DéfiBac - Fiches de révision - Maths Tle S

Mathématiques Tle S 29
FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 13
Fonctions
trigonométriques (1)
COURS
 Définitions
- La fonction sinus est la fonction qui, à tout réel x, associe sin(x).
- La fonction cosinus est la fonction qui, à tout réel x, associe cos(x).
 Fonctions dérivées et limites
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur ℝ et pour tout réel x :
sin′(x) = cos(x) et cos′(x) = - sin(x).
- Les fonctions sinus et cosinus n’ont pas de limite en l’infini.
- =
→
limsin1.
0
x
x
x
 Périodicité
- Pour tout réel x, sin(x + 2π) = sin(x) et cos(x + 2π) = cos(x).
On dit que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques, de période 2π.
- Lorsqu’une fonction est périodique, de période T (T > 0), on trace sa
courbe représentative sur un intervalle d’amplitude T, puis on effectue
des translations de vecteur T
i
ou −T
i
.
 Parité
- Pour tout réel x, sin(−x) = −sin(x) et cos(−x) = cos(x).
On dit que la fonction sinus est impaire et que la fonction cosinus est paire.
- Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d’une fonction
impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Celle d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
 Tableaux de variation sur [0 ; π]
x0π
2π
sin 010
x0π
cos 1−1
 Courbes représentatives
π
23π
2
3π
−1
1
2
−π
2
−
− 2π 2π
− π π
0
y = cos(x) y = sin(x)

Mathématiques Tle S30
EXERCICE 1
Énoncé
f est une fonction dérivable sur ℝ. Calculer f′(x).
1. f(x) = sin x cos x. 2. f(x) = cos 3x. 3.
()
=+
sin
co
s2
fx
x
x. 4. f(x) = cos(2x − 1).
Résolution
1. f′(x) = cos x cos x + sin x (−sin x) = cos²x − sin²x.
2. f = u3 avec u(x) = cos x ;
donc f′ = 3u′u² et f′(x) = 3(−sin x) cos²x = −3sin x cos²x.
3.
coscos 2sin sin
cos2
12cos
co
s2
.
22
()
()()
()
()
′=
+− −
+=+ +
fx
xx xx
x
x
x
4. f(x) = u(2x − 1) avec u(X) = cos X ;
donc f′(x) = 2u′(2x − 1) = 2(−sin(2x − 1)) = − 2sin(2x − 1).
EXERCICE 2
Énoncé
Calculer :
1.
()
→
limsin2
0
x
x
x. 2. →π
<π
limcos
sin
x
x
x
x
. 3. lim
x→+∞
cosx
x. 4. lim
→+∞x[2x − sin(2x)].
Résolution
1. Pour tout réel x non nul,sin 2x
( )
x=2×sin 2x
( )
2x.
lim
x→0 (2x) = 0 et lim
X→0
sinX
X=
1
; donc limsin2
2
1
0
()
=
→
x
x
x (par composition) et
limsin2 lim2 sin2
2
2
00
() ()
=×
=
→→
x
x
x
x
xx .
2. limcos 1=−
→π
<π
x
x
x
et limsin 0=
→π
<π
+
x
x
x
(car sur [0 ; π[, sin x ⩾ 0) ;
donc lim
x→ π
x<π
cosx
sinx= −∞ (par quotient).
3. Pour tout réel x > 0, −1 ⩽ cos x ⩽ 1 donc
−1
x ⩽
cosx
x ⩽
1
x (car x > 0).
lim
x→ +∞
−1
x=lim
x→ +∞
1
x=0 ; donc d’après le théorème des gendarmes :
lim
x→ +∞
cosx
x
=0.
4. Pour tout réel x, −1 ⩽ sin(2x) ⩽ 1 donc 2x − 1 ⩽ 2x − sin(2x) ⩽ 2x + 1.
2x − 1 ⩽ f(x) et lim
→+∞x(2x − 1) = +∞, donc lim →+∞xf(x)= +∞ (théorème de
comparaison).