aucune stratégie mixte est nécessairement une stratégie dominante.
Faux
Contre-exemple : n’importe quelle stratégie pure du jeu de la Rencontre.
4. Considérons le jeu sous forme normale suivant :
A
B
C
A
(1, 1)
(0, 0)
(0, 4)
B
(0, 0)
(2, 2)
(0, 0)
C
(4, 0)
(0, 0)
(3, 3)
4.(a) Ce jeu admet 3 équilibres de Nash en stratégies pures, (A, A), (B, B) et (C, C).
Faux
(C, C) n’est pas un Nash, car le Joueur 1 préfère strictement jouer A contre C.
4.(b) Le Joueur 1 a une stratégie strictement dominée par une stratégie mixte.
Vrai
C est strictement dominée par (4/5) · A + (1/5) · B.
4.(c) Le jeu est résoluble par élimination itérée des stratégies strictement dominées.
Faux
(A, A) et (B, B) sont des équilibres de Nash, donc le jeu n’est pas résoluble par élimination itérée des stratégies strictement
dominées (sinon il n’y aurait qu’un seul Nash).
4.(d) Cocher la ou les bonnes réponses parmi les trois propositions suivantes : ce jeu
a un équilibre de Nash en stratégies mixtes dans lequel les deux joueurs jouent A avec probabilité 2/3 et B avec
probabilité 1/3.
On élimine d’abord C pour les deux joueurs, puis un calcul standard donne ce résultat. Sans faire aucun calcul, on savait
déjà que la réponse ne pouvait être "aucun équilibre de Nash en stratégies mixtes" : d’après le théorème de Nash, tout jeu
fini admet un équilibre de Nash en stratégies mixtes !
5. Supposons que dans un jeu, le Joueur 1 garantit un paiement 1. Alors dans tout équilibre de Nash en stratégies mixtes,
son paiement est plus grand que 1.
Vrai
Soit σ un équilibre de Nash en stratégies mixtes. Comme le Joueur 1 garantit 1, il existe τi ∈ Σi tel que pour tout
τ−i ∈ Σ−i , gi (τi , τ−i ) ≥ 1. On a donc gi (σi , σ−i ) ≥ gi (τi , σ−i ) ≥ 1, d’où le résultat.
1
6. Dans un équilibre de Nash en stratégies pures, un joueur peut avoir intérêt à dévier en adoptant une stratégie mixte
qui lui rapporte strictement mieux.
Faux
Attention ! Un nombre non négligeable d’erreurs sur cette question. D’après le cours, un équilibre de Nash en stratégies
pures est aussi un équilibre de Nash en stratégies mixtes, donc ce n’est pas possible.
7.(a) Les équilibres de Nash en stratégies mixtes du jeu suivant sont exactement les profils de stratégies prudentes mixtes.
0,0
3,-3
4,-4
2,-2
Vrai, car ce jeu est à somme nulle.
7. (b) Quelle est la valeur de ce jeu ? (Indiquer simplement la valeur sans justifier).
On calcule un équilibre de Nash, et on trouve (1/5, 2/5). Le paiement de Nash associé est (12/5, −12/5), donc la valeur
du jeu est 12/5.
8. Dans un jeu dont les ensembles de stratégies pures sont finis, l’ensemble des équilibres de Nash en stratégies mixtes
peut être infini.
Vrai
Exemple : un jeu dans lequel la fonction de paiement de tous les joueurs est nulle.
Les deux questions suivantes demandent un peu plus de réflexion.
9*. Supposons que dans un jeu, un joueur a une stratégie strictement dominante mixte. Alors cette stratégie est nécessairement pure.
Vrai
Soit σi ∈ Σi une telle stratégie du Joueur i, et soit σ−i ∈ Σ−i un profil de stratégies quelconque des autres joueurs. On a
X
gi (σi , σ−i ) =
σi (si )gi (si , σ−i ).
si ∈Supp(σi )
Raisonnons par l’absurde et supposons que σi n’est pas une stratégie pure. Alors pour tout si ∈ Supp(σi ), gi (σi , σ−i ) >
gi (si , σ−i ), ce qui contredit l’égalité précédente.
10*. Considérons un jeu à somme nulle dans lequel le Joueur 1 a au moins deux stratégies pures. Supposons que le Joueur
1 ait une stratégie pure qui est dominée par une stratégie mixte. Considérons le jeu à somme nulle obtenu en éliminant cette
stratégie. Alors ce jeu a la même valeur que le jeu de départ.
Vrai
Le jeu obtenu après élimination admet au moins un équilibre de Nash en stratégies mixtes. La valeur de ce jeu correspond
au paiement du Joueur 1 dans cet équilibre. Or, cet équilibre est également un équilibre de Nash du jeu de départ, par
propriété de l’élimination des stratégies dominées. Le paiement du Joueur 1 dans cet équilibre est donc la valeur du jeu de
départ, qui coïncide donc avec la valeur du deuxième jeu.
Soulignons que l’on ne prétend pas que les équilibres de Nash du jeu de départ sont exactement ceux du deuxième jeu ; on
utilise simplement le fait que les équilibres de Nash du deuxième jeu sont des équilibres de Nash du jeu de départ.
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