Homologie, homotopie et foncteurs dérivés

Université des Sciences et Technologies de Lille
Master 2, “Mathématiques pures” (2004-05)
Catégories modèles et algèbre homologique
Problèmes, Feuille 5
§1. Suites exactes
1. Problème : homologie et suites exactes
1.1) Des morphismes de complexes forment une suite exacte
p∗
i
∗
(C∗ , δ∗ ) −−→ (C∗00 , δ∗00 ) −−→ 0
0 −−→ (C∗0 , δ∗0 ) −−→
si ces morphismes définissent une suite exacte de K-modules en tout degré d ≥ 0. Montrer que les modules
d’homologie associés à de tels complexes s’insèrent dans une suite exacte longue de la forme
p∗
∂
p∗
i
∂
i
∗
∗
∗
∗
Hd−1 (C∗0 , δ∗0 ) −−→
···
Hd (C∗0 , δ∗0 ) −−→
Hd (C∗ , δ∗ ) −−→ Hd (C∗00 , δ∗00 ) −−→
· · · −−→ Hd+1 (C∗00 , δ∗00 ) −−→
p
p∗
∂
i
∗
∗
∗
00 00
0
0
−−→ H1 (C∗ , δ∗ ) −−→ H0 (C∗ , δ∗ ) −−→ H0 (C∗ , δ∗ ) −−→ H0 (C∗00 , δ∗00 ) −−→ 0.
L’application ∂∗ : H∗ (C∗00 , δ∗00 ) → H∗−1 (C∗0 , δ∗0 ) est la connexion de la suite exacte longue et s’obtient par une
chasse aux éléments dans le diagramme commutatif
..
.
..
.
δ∗0
0
0
/ Cd+1
0
/ C0
d
0
i∗
/ Cd+1
i∗
/ Cd
p∗
00
/ Cd+1
p∗
/ C 00
d
δ∗0
i∗
δ∗0
δ∗
/ Cd−1
p∗
δ∗
..
.
/0
δ∗00
δ∗
0
/ Cd−1
..
.
δ∗00
δ∗
δ∗0
..
.
/0
δ∗00
00
/ Cd−1
..
.
/0
δ∗00
1.2) On considère un diagramme commutatif de complexes
0
/ (C∗0 , δ∗0 )
0
/ (D∗0 , δ∗0 )
i∗
/ (C∗ , δ∗ )
j∗
/ (D∗ , δ∗ )
u0∗
p∗
/ (C∗00 , δ∗00 )
/0
u00
∗
u∗
q∗
/ (D∗00 , δ∗00 )
/0
avec des lignes exactes. On suppose que deux morphismes parmi u0∗ , u∗ , u00∗ sont des quasi-isomorphismes.
Prouver que le troisième l’est aussi.
Références : [J, §6], [W, §1.3]
§2. Homotopies de chaı̂nes
2. Problème : homotopies de chaı̂nes
Soient
f∗ , g∗ : (C∗ , ∂∗ ) → (D∗ , ∂∗ )
BF, Courriel: [email protected]
1
des morphismes de complexes. On suppose que ces morphismes sont homotopes : explicitement, il existe
une suite d’applications h∗ : Cd → Cd+1 , d ∈ N, telles que gd − fd = hd−1 ∂d−1 + ∂d hd , pour tout d ≥ 1, et
g0 − f0 = ∂0 h0 . Prouver alors que les morphismes induits en homologie
Hd (f∗ ), Hd (g∗ ) : Hd (C∗ , ∂∗ ) → Hd (D∗ , ∂∗ )
coincident pour tout d ≥ 0.
Références : [J, §6.4], [W, §1.4]
3. Problème : rétracts par déformations et formule de Künneth
On fixe un anneau de base K et on travaille dans la catégorie des K-modules. On notera ⊗ le produit
tensoriel sur K.
