1 C ( )2

T.D. Théorie des jeux N°2
Exercice 1: On considère le jeu sous forme stratégique suivant.
G D
G
(
)
0,2
(
)
3,0
D
(
)
2,1
(
)
1,3
1. Déterminer les correspondances de meilleure réponse de chacun des deux joueurs.
2. Montrer qu’il existe un seul équilibre de Nash en stratégies complètement mixtes et qu’il peut être
déterminé en utilisant le fait que la stratégie d’équilibre de Nash de chaque joueur doit rendre l’autre
joueur indifférent entre les stratégies pures auxquelles il affecte une probabilité positive. Calculer le
paiement espéré de chacun des joueurs à l’équilibre.
Exercice 2: Des consommateurs
i
(
)
1, ,
i n
=K déterminent simultanément la quantité de monnaie pi
qu’ils consacrent à l’élaboration d’un bien public. L’utilité du consommateur
i
est :
( )
11
, ,
n
i n i i
i
u p p g p p
=
= −
∑
K
On suppose que g satisfait les conditions suivantes:
(
)
0 0
g
=
,
' 0
g
>
,
(
)
' 0 1
g
>
,
'' 0
g
<
et
(
)
lim ' 0
x
g x
→+∞
=
.
1. Montrer qu’il existe une infinité d’équilibres de Nash.
2. Déterminer l’équilibre de Nash symétrique dans le cas où
(
)
(
)
2ln 1
g x x
= +
,
0
x
≥
.
3. Montrer que, dans tout équilibre, la somme consacrée au bien public est sous optimale. On rappelle
que la dépense optimale publique maximise la somme des utilités individuelles.
Exercice 3 :
Deux entreprises produisent des biens différents. L’entreprise 1 produit le bien 1. Sa fonction de coût
total est
1
C
(
)
1
q
=
1
q
, lorsqu’elle produit la quantité
1
q
. L’entreprise 2 produit le bien 2. Sa fonction de
coût total est
2
C
(
)
2
q
=
2
q
lorsqu’elle produit la quantité
2
q
.
Les deux biens sont substituables, de sorte que la demande de bien 1 dépend du prix du bien 1, mais
aussi du prix du bien 2, de même pour la demande du bien 2.
Si on note les prix des biens 1 et 2 respectivement
1
p
et
2
p
, la demande du bien 1 est donnée par la
fonction de demande
(
)
1 1 2
,
D p p
=
1 2
10 2
p p
− +
et la demande du bien 2 est donnée par la fonction de
demande :
(
)
2 1 2
,
D p p
=
1 2
12 2
p p
+ − .
Chaque entreprise détermine unilatéralement son prix. L’entreprise 1 choisit le prix en prenant
2
p
comme donné, de façon à maximiser son profit.
1. Déterminer et représenter graphiquement les fonctions de réaction
(
)
1 1
R p
et
(
)
2 2
R p
.
2. Déterminer les prix et les profits à l’équilibre.
Exercice 4 . Soit une industrie composée de n firmes, produisant les quantités
i
q
,
1, ,
i n
=
K .
La fonction de demande inverse s’écrit :
(
)
1
p q q
= −
, où
1
n
q q q
= + K est l’offre totale. Le coût
marginal de chaque entreprise est constant, égal à c et inférieur à 1.
1. On suppose ici que
1
n
=
. Calculer le prix et la quantité à l’équilibre du monopole.
2. On suppose maintenant que
2
n
=
. Déterminer le prix et la quantité à l’équilibre de Cournot.
3. Généraliser le 2. pour un nombre quelconque d’entreprises
2
n
≥
. (Exprimer le prix et la quantité à
l’équilibre de Cournot en fonction de n).