Homologie, homotopie et foncteurs dérivés

Universit´e des Sciences et Technologies de Lille
Master 2, “Math´ematiques pures” (2004-05)
Cat´egories mod`eles et alg`ebre homologique
Probl`emes, Feuille 5
§1. Suites exactes
1. Probl`eme : homologie et suites exactes
1.1) Des morphismes de complexes forment une suite exacte
0−−→ (C0
∗, δ0 ∗)i∗
−−→ (C∗, δ∗)p∗ −−→ (C00
∗, δ00 ∗)−−→ 0
si ces morphismes d´efinissent une suite exacte de K-modules en tout degr´e d≥0. Montrer que les modules
d’homologie associ´es `a de tels complexes s’ins`erent dans une suite exacte longue de la forme
· · · p∗ −−→ Hd+1(C00
∗, δ00 ∗)∂∗
−−→ Hd(C0
∗, δ0 ∗)i∗
−−→ Hd(C∗, δ∗)p∗ −−→ Hd(C00
∗, δ00 ∗)∂∗
−−→ Hd−1(C0
∗, δ0 ∗)i∗
−−→ · · ·
p∗
−−→ H1(C00
∗, δ00 ∗)∂∗
−−→ H0(C0
∗, δ0 ∗)i∗
−−→ H0(C∗, δ∗)p∗ −−→ H0(C00
∗, δ00 ∗)−−→ 0.
L’application ∂∗:H∗(C00
∗, δ00 ∗)→H∗−1(C0 ∗, δ0 ∗) est la connexion de la suite exacte longue et s’obtient par une
chasse aux ´el´ements dans le diagramme commutatif
.
.
.
δ0
∗
.
.
.
δ∗
.
.
.
δ00
∗
0//C0
d+1
i∗//
δ0
∗
Cd+1
p∗//
δ∗
C00
d+1 //
δ00
∗
0
0//C0
d
i∗//
δ0
∗
Cd
p∗//
δ∗
C00
d//
δ00
∗
0
0//C0
d−1
i∗//
δ0
∗
Cd−1
p∗//
δ∗
C00
d−1//
δ00
∗
0
.
.
..
.
..
.
.
1.2) On consid`ere un diagramme commutatif de complexes
0//(C0
∗, δ0 ∗)i∗//
u0
∗
(C∗, δ∗)p∗//
u∗
(C00
∗, δ00 ∗)//
u00
∗
0
0//(D0
∗, δ0 ∗)j∗//(D∗, δ∗)q∗//(D00 ∗, δ00 ∗)//0
avec des lignes exactes. On suppose que deux morphismes parmi u0
∗, u∗, u00 ∗sont des quasi-isomorphismes.
Prouver que le troisi`eme l’est aussi.
R´ ef´ erences : [J, §6], [W, §1.3]
§2. Homotopies de chaˆınes
2. Probl`eme : homotopies de chaˆınes
Soient
f∗, g∗: (C∗, ∂∗)→(D∗, ∂∗)
BF, Courriel: [email protected]
1

des morphismes de complexes. On suppose que ces morphismes sont homotopes : explicitement, il existe
une suite d’applications h∗:Cd→Cd+1,d∈N, telles que gd−fd=hd−1∂d−1+∂dhd, pour tout d≥1, et
g0−f0=∂0h0. Prouver alors que les morphismes induits en homologie
Hd(f∗), Hd(g∗) : Hd(C∗, ∂∗)→Hd(D∗, ∂∗)
coincident pour tout d≥0.
R´ ef´ erences : [J, §6.4], [W, §1.4]
3. Probl`eme : r´etracts par d´eformations et formule de K¨unneth
On fixe un anneau de base Ket on travaille dans la cat´egorie des K-modules. On notera ⊗le produit
tensoriel sur K.