3.1) On dit qu’un complexe (D∗ , ∂∗ ) est rétract par déformation d’un complexe (C∗ , ∂∗ ) si on a des morphismes de complexes
i∗ : (D∗ , ∂∗ ) → (C∗ , ∂∗ ) et r∗ : (C∗ , ∂∗ ) → (D∗ , ∂∗ )
tels que r∗ i∗ = IdD∗ et une homotopie h∗ : C∗ → C∗+1 , telle que id rd − IdCd = hd−1 ∂d−1 + ∂d hd , pour tout
d ≥ 1, et i0 r0 − IdCd = ∂0 h0 . Prouver que les morphismes induits en homologie
Hd (i∗ ) : Hd (D∗ , ∂∗ ) → Hd (C∗ , ∂∗ )
et
Hd (r∗ ) : Hd (C∗ , ∂∗ ) → Hd (D∗ , ∂∗ )
définissent des isomorphismes inverses pour tout d ≥ 0.
3.2) On se donne un complexe arbitraire (C∗ , ∂∗ ). On considère le complexe (H∗ , 0) défini par les modules
d’homologies Hd = Hd (C∗ , ∂∗ ) munis de la différentielle nulle ∂∗ = 0. On suppose que ces complexes C∗
et H∗ sont constitués de K-modules libres. (On notera que cette hypothèse est automatiquement vérifiée
si l’anneau de base K est un corps.) Prouver que (H∗ , 0) forme un rétract par déformation de (C∗ ∂∗ ). On
montrera sur un exemple simple (un complexe de Z-modules de longueur 1 suffit) que cette propriété n’est pas
assurée en général. Indication : Il suffit de fixer des scindages Cn = Zn (C∗ ) ⊕ Sn et Zn (C∗ ) = Bn (C∗ ) ⊕ Tn
pour construire le rétract.
3.3) Le produit tensoriel de complexes de K-modules (C∗ , ∂∗ ) et (D∗ , ∂∗ ) est le complexe (C∗ ⊗ D∗ , ∂∗ ) dont
la composante de degré d s’écrit
d
M
(C∗ ⊗ D∗ )d =
Ce ⊗ Dd−e
e=0
et dont la différentielle est définie par la formule de dérivation
∂∗ (x ⊗ y) = ∂∗ (x) ⊗ y + (−1)d x ⊗ ∂∗ (y)
pour tout tenseur homogène x ⊗ y ∈ Ce ⊗ Dd−e . Vérifier que cette formule donne bien une différentielle.
Expliciter une application naturelle
d
M
He (C∗ , ∂∗ ) ⊗ Hd−e (C∗ , ∂∗ ) → Hd (C∗ ⊗ D∗ , ∂∗ ).
e=0
Montrer sur des exemples que cette application naturelle n’est pas un isomorphisme en général (on pourra
considérer des complexes de Z-modules de longueur 0 et 1).
3.4) Soient (H∗ , 0) et (K∗ , 0) les complexes définis par les modules d’homologies de (C∗ , ∂∗ ) et (D∗ , ∂∗ ),
respectivement, munis de la différentielle nulle. On suppose que tout ces complexes sont constitués de Kmodules libres de sorte que la construction de la question 3.2 s’applique. Prouver que l’on a des rétracts par
déformations
o r∗
o s∗
H∗ ⊗ K∗
/ C∗ ⊗ D
/ C∗ ⊗ K
∗
X
X ∗
j∗
i∗
h∗
2
k∗
et en déduire que l’application naturelle
d
M
He (C∗ , ∂∗ ) ⊗ Hd−e (C∗ , ∂∗ ) → Hd (C∗ ⊗ D∗ , ∂∗ )
e=0
est un isomorphisme.
3.5) Prouver que les complexes cubiques introduits dans le problème 6 de la feuille 4 forment une suite de
rétracts par déformation
C∗ (0 )
o
r∗
i∗
/ C∗ (1 )
W
o
r∗
i∗
/ ···
o
r∗
/ C∗ (n−1 )
W
i∗
h∗
o
r∗
i∗
h∗
/ C∗ (n )
W
o
r∗
i∗
/ ···.
h∗
On pourra observer que le produit tensoriel
(C∗ (n−1 ) ⊗ C∗ (1 ), ∂∗ )
s’identifie au complexe cubique (C∗ (n ), ∂∗ ) par un isomorphisme explicite. Retrouver que l’homologie du
complexe (C∗ (n ), ∂∗ ) est nulle en degré d > 0.
