Chapitre 7 Calcul vectoriel dans l`espace, géométrie dans le plan et

Chapitre 7
Calcul vectoriel dans l’espace,
géométrie dans le plan et dans
l’espace
7.1
Calcul vectoriel dans l’espace
On se place dans un repère orthonormal (O,~i, ~j, ~k) de l’espace E (à 3 dimensions). E est
identifié à R3 .
Un point de E a 3 coordonnées (x, y, z).
Un vecteur ~u de E est également donné par trois coordonnées : ~u = x~i + y~j + z~k ; on
le note parfois ~u = (x, y, z). Mais il ne faut pas le confondre avec le point de coordonnées
(x, y, z) !
Définition 7.1.1. Soit ~u le vecteur x~i+y~j+z~k. Sa norme est égale à || ~u ||=
p
x2 + y 2 + z 2 .
~ est défini de la
Soient A(xA , yA , zA ) et B(xB , yB , zB ) deux points de E. Le vecteur AB
manière suivante :
~ = (xB − xA , yB − yA , zB − zA ).
AB
Ainsi, un vecteur correspond à une infinité de paires de points (ses représentants).
~ = AB
~ + BC.
~
Proposition 7.1.1. Relation de Chasles : AC
~ est colinéaire à ~v = x0~i + y 0~j + z 0~k 6= O
~
Définition 7.1.2. On dit que ~u = x~i + y~j + z~k 6= O
0
0
0
s’il existe un nombre réel non nul r tel que ~u = r~v , i.e x = rx , y = ry et z = rz .
~ et
Proposition 7.1.2. Trois point A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB
~
AC sont colinéaires.
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Exercice 7.1.1.
1. Dans l’espace, déterminer m tel que les vecteurs ~u = (2, m, 6) et
~v = (5, −1, 15) soient colinéaires.
2. Dans un repère orthonormé du plan, on donne K(−3, 5) et L(4, 2). Déterminer l’abscisse
du point M d’ordonnée −2 tel que K, L, M soient alignés.
Exercice 7.1.2. Dans le plan, déterminer la valeur de x qui rend alignés les points A, B, C
de coordonnées respectives (1, −5); (16, 16) et (16, −4x + 6).
7.1.1
Barycentre et centre de gravité
Soient (Ai , λi )1≤i≤n un système de n points pondérés dans E. Si
existe un unique point G dans E tel que
n
X
Pn
i=1
λi 6= 0, alors il
~ i = ~0.
λi GA
i=1
Alors (en utilisant la relation de Chasles, on obtient) pour tout point M dans E,
Pn
~
i=1 λi M Ai
.
M~G = P
n
i=1 λi
Pn
~
i=1 λi OAi
~ = P
En particulier, on a OG
.
n
i=1 λi
G est appelé le barycentre du système de points pondérés (Ai , λi )1≤i≤n .
Si tous les λi sont égaux, on dit que G est l’isobarycentre, centre de gravité, des points
A1 , . . . , An .
Par exemple le centre de gravité G de deux points A et B est le milieu du segment [AB] :
~ = GB.
~
en effet, on a alors AG
Exercice 7.1.3. On est dans le plan. Pour chaque ensemble de points pondérés ci-dessous,
calculer son barycentre et le représenter dans un repère orthonormé.
1. (A; −1), (B; 1), (C; 1) où ABC est un triangle isocèle en B tel que BA = 6 et AC = 4.
2. (A; 5), (B; 5), (C; 8) où les points A, B, C vérifient : AB = 8, BC = 7, AC = 5.
√
3. (A; −1), (B; 2), (C; 2) où ABC est un triangle équilatéral de côté 2 3.
7.1.2
Produit scalaire
Définition 7.1.3. Soient ~u(x, y, z) et ~v (x0 , y 0 , z 0 ) deux vecteurs dans E.
Le produit scalaire des vecteurs ~u et ~v , noté ~u.~v est le réel défini algébriquement par xx0 +
yy 0 + zz 0 .
~ et ~v = AC,
~ alors le produit scalaire des vecteurs ~u et ~v est défini géométriquement
Si ~u = AB
par AB × AC × cos(BAC).
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~ 6= ~0, AB.
~ AC
~ = AB.
~ AC
~ 0 , où C 0 est le projeté orthogonal de C sur la
En effet, si AB
0
droite (AB). Et | cos(BAC) |= AC
.
AC
Proposition
7.1.3. ~u.~v = ~v .~u. ~u.(~v + w)