3.1) On dit qu’un complexe (D∗, ∂∗) est r´etract par d´eformation d’un complexe (C∗, ∂∗) si on a des mor-
phismes de complexes
i∗: (D∗, ∂∗)→(C∗, ∂∗) et r∗: (C∗, ∂∗)→(D∗, ∂∗)
tels que r∗i∗=IdD∗et une homotopie h∗:C∗→C∗+1, telle que idrd−IdCd=hd−1∂d−1+∂dhd, pour tout
d≥1, et i0r0−IdCd=∂0h0. Prouver que les morphismes induits en homologie
Hd(i∗) : Hd(D∗, ∂∗)→Hd(C∗, ∂∗) et Hd(r∗) : Hd(C∗, ∂∗)→Hd(D∗, ∂∗)
d´efinissent des isomorphismes inverses pour tout d≥0.
3.2) On se donne un complexe arbitraire (C∗, ∂∗). On consid`ere le complexe (H∗,0) d´efini par les modules
d’homologies Hd=Hd(C∗, ∂∗) munis de la diff´erentielle nulle ∂∗= 0. On suppose que ces complexes C∗
et H∗sont constitu´es de K-modules libres. (On notera que cette hypoth`ese est automatiquement v´erifi´ee
si l’anneau de base Kest un corps.) Prouver que (H∗,0) forme un r´etract par d´eformation de (C∗∂∗). On
montrera sur un exemple simple (un complexe de Z-modules de longueur 1 suffit) que cette propri´et´e n’est pas
assur´ee en g´en´eral. Indication : Il suffit de fixer des scindages Cn=Zn(C∗)⊕Snet Zn(C∗) = Bn(C∗)⊕Tn
pour construire le r´etract.
3.3) Le produit tensoriel de complexes de K-modules (C∗, ∂∗) et (D∗, ∂∗) est le complexe (C∗⊗D∗, ∂∗) dont
la composante de degr´e ds’´ecrit
(C∗⊗D∗)d=
d
M
e=0
Ce⊗Dd−e
et dont la diff´erentielle est d´efinie par la formule de d´erivation
∂∗(x⊗y) = ∂∗(x)⊗y+ (−1)dx⊗∂∗(y)
pour tout tenseur homog`ene x⊗y∈Ce⊗Dd−e. V´erifier que cette formule donne bien une diff´erentielle.
Expliciter une application naturelle
d
M
e=0
He(C∗, ∂∗)⊗Hd−e(C∗, ∂∗)→Hd(C∗⊗D∗, ∂∗).
Montrer sur des exemples que cette application naturelle n’est pas un isomorphisme en g´en´eral (on pourra
consid´erer des complexes de Z-modules de longueur 0 et 1).
3.4) Soient (H∗,0) et (K∗,0) les complexes d´efinis par les modules d’homologies de (C∗, ∂∗) et (D∗, ∂∗),
respectivement, munis de la diff´erentielle nulle. On suppose que tout ces complexes sont constitu´es de K-
modules libres de sorte que la construction de la question 3.2 s’applique. Prouver que l’on a des r´etracts par
d´eformations
H∗⊗K∗
i∗
//C∗⊗K∗
j∗
//
r∗
oo
h∗
XXC∗⊗D∗
s∗
oo
k∗
XX
2

et en d´eduire que l’application naturelle
d
M
e=0
He(C∗, ∂∗)⊗Hd−e(C∗, ∂∗)→Hd(C∗⊗D∗, ∂∗)
est un isomorphisme.
3.5) Prouver que les complexes cubiques introduits dans le probl`eme 6 de la feuille 4 forment une suite de
r´etracts par d´eformation
C∗(0)
i∗
//C∗(1)
i∗
//
r∗
oo
h∗
WW· · ·
i∗
//
r∗
ooC∗(n−1)
h∗
WWi∗
//
r∗
ooC∗(n)
i∗
//
r∗
oo
h∗
WW· · · .
r∗
oo
On pourra observer que le produit tensoriel
(C∗(n−1)⊗C∗(1), ∂∗)
s’identifie au complexe cubique (C∗(n), ∂∗) par un isomorphisme explicite. Retrouver que l’homologie du
complexe (C∗(n), ∂∗) est nulle en degr´e d > 0.
