Chapitre 7 Calcul vectoriel dans l`espace, géométrie dans le plan et

Chapitre 7
Calcul vectoriel dans l’espace,
g´eom´etrie dans le plan et dans
l’espace
7.1 Calcul vectoriel dans l’espace
On se place dans un rep`ere orthonormal (O,~ i,~ j,~ k) de l’espace E(`a 3 dimensions). Eest
identifi´e `a R3.
Un point de Ea 3 coordonn´ees (x, y, z).
Un vecteur ~u de Eest ´egalement donn´e par trois coordonn´ees : ~u =x
~
i+y~ j+z~ k; on
le note parfois ~u = (x, y, z). Mais il ne faut pas le confondre avec le point de coordonn´ees
(x, y, z) !
D´efinition 7.1.1. Soit ~u le vecteur x
~
i+y~ j+z~ k. Sa norme est ´egale `a || ~u ||=px2+y2+z2.
Soient A(xA, yA, zA) et B(xB, yB, zB) deux points de E. Le vecteur ~ AB est d´efini de la
mani`ere suivante :
~
AB = (xB−xA, yB−yA, zB−zA).
Ainsi, un vecteur correspond `a une infinit´e de paires de points (ses repr´esentants).
Proposition 7.1.1. Relation de Chasles : ~ AC =~ AB +~ BC.
D´efinition 7.1.2. On dit que ~u =x
~
i+y~ j+z~ k6=~ Oest colin´eaire `a ~v =x0~ i+y0~ j+z0~ k6=~ O
s’il existe un nombre r´eel non nul rtel que ~u =r~v, i.e x=rx0, y =ry0et z=rz0.
Proposition 7.1.2. Trois point A, B, C sont align´es si et seulement si les vecteurs ~ AB et
~
AC sont colin´eaires.
55

Exercice 7.1.1. 1. Dans l’espace, d´eterminer mtel que les vecteurs ~u = (2, m, 6) et
~v = (5,−1,15) soient colin´eaires.
2. Dans un rep`ere orthonorm´e du plan, on donne K(−3,5) et L(4,2). D´eterminer l’abscisse
du point Md’ordonn´ee −2 tel que K, L, M soient align´es.
Exercice 7.1.2. Dans le plan, d´eterminer la valeur de xqui rend align´es les points A, B, C
de coordonn´ees respectives (1,−5); (16,16) et (16,−4x+ 6).
7.1.1 Barycentre et centre de gravit´e
Soient (Ai, λi)1≤i≤nun syst`eme de npoints pond´er´es dans E. Si Pn
i=1 λi6= 0, alors il
existe un unique point Gdans Etel que
n
X
i=1
λi~ GAi=~ 0.
Alors (en utilisant la relation de Chasles, on obtient) pour tout point Mdans E,
~
MG =Pn
i=1 λi~
MAi
Pn
i=1 λi
.
En particulier, on a ~ OG =Pn
i=1 λi~
OAi
Pn
i=1 λi
.
Gest appel´e le barycentre du syst`eme de points pond´er´es (Ai, λi)1≤i≤n.
Si tous les λisont ´egaux, on dit que Gest l’isobarycentre, centre de gravit´e, des points
A1, . . . , An.
Par exemple le centre de gravit´e Gde deux points Aet Best le milieu du segment [AB] :
en effet, on a alors ~ AG =~ GB.
Exercice 7.1.3. On est dans le plan. Pour chaque ensemble de points pond´er´es ci-dessous,
calculer son barycentre et le repr´esenter dans un rep`ere orthonorm´e.
1. (A;−1),(B; 1),(C; 1) o`u ABC est un triangle isoc`ele en Btel que BA = 6 et AC = 4.
2. (A; 5),(B; 5),(C; 8) o`u les points A, B, C v´erifient : AB = 8, BC = 7, AC = 5.
3. (A;−1),(B; 2),(C; 2) o`u ABC est un triangle ´equilat´eral de cˆot´e 2√3.
7.1.2 Produit scalaire
D´efinition 7.1.3. Soient ~u(x, y, z)et ~v(x0, y0, z0)deux vecteurs dans E.
Le produit scalaire des vecteurs ~u et ~v, not´e ~u.~v est le r´eel d´efini alg´ebriquement par xx0+
yy0+zz0.
Si ~u =~ AB et ~v =~ AC, alors le produit scalaire des vecteurs ~u et ~v est d´efini g´eom´etriquement
par AB ×AC ×cos(BAC).
56