3.6) On note (K∗ (x1 , . . . , xn ), κ∗ ) le complexe de Koszul introduit dans l’exercice 3 de la feuille 4 pour un
anneau de polynômes R = K[x1 , . . . , xn ]. On voudrait montrer que ce complexe est acyclique sans hypothèse
sur l’anneau de base K. Observer que le produit tensoriel (K∗ (x1 , . . . , xn−1 ) ⊗ K∗ (xn ), κ∗ ) est isomorphe à
(K∗ (x1 , . . . , xn ), κ∗ ) et prouver le résultat par récurrence.
Références : ??
§3. Complexes projectifs et homotopies
4. Problème : comparaison de résolutions
On rappelle qu’un R-module P est projectif si un relèvement existe dans tout diagramme de la forme
s
P
}
}
}
v
M
}>
p
/N
avec p : M → N surjective. Le but de ce problème est de prouver les propriétés des résolutions projectives
par des arguments de récurrence basés sur cette propriété. On dira qu’un complexe de R-modules (C∗ , ∂∗ )
est augmenté au dessus d’un R-module M si on a un morphisme π : C0 → M tel que φ∂0 = 0.
4.1) Soit M un R-module. Soit (P∗ , ∂∗ ) un complexe projectif muni d’une augmentation π : P0 → M . Soit
(C∗ , ∂∗ ) une résolution de M . Construire un morphisme de complexes augmentés φ∗ : (P∗ , ∂∗ ) → (C∗ , ∂∗ )
par induction sur le degré. Soit φ0∗ : (P∗ , ∂∗ ) → (C∗ , ∂∗ ) un second morphisme de complexes augmentés.
Construire une homotopie entre φ∗ et φ0∗ par induction sur le degré.
4.2) Soient (P∗ , ∂∗ ) et (Q∗ , ∂∗ ) des résolutions projectives de M . Construire des morphismes de complexes
φ∗ : (P∗ , ∂∗ ) → (Q∗ , ∂∗ ) et ψ∗ : (Q∗ , ∂∗ ) → (P∗ , ∂∗ ) et montrer que les morphismes composés φ∗ ψ∗ et ψ∗ φ∗
sont homotopes à l’identité en utilisant les résultats de la question précédentes.
4.3) Expliciter de tels morphismes et homotopies pour les résolutions libres introduites dans la feuille 4.
4.4) On considère une suite exacte de R-modules
p
i
0 −−→ M 0 −−→ M −−→ M 00 −−→ 0.
Soit (P∗0 , ∂∗0 ) une résolution de M 0 . Soit (P∗00 , ∂∗00 ) une résolution de M 0 . Montrer que M possède une résolution
(P∗ , ∂∗ ) de la forme
0
∂∗ β∗
Pd = Pd0 ⊕ Pd00 avec ∂∗ =
0 ∂∗00
3
et telle que les morphismes d’inclusions et de projections définissent des morphismes de complexes augmentés
i∗ : (P∗0 , ∂∗0 ) → (P∗ , ∂∗ )
et
p∗ : (P∗ , ∂∗ ) → (P∗00 , ∂∗00 ).
0
On construira le morphisme β∗ : Pd00 → Pd−1
par induction sur le degré d. On observera que l’on obtient
ainsi une suite exacte de complexes
p∗
i
∗
(P∗ , ∂∗ ) −−→ (P∗00 , ∂∗00 ) −−→ 0.
0 −−→ (P∗0 , ∂∗0 ) −−→
Références : [J, §6.2], [W, §2.2]
5. Problème : équivalences faibles de complexes projectifs
Soit φ∗ : (P∗ , ∂∗ ) → (Q∗ , ∂∗ ) un quasi-isomorphisme de complexes projectifs. On ne suppose pas
nécessairement ces complexes acycliques. Construire par induction un morphisme inverse ψ∗ : (Q∗ , ∂∗ ) →
(P∗ , ∂∗ ) et des homotopies entre les morphismes composés φ∗ ψ∗ et ψ∗ φ∗ et les morphismes identités.
Références : ??
§4. Produits de torsion
6. Problème : modules de torsion
On travaille avec un anneau de base commutatif R.
