DéfiBac - Fiches de révision - Maths Tle S

13 Fonctions trigonométriques
Fonctions
trigonométriques (1)
COURS
●●Définitions
- La fonction sinus est la fonction qui, à tout réel x, associe sin(x).
- La fonction cosinus est la fonction qui, à tout réel x, associe cos(x).
●●Fonctions dérivées et limites
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur ℝ et pour tout réel x :
sin′(x) = cos(x) et cos′(x) = − sin(x).
- Les fonctions sinus et cosinus n’ont pas de limite en l’infini.
- lim sin x = 1.
x →0 x
●●Périodicité
- Pour tout réel x, sin(x + 2π) = sin(x) et cos(x + 2π) = cos(x).
On dit que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques, de période 2π.
- Lorsqu’une fonction est périodique, de période T (T > 0), on trace sa
courbe représentative sur un intervalle
d’amplitude T, puis on effectue
des translations de vecteur T i ou −T i .
●●Parité
- Pour tout réel x, sin(−x) = −sin(x) et cos(−x) = cos(x).
On dit que la fonction sinus est impaire et que la fonction cosinus est paire.
- Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d’une fonction
impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Celle d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
●●Tableaux de variation sur [0 ; π]
x
sin
0
0
p
2
p
1
0
x
0
cos
1
p
−1
●●Courbes représentatives
y = cos(x) 1
− 2π − 3π − π
2
−π
2
y = sin(x)
0
π
2
π
3π
2
2π
−1
Mathématiques Tle S
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EXERCICE 1
Énoncé
f est une fonction dérivable sur ℝ. Calculer f′(x).
1. f(x) = sin x cos x. 2. f(x) = cos 3x. 3. f (x) = sin x . 4. f(x) = cos(2x − 1).
cos x + 2
Résolution
1. f′(x) = cos x cos x + sin x (−sin x) = cos²x − sin²x.
2. f = u3 avec u(x) = cos x ;
donc f′ = 3u′u² et f′(x) = 3(−sin x) cos²x = −3sin x cos²x.
cos x (cos x + 2) − sin x (− sin x)
3. f ′ (x) =
= 1 + 2cos x2 .
(cos x + 2)2
(cos x + 2)
4. f(x) = u(2x − 1) avec u(X) = cos X ;
donc f′(x) = 2u′(2x − 1) = 2(−sin(2x − 1)) = − 2sin(2x − 1).
EXERCICE 2
Énoncé
Calculer :
1. lim
x→0
sin(2x)
. 2. lim cos x . 3. lim cos x . 4. lim [2x − sin(2x)].
x
x
x→π sin x
x→ +∞
x→+∞
x <π
Résolution
sin(2x)
sin(2x)
= 2×
.
x
2x
sin(2x)
sinX
= 1 ; donc lim
lim (2x) = 0 et lim
= 1 (par composition) et
2x
X→ 0 X
x →0
x→0
sin(2x)
sin(2x) 
lim
= lim  2 ×
 = 2.
x
2x 
x →0
x →0 
1. Pour tout réel x non nul,
2. lim cos x = −1 et lim sin x = 0+ (car sur [0 ; p[, sin x ⩾ 0) ;
x →π
x <π
x →π
x <π
donc lim cos x = −∞ (par quotient).
x→ π sinx
x<π
3. Pour tout réel x > 0, −1 ⩽ cos x ⩽ 1 donc −1 ⩽ cosx ⩽ 1 (car x > 0).
x
x
x
lim −1 = lim 1 = 0 ; donc d’après le théorème des gendarmes :
x→ +∞ x
x→ +∞ x
lim cos x = 0.
x
x→ +∞
4. Pour tout réel x, −1 ⩽ sin(2x) ⩽ 1 donc 2x − 1 ⩽ 2x − sin(2x) ⩽ 2x + 1.
2x − 1 ⩽ f(x) et lim (2x − 1) = + ∞, donc lim f(x)= + ∞ (théorème de
comparaison).
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x→+∞
x→+∞
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