~ = ~u.~v + ~u.w.
~ (λ~u).~v = λ(~u.~v ) = ~u.(λ~v ), λ ∈ R.
√
|| ~u ||= ~u.~u.
~u et ~v sont orthogonaux ssi ~u.~v = 0.
|| ~u + ~v ||2 =|| ~u ||2 + || ~v ||2 +2~u.~v .
|| ~u + ~v ||≤|| ~u || + || ~v || (Inégalité triangulaire).
| ~u.~v |≤|| ~u || . || ~v || (Inégalité de Cauchy-Schwartz).
Exercice 7.1.4. Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on donne les coordonnées de
deux vecteurs : (−3, −2, 7) et (3, −2, −10). Calculer leur produit scalaire.
Exercice 7.1.5. Soit ABC un triangle isocèle en A tel que AB = 5 et BC = 6. Soit H le
−−→ −→ −−→ −−→
milieu de [BC] et K le milieu de [AC]. Calculer les produits scalaires BC · BA, HB · HC,
−−→ −−→
BH · HK.
Exercice 7.1.6. Les vecteurs (−3, 0, −1) et (− 13 , 2, 1) sont-ils orthogonaux ? Qu’en est-il des
vecteurs (−1, 1, 2) et (1, 12 , 41 ) ?
Exercice 7.1.7. L’espace est muni d’un repère orthonormé, dans lequel les coordonnées de
~u sont (x + 5, 0, 0) et celles de ~v sont (1, −2, −2). Déterminer la ou les valeurs de x pour
lesquelles ~u et ~v sont orthogonaux.
Exercice 7.1.8. Soit ~u le vecteur de coordonnées (2, 9) dans un repère orthonormé du plan.
Trouver un vecteur de norme 1 colinéaire à ~u, et un vecteur de norme 1 orthogonal à ~u.
7.1.3
Produit vectoriel
Orientation de l’espace E : le repère (O,~i, ~j, ~k) est dit direct si les trois vecteurs ~i, ~j et ~k
sont orientés comme suit : si ~i est sur le majeur et ~j est sur le pouce, alors ~k est sur l’index.
(O, ~j, ~k,~i) et (O, ~k,~i, ~j) sont directs, alors que (O,~i, ~k, ~j) est indirect.
Définition 7.1.4. Soient ~u(x, y, z) et ~v (x0 , y 0 , z 0 ) deux vecteurs dans E.
Le produit vectoriel des vecteurs ~u et ~v , noté ~u ∧ ~v est le vecteur de E défini algébriquement
par (yz 0 − zy 0 , zx0 − xz 0 , xy 0 − yx0 ).
~ et ~v = AC.
~
Définition 7.1.5. ~u = AB
~ et AC
~ sont colinéaires), alors AB
~ ∧ AC
~ = O.
~
* Si A, B et C sont trois points alignés (AB
~ et AC
~ est défini
* Si A, B et C ne sont pas alignés, le produit vectoriel des vecteurs AB
géométriquement par AB × AC× | sin(BAC) | w,
~ où w
~ est le vecteur unitaire tel que le
~
~
repère (AB, AC, w)
~ soit direct.
~
~
Notons A l’aire du triangle ABC. Alors A = 21 AB × AC × sin(BAC) = ||AB∧2 AC|| .
~ ∧ AC
~ est un vecteur orthogonal au plan (ABC).
AB
~ ssi ~u et ~v sont colinéaires. ~u ∧ ~u = O.
~
Proposition 7.1.4. ~u ∧ ~v = −~v ∧ ~u. ~u ∧ ~v = O
(λ~u + ~v ) ∧ w
~ = λ(~u ∧ w)
~ + ~v ∧ w
~ (λ ∈ R). ~i ∧ ~j = ~k, ~j ∧ ~k = ~i, ~k ∧ ~i = ~j.
57
7.2
7.2.1
Géométrie dans le plan
Droites et vecteurs
* Equation cartésienne d’une droite : ax + by + c = 0.
Le vecteur (−b, a) est un vecteur directeur de la droite et (a, b) est un vecteur normal de la
droite.
Si b 6= 0, alors −a/b est la pente (ou coefficient directeur) de la droite et −c/b est l’ordonnée
à l’origine.
Définition 7.2.1. Si A et B sont deux points distincts d’une droite d, on dit que le vecteur
~ est un vecteur directeur de d.
AB
Proposition 7.2.1. Deux droites sont parallèles si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.
Exercice 7.2.1. Dans un repère orthonormé du plan, on considère la droite de vecteur
directeur (1; 1) et la droite passant par les deux points A(−1; 0) et B(−3; 2). Démontrer que
ces deux droites sont orthogonales.
Définition 7.2.2. Soit d une droite et ~u un vecteur. On dit que ~u est normal à d s’il est
vecteur directeur d’une droite orthogonale à d.