En effet, si ~ AB 6=~ 0, ~ AB. ~ AC =~ AB. ~ AC0, o`u C0est le projet´e orthogonal de Csur la
droite (AB). Et |cos(BAC)|=AC0
AC .
Proposition 7.1.3. ~u.~v =~v.~u.~u.(~v +~w) = ~u.~v +~u. ~w.(λ~u).~v =λ(~u.~v) = ~u.(λ~v),λ∈R.
|| ~u ||=√~u.~u.
~u et ~v sont orthogonaux ssi ~u.~v = 0.
|| ~u +~v ||2=|| ~u ||2+|| ~v ||2+2~u.~v.
|| ~u +~v ||≤|| ~u || +|| ~v || (In´egalit´e triangulaire).
|~u.~v |≤|| ~u || .|| ~v || (In´egalit´e de Cauchy-Schwartz).
Exercice 7.1.4. Dans l’espace muni d’un rep`ere orthonorm´e, on donne les coordonn´ees de
deux vecteurs : (−3,−2,7) et (3,−2,−10). Calculer leur produit scalaire.
Exercice 7.1.5. Soit ABC un triangle isoc`ele en Atel que AB = 5 et BC = 6. Soit Hle
milieu de [BC] et Kle milieu de [AC]. Calculer les produits scalaires −−→ BC ·−→ BA,−−→ HB ·−−→ HC,
−−→
BH ·−−→ HK.
Exercice 7.1.6. Les vecteurs (−3,0,−1) et (−1
3,2,1) sont-ils orthogonaux ? Qu’en est-il des
vecteurs (−1,1,2) et (1,1
2,1 4) ?
Exercice 7.1.7. L’espace est muni d’un rep`ere orthonorm´e, dans lequel les coordonn´ees de
~u sont (x+ 5,0,0) et celles de ~v sont (1,−2,−2). D´eterminer la ou les valeurs de xpour
lesquelles ~u et ~v sont orthogonaux.
Exercice 7.1.8. Soit ~u le vecteur de coordonn´ees (2,9) dans un rep`ere orthonorm´e du plan.
Trouver un vecteur de norme 1 colin´eaire `a ~u, et un vecteur de norme 1 orthogonal `a ~u.
7.1.3 Produit vectoriel
Orientation de l’espace E: le rep`ere (O,~ i,~ j,~ k) est dit direct si les trois vecteurs ~ i,~ jet ~ k
sont orient´es comme suit : si ~ iest sur le majeur et ~ jest sur le pouce, alors ~ kest sur l’index.
(O,~ j,~ k,~ i) et (O,~ k,~ i,~ j) sont directs, alors que (O,~ i,~ k,~ j) est indirect.
D´efinition 7.1.4. Soient ~u(x, y, z)et ~v(x0, y0, z0)deux vecteurs dans E.
Le produit vectoriel des vecteurs ~u et ~v, not´e ~u ∧~v est le vecteur de Ed´efini alg´ebriquement
par (yz0−zy0, zx0−xz0, xy0−yx0).
D´efinition 7.1.5. ~u =~ AB et ~v =~ AC.
* Si A, B et Csont trois points align´es ( ~ AB et ~ AC sont colin´eaires), alors ~ AB ∧~ AC =~ O.
* Si A, B et Cne sont pas align´es, le produit vectoriel des vecteurs ~ AB et ~ AC est d´efini
g´eom´etriquement par AB ×AC× | sin(BAC)|~w, o`u ~w est le vecteur unitaire tel que le
rep`ere (~ AB, ~ AC, ~w)soit direct.
Notons Al’aire du triangle ABC. Alors A=1
2AB ×AC ×sin(BAC) = || ~
AB∧~ AC||
2.
~
AB ∧~ AC est un vecteur orthogonal au plan (ABC).
Proposition 7.1.4. ~u ∧~v =−~v ∧~u.~u ∧~v =~ Ossi ~u et ~v sont colin´eaires. ~u ∧~u =~ O.
(λ~u +~v)∧~w =λ(~u ∧~w) + ~v ∧~w (λ∈R). ~ i∧~ j=~ k,~ j∧~ k=~ i,~ k∧~ i=~ j.
57

