1 Un entier est dit parfait s`il est égal à la somme de ses diviseurs

1 Un entier est dit parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs autres que lui-même.
1° a) Donner la liste des diviseurs de 6, puis celle des diviseurs de 28.
Montrer que 6 et 28 sont des nombres parfaits.
b) Décomposer 496 en produit de facteurs premiers et utiliser cette décomposition pour déterminer la liste des
diviseurs de 496. Montrer que 496 est un nombre parfait.
2° Soit n un nombre premier tel que le nombre de Mersenne p = 2n – 1 soit un nombre premier.
On considère l’entier N = 2n-1 × p. On se propose de montrer que N est un nombre parfait.
a) Calculer N pour n = 2 , n = 3 puis n = 5.
b) L’écriture N = 2n-1 × p est la décomposition de N en produits de facteurs premiers. En déduire la liste des
diviseurs de N.
c) Justifier l’égalité 1 + 2 + 22 + ………+2n-1 = p
d) En déduire que la somme de tous les diviseurs de N est égale à 2.N. Conclure.
3° Donner un nombre parfait autre que 6, 28 et 496.
2 Dans la vie courante on est amené à manipuler des numéros d'identification, par exemple le numéro INSEE
(Institut National de la Statistique et des Etudes Economiques), numéros de comptes bancaires RIB, ... Ces
numéros pouvant être assez longs, on les munit d'une clé qui permet de détecter (pas toujours) des erreurs de
saisie éventuelles.
Partie 1
1° . Montrer que le dernier nombre premier avant 100 est 97.
2° Décomposer les nombres 10, 102 , l03, 104, 105,… en produits de facteurs premiers. En déduire qu'ils sont
premiers avec 97 donc que leur reste par la division par 97 ne peut pas être nul. Donner les classes de
congruences modulo 97 de 10, 102 , l03, 104, 105,106.
3° Montrer qu'il en de même pour les nombres y 10 n avec y = 1, 2,3, .... 9.
Partie 2
Le numéro INSEE d'un individu est composé de 15 chiffres. En lisant de gauche à droite, le premier est 1 ou 2
suivant qu'il s'agit d'un homme ou d'un femme. Les deux chiffres suivants désignent les deux derniers chiffres
de l'année de naissance, les deux suivants le mois de naissance, les deux suivants le département, les trois
suivants la commune de naissance, les trois suivants le numéro d'inscription sur le registre d'état civil, les deux
derniers forment une clé K.
La clé K est calculée de la manière suivante : désignons par A le nombre entier constitué par les 13 chiffres de
gauche. Soit R le reste de la division euclidienne de A par 97. On prend K = 97 – R
1° Sophie a pour numéro INSEE , sans la clef, A = 2850786183048
a) Donner le mois où elle est née .
b) Déterminer les entiers p et q tels que 2850786183048 = p × 10 6 + r avec 0 ≤ q < 106
c) Déterminer le reste de la division de p, r et A par 97 .
d) déterminer la clef INSEE de Sophie
2° Montrer que A’= A + K doit être un nombre divisible par 97
Ainsi, si le reste n'est pas nul on pourra en déduire qu'il y a une erreur.
3° On va vérifier sur des exemples que lorsque un seul chiffre est erroné l'erreur sera détecté.
a) Lors de la saisie Sophie fait une erreur de frappe : A 2 = 2850786183848 15
Calculer la clef K 2 A2' = A 2 + K 2 puis le reste de la division euclidienne de A2’ par 97. Conclusion ?
Remarque : Calculer A2 - A. Que peut-on dire ?
b) Au cours d'une deuxième saisie une autre erreur est commise : A3 =2850768183848 15
Vérifier que l'on peut détecter l'erreur.
Remarque : Calculer A2-A 2’’ Que peut-on dire ?
3 Le 1er août 2002 sera un jeudi. Le but du problème est de déterminer les années comprises entre 2003 et
2029 pour lesquelles le 1er août tombera un jeudi.
Pour ces années, une année bissextile est une année dont le millésime est divisible par 4.
On rappelle qu'une année non bissextile compte 365 jours et une année bissextile 366 jours.
1° Donner la liste des années bissextiles comprises entre 2003 et 2029.
2° a) Démontrer que l'on a : 365 1 (modulo 7) et 366 2 (modulo 7)
b) Prouver que le 1er août 2003 sera un vendredi et le 1er août 2004 un dimanche.
c) Préciser le jour de la semaine correspondant au 1er août de chacune des années de 2005 à 2013.
3° Donner la liste des années de 2003 à 2029 pour lesquelles le 1er août sera un jeudi.