3.6) On note (K∗(x1, . . . , xn), κ∗) le complexe de Koszul introduit dans l’exercice 3 de la feuille 4 pour un
anneau de polynˆomes R=K[x1, . . . , xn]. On voudrait montrer que ce complexe est acyclique sans hypoth`ese
sur l’anneau de base K. Observer que le produit tensoriel (K∗(x1, . . . , xn−1)⊗K∗(xn), κ∗) est isomorphe `a
(K∗(x1, . . . , xn), κ∗) et prouver le r´esultat par r´ecurrence.
R´ ef´ erences : ??
§3. Complexes projectifs et homotopies
4. Probl`eme : comparaison de r´esolutions
On rappelle qu’un R-module Pest projectif si un rel`evement existe dans tout diagramme de la forme
M
p
P
s>>
}
}
}
}v//N
avec p:M→Nsurjective. Le but de ce probl`eme est de prouver les propri´et´es des r´esolutions projectives
par des arguments de r´ecurrence bas´es sur cette propri´et´e. On dira qu’un complexe de R-modules (C∗, ∂∗)
est augment´e au dessus d’un R-module Msi on a un morphisme π:C0→Mtel que φ∂0= 0.
4.1) Soit Mun R-module. Soit (P∗, ∂∗) un complexe projectif muni d’une augmentation π:P0→M. Soit
(C∗, ∂∗) une r´esolution de M. Construire un morphisme de complexes augment´es φ∗: (P∗, ∂∗)→(C∗, ∂∗)
par induction sur le degr´e. Soit φ0
∗: (P∗, ∂∗)→(C∗, ∂∗) un second morphisme de complexes augment´es.
Construire une homotopie entre φ∗et φ0
∗par induction sur le degr´e.
4.2) Soient (P∗, ∂∗) et (Q∗, ∂∗) des r´esolutions projectives de M. Construire des morphismes de complexes
φ∗: (P∗, ∂∗)→(Q∗, ∂∗) et ψ∗: (Q∗, ∂∗)→(P∗, ∂∗) et montrer que les morphismes compos´es φ∗ψ∗et ψ∗φ∗
sont homotopes `a l’identit´e en utilisant les r´esultats de la question pr´ec´edentes.
4.3) Expliciter de tels morphismes et homotopies pour les r´esolutions libres introduites dans la feuille 4.
4.4) On consid`ere une suite exacte de R-modules
0−−→ M0i −−→ Mp −−→ M00 −−→ 0.
Soit (P0
∗, ∂0 ∗) une r´esolution de M0. Soit (P00 ∗, ∂00 ∗) une r´esolution de M0. Montrer que Mposs`ede une r´esolution
(P∗, ∂∗) de la forme
Pd=P0
d⊕P00 davec ∂∗=∂0
∗β∗
0∂00
∗
3

et telle que les morphismes d’inclusions et de projections d´efinissent des morphismes de complexes augment´es
i∗: (P0
∗, ∂0 ∗)→(P∗, ∂∗) et p∗: (P∗, ∂∗)→(P00 ∗, ∂00 ∗).
On construira le morphisme β∗:P00
d→P0 d−1par induction sur le degr´e d. On observera que l’on obtient
ainsi une suite exacte de complexes
0−−→ (P0
∗, ∂0 ∗)i∗
−−→ (P∗, ∂∗)p∗ −−→ (P00
∗, ∂00 ∗)−−→ 0.
R´ ef´ erences : [J, §6.2], [W, §2.2]
5. Probl`eme : ´equivalences faibles de complexes projectifs
Soit φ∗: (P∗, ∂∗)→(Q∗, ∂∗) un quasi-isomorphisme de complexes projectifs. On ne suppose pas
n´ecessairement ces complexes acycliques. Construire par induction un morphisme inverse ψ∗: (Q∗, ∂∗)→
(P∗, ∂∗) et des homotopies entre les morphismes compos´es φ∗ψ∗et ψ∗φ∗et les morphismes identit´es.
R´ ef´ erences : ??
§4. Produits de torsion
6. Probl`eme : modules de torsion
On travaille avec un anneau de base commutatif R.