7.2 G´eom´etrie dans le plan
7.2.1 Droites et vecteurs
* Equation cart´esienne d’une droite : ax +by +c= 0.
Le vecteur (−b, a) est un vecteur directeur de la droite et (a, b) est un vecteur normal de la
droite.
Si b6= 0, alors −a/b est la pente (ou coefficient directeur) de la droite et −c/b est l’ordonn´ee
`a l’origine.
D´efinition 7.2.1. Si Aet Bsont deux points distincts d’une droite d, on dit que le vecteur
~
AB est un vecteur directeur de d.
Proposition 7.2.1. Deux droites sont parall`eles si elles ont des vecteurs directeurs coli-
n´eaires.
Exercice 7.2.1. Dans un rep`ere orthonorm´e du plan, on consid`ere la droite de vecteur
directeur (1; 1) et la droite passant par les deux points A(−1; 0) et B(−3; 2). D´emontrer que
ces deux droites sont orthogonales.
D´efinition 7.2.2. Soit dune droite et ~u un vecteur. On dit que ~u est normal `a ds’il est
vecteur directeur d’une droite orthogonale `a d.
Exercice 7.2.2. Soit dla droite passant par A(−4,12) et de vecteur directeur (−5,10).
D´eterminer les coordonn´ees d’une vecteur normal `a d.
7.2.2 Courbes planes
Equation cart´esienne. Certaines courbes peuvent ´egalement ˆetre d´efinies par une ´equa-
tion cart´esienne. Voici quelques exemples importants :
1. Equation cart´esienne d’un cercle de centre (a, b) et de rayon R: (x−a)2+(y−b)2=R2.
2. Equation d’une parabole : ax2+ 2bxy +cy2+dx +ey +f= 0, o`u b2−ac = 0.
Cas particulier : le graphe d’une fonction polynomiale du second degr´e.
3. Equation d’une hyperbole : ax2+ 2bxy +cy2+dx +ey +f= 0, o`u ac −b2<0.
Cas particulier : le graphe de la fonction x7→ 1
x.
4. Equation d’une ellipse : ax2+ 2bxy +cy2+dx +ey +f= 0, o`u b2−ac < 0.
Courbes param´etr´ees. Une courbe plane peut parfois ˆetre d´efinie par une ´equation pa-
ram´etrique de la forme ”x=x(t), y =y(t) avec tparcourant Rou un sous-ensemble de R
notamment pour les exemples suivants :
1. la droite : x=x0+at, y =y0+bt o`u tvarie dans R.
58

2. le cercle : x=a+Rcos(t); y=b+Rsin(t) pour tparcourant [0,2π].
3. le segment de droite [AB] : x=txA+ (1 −t)xB, y =tyA+ (1 −t)yB, pour tparcourant
l’intervalle [0,1].
4. une ellipse d’´equation cart´esienne (x−u)2
a2+(y−v)2 b2= 1, a pour ´equation param´etrique :
x=u+acos(t); y=v+bsin(t) pour tparcourant [0,2π].
Remarque 7.2.1. Le graphe d’une fonction, d´efini par une ´equation de la forme y=f(x),
est un cas particulier de courbe param´etr´ee. En effet, cette ´equation peut se r´e´ecrire
x=t, y =f(t)
avec tparcourant l’ensemble de d´efinition de f.
7.2.3 Changement de rep`ere
Exercice 7.2.3. Dans le rep`ere orthonorm´e (O, I, J), placer les points A(−4,6) ; B(−2,−3) ;
C(2,0) ; D(0,3); E(2,3). Donner les coordonn´ees de Aet Bdans les rep`eres (O, C, D) et
(O, D, C), puis les coordonn´ees de Odans le rep`ere (E, C, D).
7.3 G´eom´etrie dans l’espace
Un point de l’espace est d´efini par ses trois coordonn´ees dans un rep`ere orthonorm´e
(O,~ i,~ j,~ k) : l’abscisse, l’ordonn´ee et la cˆote.
Equation cart´esienne d’un plan : ax +by +cz +d= 0. (a, b, c) est un vecteur normal au
plan.
Equations cart´esiennes d’une droite (intersection de deux plans s´ecants) : ax+by+cz+d=
0 et a0x+b0y+c0z+d0= 0 (o`u (a, b, c) et (a0, b0, c0) ne sont pas colin´eaires).
Equation d’une sph`ere de centre (a, b, c) et de rayon R: (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2.
Exercice 7.3.1. Les points A(−1,2,3), B(2,0,3) et C(8,4,−3) sont-ils align´es ?
Exercice 7.3.2. Soit dla droite qui a pour repr´esentation param´etrique
x= 1 −t
y= 1 + t
z= 2 −2t
o`u tvarie dans R. Donner un vecteur directeur de cette droite. Les points P(−1; 3; −2) et
Q(2; 0; 3) sont-ils des points de d?
Exercice 7.3.3. Soit Dla droite de repr´esentation param´etrique
x= 1 −t
y= 2 + 3t
z=t
59