Exercice 7.2.2. Soit d la droite passant par A(−4, 12) et de vecteur directeur (−5, 10).
Déterminer les coordonnées d’une vecteur normal à d.
7.2.2
Courbes planes
Equation cartésienne. Certaines courbes peuvent également être définies par une équation cartésienne. Voici quelques exemples importants :
1. Equation cartésienne d’un cercle de centre (a, b) et de rayon R : (x−a)2 +(y −b)2 = R2 .
2. Equation d’une parabole : ax2 + 2bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0, où b2 − ac = 0.
Cas particulier : le graphe d’une fonction polynomiale du second degré.
3. Equation d’une hyperbole : ax2 + 2bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0, où ac − b2 < 0.
Cas particulier : le graphe de la fonction x 7→ x1 .
4. Equation d’une ellipse : ax2 + 2bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0, où b2 − ac < 0.
Courbes paramétrées. Une courbe plane peut parfois être définie par une équation paramétrique de la forme ”x = x(t), y = y(t) avec t parcourant R ou un sous-ensemble de R
notamment pour les exemples suivants :
1. la droite : x = x0 + at, y = y0 + bt où t varie dans R.
58
2. le cercle : x = a + R cos(t); y = b + R sin(t) pour t parcourant [0, 2π].
3. le segment de droite [AB] : x = txA + (1 − t)xB , y = tyA + (1 − t)yB , pour t parcourant
l’intervalle [0, 1].
2
2
+ (y−v)
= 1, a pour équation paramétrique :
4. une ellipse d’équation cartésienne (x−u)
a2
b2
x = u + a cos(t); y = v + b sin(t) pour t parcourant [0, 2π].
Remarque 7.2.1. Le graphe d’une fonction, défini par une équation de la forme y = f (x),
est un cas particulier de courbe paramétrée. En effet, cette équation peut se réécrire
x = t, y = f (t)
avec t parcourant l’ensemble de définition de f .
7.2.3
Changement de repère
Exercice 7.2.3. Dans le repère orthonormé (O, I, J), placer les points A(−4, 6) ; B(−2, −3) ;
C(2, 0) ; D(0, 3); E(2, 3). Donner les coordonnées de A et B dans les repères (O, C, D) et
(O, D, C), puis les coordonnées de O dans le repère (E, C, D).
7.3
Géométrie dans l’espace
Un point de l’espace est défini par ses trois coordonnées dans un repère orthonormé
~
(O, i, ~j, ~k) : l’abscisse, l’ordonnée et la côte.
Equation cartésienne d’un plan : ax + by + cz + d = 0. (a, b, c) est un vecteur normal au
plan.
Equations cartésiennes d’une droite (intersection de deux plans sécants) : ax+by+cz+d =
0 et a0 x + b0 y + c0 z + d0 = 0 (où (a, b, c) et (a0 , b0 , c0 ) ne sont pas colinéaires).
Equation d’une sphère de centre (a, b, c) et de rayon R : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 .
Exercice 7.3.1. Les points A(−1, 2, 3), B(2, 0, 3) et C(8, 4, −3) sont-ils alignés ?
Exercice 7.3.2. Soit d la droite qui a pour représentation paramétrique

 x=1−t
y =1+t

z = 2 − 2t
où t varie dans R. Donner un vecteur directeur de cette droite. Les points P (−1; 3; −2) et
Q(2; 0; 3) sont-ils des points de d ?
Exercice 7.3.3. Soit D la droite de représentation paramétrique

 x=1−t
y = 2 + 3t

z=t
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et D0 la droite représentée par

 x = 2t0
y = 5 − 6t0

z = 1 − 2t0
où t, t0 varient dans R. Montrer que ces deux droites sont confondues.
Exercice 7.3.4. Dans l’espace muni du repère orthonormé (O;~i, ~j, ~k), soient A(1; −2; 3) et
P le plan passant par A qui a pour vecteurs directeurs ~i et ~j − 2~k. Déterminer une équation
cartésienne du plan P.
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