6.1) Soit (C∗, ∂∗) un complexe de R-modules (`a droite). Soit Nun R-module `a gauche. Observer que les
modules
· · · ∂∗⊗Id −−−→ Cd⊗RN∂∗⊗Id −−−→ Cd−1⊗RN∂∗⊗Id −−−→ C1⊗RN∂∗⊗Id −−−→ C0⊗RN
forme un complexe. Observer qu’un morphisme de complexes φ∗: (C∗, ∂∗)→(D∗, ∂∗) induit un morphisme
de complexes φ∗⊗RIdN: (C∗⊗RN, ∂∗⊗RIdN)→(D∗⊗RN, ∂∗⊗RIdN). Prouver en outre que si φ∗et
φ0
∗sont des morphismes de complexes homotopes, alors les morphismes associ´es φ∗⊗RIdNet φ0 ∗⊗RIdNle
sont aussi.
6.2) Soit Mun R-module `a droite. Soit Nun R-module `a gauche. On fixe une r´esolution projective de M,
soit (P∗, ∂∗). Le d-i`eme produit de torsion de Met de Nest le module d’homologie
TorR
d(M, N ) = Hd(P∗⊗RN, ∂∗⊗RIdN).
Montrer que
TorR
0(M, N ) = M⊗RN.
Prouver que TorR
d(M, N ) ne d´epend pas du choix de la r´esolution (P∗, ∂∗) et que TorR d(M, N ) d´efinit un
foncteur en Met en N.
6.3) D´eterminer explicitement les modules de torsions TorR
d(M, N ), pour M=N=K,R=K[], R=K[τ]
et R=K[x1, . . . , xn] en utilisant les r´esolutions introduites dans la feuille 4. En utilisant ce calcul, montrer
que toute r´esolution projective de Kest de longueur infinie pour R=K[], ainsi que pour R=K[τ] d`es lors
que K=Z/nZ, et de longueur au moins ´egale `a npour R=K[x1, . . . , xn].
6.4) D´eterminer explicitement les modules de torsions TorZ
d(Z/mZ,Z/nZ).
Prouver que les modules TorZ
d(M, Z[S−1]) sont nuls en degr´e d > 0 pour tout anneau de fractions Z[S−1].
6.5) On consid`ere une suite exacte de R-modules
0−−→ M0i −−→ Mp −−→ M00 −−→ 0.
Montrer que l’on a une suite exacte longue naturelle
· · · ∂∗ −−→ TorR
d(M0, N)i∗
−−→ TorR
d(M, N )p∗
−−→ TorR
d(M00, N )∂∗
−−→ TorR
d−1(M0, N)i∗
−−→ · · ·
p∗
−−→ TorR
1(M00, N )∂∗
−−→ M00 ⊗RNi∗⊗Id −−−→ M⊗RNp∗⊗IdN −−−−→ M00 ⊗RN−−→ 0.
6.6) On consid`ere une suite exacte de R-modules
0−−→ N0i −−→ Np −−→ N00 −−→ 0.
4

Montrer que l’on a une suite exacte longue naturelle
· · · ∂∗ −−→ TorR
d(M, N 0)i∗
−−→ TorR
d(M, N )p∗
−−→ TorR
d(M, N 00)∂∗
−−→ TorR
d−1(M, N 0)i∗
−−→ · · ·
p∗
−−→ TorR
1(M, N 00)∂∗
−−→ M⊗RN0Id ⊗i∗ −−−→ M⊗RNId ⊗p∗ −−−→ M⊗RN0−−→ 0.
6.7) On d´efinit des modules RTorR
∗(M, N ) avec les mˆemes propri´et´es en consid´erant des r´esolutions projec-
tives du facteur de droite Nau lieu de M. Construire un isomorphisme RTorR
d(M, N )'TorR d(M, N ) : fixer
un R-module libre Lavec une surjection π:L→N; consid´erer les suites exactes longues associ´ees `a la
suite exacte courte
0−−→ Ker(π)−−→ Lπ −−→ N−−→ 0 ;
construire l’isomorphisme demand´e par induction sur le degr´e d.
R´ ef´ erences : [J, §6.8], [W, §1.2]
Bibliographie
[J] N. Jacobson, Basic algebra II, seconde ´edition, W. H. Freeman and Company, 1980.
[W] C. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38,
Cambridge University Press, 1994.
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