6.1) Soit (C∗ , ∂∗ ) un complexe de R-modules (à droite). Soit N un R-module à gauche. Observer que les
modules
∂∗ ⊗Id
∂∗ ⊗Id
∂∗ ⊗Id
∂∗ ⊗Id
· · · −−
−→ Cd ⊗R N −−
−→ Cd−1 ⊗R N −−
−→ C1 ⊗R N −−
−→ C0 ⊗R N
forme un complexe. Observer qu’un morphisme de complexes φ∗ : (C∗ , ∂∗ ) → (D∗ , ∂∗ ) induit un morphisme
de complexes φ∗ ⊗R IdN : (C∗ ⊗R N, ∂∗ ⊗R IdN ) → (D∗ ⊗R N, ∂∗ ⊗R IdN ). Prouver en outre que si φ∗ et
φ0∗ sont des morphismes de complexes homotopes, alors les morphismes associés φ∗ ⊗R IdN et φ0∗ ⊗R IdN le
sont aussi.
6.2) Soit M un R-module à droite. Soit N un R-module à gauche. On fixe une résolution projective de M ,
soit (P∗ , ∂∗ ). Le d-ième produit de torsion de M et de N est le module d’homologie
TorR
d (M, N ) = Hd (P∗ ⊗R N, ∂∗ ⊗R IdN ).
Montrer que
TorR
0 (M, N ) = M ⊗R N.
R
Prouver que TorR
d (M, N ) ne dépend pas du choix de la résolution (P∗ , ∂∗ ) et que Tord (M, N ) définit un
foncteur en M et en N .
6.3) Déterminer explicitement les modules de torsions TorR
d (M, N ), pour M = N = K, R = K[], R = K[τ ]
et R = K[x1 , . . . , xn ] en utilisant les résolutions introduites dans la feuille 4. En utilisant ce calcul, montrer
que toute résolution projective de K est de longueur infinie pour R = K[], ainsi que pour R = K[τ ] dès lors
que K = Z/nZ, et de longueur au moins égale à n pour R = K[x1 , . . . , xn ].
6.4) Déterminer explicitement les modules de torsions TorZd (Z/mZ, Z/nZ).
Prouver que les modules TorZd (M, Z[S −1 ]) sont nuls en degré d > 0 pour tout anneau de fractions Z[S −1 ].
6.5) On considère une suite exacte de R-modules
p
i
0 −−→ M 0 −−→ M −−→ M 00 −−→ 0.
Montrer que l’on a une suite exacte longue naturelle
∂
p∗
i
∂
i
∗
∗
∗
∗
0
00
0
· · · −−→
TorR
−→
TorR
−→ TorR
−→
TorR
−→
···
d (M , N ) −
d (M, N ) −
d (M , N ) −
d−1 (M , N ) −
p∗
∂
i ⊗Id
p∗ ⊗IdN
∗
00
−−→ TorR
−→
M 00 ⊗R N −∗−−→ M ⊗R N −−−−→ M 00 ⊗R N −−→ 0.
1 (M , N ) −
6.6) On considère une suite exacte de R-modules
p
i
0 −−→ N 0 −−→ N −−→ N 00 −−→ 0.
4
Montrer que l’on a une suite exacte longue naturelle
∂
i
p∗
∂
p∗
∂
i
∗
∗
∗
∗
00
0
0
−→
TorR
−→
···
−→ TorR
−→
TorR
TorR
· · · −−→
d−1 (M, N ) −
d (M, N ) −
d (M, N ) −
d (M, N ) −
Id ⊗i
Id ⊗p∗
∗
00
−→
M ⊗R N 0 −−−→∗ M ⊗R N −−−→ M ⊗R N 0 −−→ 0.
−−→ TorR
1 (M, N ) −
6.7) On définit des modules RTorR
∗ (M, N ) avec les mêmes propriétés en considérant des résolutions projecR
tives du facteur de droite N au lieu de M . Construire un isomorphisme RTorR
d (M, N ) ' Tord (M, N ) : fixer
un R-module libre L avec une surjection π : L → N ; considérer les suites exactes longues associées à la
suite exacte courte
π
0 −−→ Ker(π) −−→ L −−→ N −−→ 0 ;
construire l’isomorphisme demandé par induction sur le degré d.
Références : [J, §6.8], [W, §1.2]
Bibliographie
[J] N. Jacobson, Basic algebra II, seconde édition, W. H. Freeman and Company, 1980.
[W] C. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38,
Cambridge University Press, 1994.
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